以具象化教材進行五、六年級學生分數補救教學之行動研究

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(1)國立屏東大學科普傳播學系數理教育碩士班碩士論文 Department of Science Communication National Pingtung University Master’s Thesis. 以具象化教材進行五、六年級學生分數補救教學之行動研究. An Action Research of Fraction Remedial Instruction with Embodied Materials on 5th and 6th Graders 指導教授：徐偉民博士 Advisor: Dr. Wei-Min Hsu 研究生：謝采鸞撰 Student: Tsai-Luan Hsieh. 中. 華. 民國. 一. 百零. June, 2016. 五. 年六. 月.

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(3) 以具象化教材進行五、六年級學生分數補救教學之行動研究. 摘要. 本研究旨在探討運用以具象化教材於國小五、六年級分數補教教學之實施歷程及其成效。本研究為行動研究法，實施對象為五、六年級參加補救教學之低成就生各五位，分別各實施四、五堂課，由研究者擔任教學者，各進行一週各 1 小時的補救教學。本研究透過前測來了解低成就生於補救教學前分數之學習表現，並根據數學課程的分數分年細目來編排補救教學課程，並透過 PPt 來設計分數概念的動畫。在補救教學期間，蒐集包括教學學習單、課後回饋單、訪談、反省日誌以及後測等資料，以了解補救教學實施的成效。結果發現，透過前測卷試題的答題表現，五、六年級低成就學生的能力各停留在三、四年級，實施補救教學歷程中，透過具象化教材的呈現，協助低成就生進行概念的探索與理解，更可引起其學習動機與興趣，後測結果也顯示出低成就生在分數分年細目的學習表現平均達成率進步至七成以上，表示透過具象化教材實施補救教學可以提升低成就生分數的學習成效。. 關鍵字：分數、行動研究、具象化教材、低成就學生、補救教學. i.

(4) An Action Research of Fraction Remedial Instruction with Embodied Materials on 5th and 6th Graders Abstract The purpose of this research are to investigate the implementation process and the effect of fraction remedial instruction with embodied materials on 5th and 6th graders. Action research is adopted as research method and 10 . under achievers from 5th and 6th grade participate this remedial instruction program. The researcher implement one hour mathematics instruction for 4 to 5 weeks respectively. Before remedial instruction, this study through pre-test to understand students’ performance of fraction, and edit remedial curriculum of fraction which according to the specifications of mathematics curriculum with designing concepts’ animation through Power Point software. During remedial instruction, learning sheets, questionnaires, teacher reflection journals and post-test are collected for analyzing the effects of remedial instruction. The results indicate that the performance level of fraction learning of these 5th and 6th graders were at 3rd and 4th grade, with the presentation of embodied materials in remedial instruction that could make students to learn, and increase their learning motivation and interest with conceptual exploration and understanding. The result from the post-test also reveals that students could learn the content of fraction to 70% of the specifications of mathematics curriculum. This indicates that using embodied materials in remedial instruction could improve under-achievers’ learning performance on fraction topic effectively.. Key words: fraction,action research, embodied materials,under-achievers, remedial instruction.. ii.

(5) 目次中文摘要......................................................................................................................... i 英文摘要........................................................................................................................ ii 目次............................................................................................................................... iii 表次................................................................................................................................ v 圖次............................................................................................................................. viii 第壹章緒論 ................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 .......................................................................................... 1 第二節研究目的 ...................................................................................................... 4 第三節名詞釋義 ...................................................................................................... 5 第四節研究範圍與限制 .......................................................................................... 7 第貳章文獻探討 ......................................................................................................... 9 第一節數學學習低成就生的學習與特質 .............................................................. 9 第二節數學補救教學 ............................................................................................ 15 第三節分數的補救課程 ........................................................................................ 26 第四節以具象化教材為數學補救教學之相關研究 ............................................ 33 第參章研究方法 ....................................................................................................... 35 第一節研究方法 .................................................................................................... 35 第二節研究對象與背景 ........................................................................................ 37 第三節研究流程 .................................................................................................... 40 第四節研究工具 .................................................................................................... 42 第五節資料蒐集與分析 ........................................................................................ 50 第肆章研究結果與討論 ........................................................................................... 53 第一節補救教學前個案學習困難之分析 ............................................................ 53 第二節補救教學中實踐歷程之探討 .................................................................... 77 第三節補救教學後學習成效之分析 .................................................................. 103 iii.

(6) 第伍章結論與建議 ................................................................................................. 129 第一節結論 .......................................................................................................... 129 第二節建議 .......................................................................................................... 132 參考文獻.................................................................................................................... 134 中文部分 ................................................................................................................ 134 外文部分 ................................................................................................................ 138 附錄............................................................................................................................ 140 附錄一分數前測試題 .......................................................................................... 140 附錄二分數後測試題 .......................................................................................... 144 附錄三分數教學學習單 ...................................................................................... 148 附錄四分數評量檢核表 ...................................................................................... 153 附錄五學生課後回饋單 ...................................................................................... 159. iv.

(7) 表次表 2-1-1：數學學習低成就學生的特徵 .................................................................... 12 表 2-2-1：臺灣補救教學相關政策一覽表 ................................................................ 15 表 2-2-2：補救教學的課程設計與原則 .................................................................... 22 表 2-2-3：補救教學相關實施成果一覽表 ................................................................ 23 表 2-3-1：九年一貫數學課程領域(九七課綱)關於分數分年細目 ......................... 26 表 2-3-2：分數分年細目與分數知識一覽表 ............................................................ 27 表 2-3-3：分數迷思概念相關研究一覽表 ................................................................ 28 表 2-3-4：國內外分數相關教學建議一覽表 ............................................................ 30 表 2-4-1：具象化教材進行分數教學之成效 ............................................................ 33 表 3-2-1：數學低成就學生在校的學習表現 ............................................................ 37 表 3-4-1：分數九二課綱與九七課綱分年細目修改表 ............................................ 42 表 3-4-2：九年一貫分數部分分年細目雙向分析 .................................................... 44 表 3-4-3：分數課程內容整理表 ................................................................................ 47 表 3-5-1：資料編碼意義表 ........................................................................................ 51 表 3-5-2：研究目的與資料來源表 ............................................................................ 52 表 4-1-1：五年級學生在分數前測的答題情形 ........................................................ 54 表 4-1-2：五年級學生在分數前測三向度的答對題數與達成率 ............................ 57 表 4-1-3：六年級學生在分數前測的答題情形 ........................................................ 58 表 4-1-4：六年級學生在分數前測三向度的答對題數與達成率 ............................ 61 表 4-1-5：五年級學生在分數概念部分的答對情形 ................................................ 63 表 4-1-6：六年級學生在分數概念部分的答對情形 ................................................ 65 表 4-1-7：五年級學生在分數四則運算部分的答對情形 ........................................ 68 表 4-1-8：六年級學生在分數四則運算部分的答對情形 ........................................ 71 表 4-1-9：五年級學生在分數應用部分的答對情形 ................................................ 75 表 4-1-10：六年級學生在分數應用部分的答對情形 .............................................. 76 v.

(8) 表 4-2-1: 教學內容與教學日期 ................................................................................ 79 表 4-2-2：五年級、六年級於關卡一教學學習單之答題情形 ................................ 82 表 4-2-3：五年級、六年級於關卡一課後回饋單整理表 ........................................ 83 表 4-2-4：分數關卡一「課程教材呈現」修改部分 ................................................ 84 表 4-2-5：五年級、六年級於關卡二教學學習單之答題情形 ................................ 87 表 4-2-6：五年級、六年級於關卡二課後回饋單整理表 ........................................ 88 表 4-2-7：分數關卡二「課程教材呈現」修改部分 ................................................ 89 表 4-2-8：五年級、六年級於關卡三教學學習單之答題情形 ................................ 92 表 4-2-9：五年級、六年級於關卡三課後回饋單整理表 ........................................ 93 表 4-2-10：分數關卡三「課程教材呈現」修改部分 .............................................. 94 表 4-2-11：五年級、六年級於關卡四教學學習單之答題情形 .............................. 97 表 4-2-12：五年級、六年級於關卡四課後回饋單整理表 ...................................... 98 表 4-2-13：分數關卡四「課程教材呈現」修改部分 .............................................. 99 表 4-2-14：五年級、六年級於關卡五教學學習單之答題情形 ............................ 102 表 4-2-15：五年級、六年級於關卡五課後回饋單整理表 .................................... 102 表 4-2-16：分數關卡五「課程教材呈現」修改部分 ............................................ 103 表 4-3-1：五年級學生在分數後測的答題情形 ...................................................... 104 表 4-3-2：五年級學生在分數前測與後測的進步情形 .......................................... 107 表 4-3-3：五年級學生在分數後測三向度的答對題數與達成率 .......................... 108 表 4-3-4：五年級學生在分數前測與後測三向度的進步情形 .............................. 109 表 4-3-5：六年級學生在分數後測的答題情形 ...................................................... 110 表 4-3-6：六年級學生在分數前測與後測的進步情形 .......................................... 113 表 4-3-7：六年級學生在分數後測三向度的答對題數與達成率 .......................... 114 表 4-3-8：六年級學生在分數前測與後測三向度的進步情形 .............................. 115 表 4-3-9：五年級學生在分數概念部分的答對情形 .............................................. 116 表 4-3-10：六年級學生在分數概念部分的答對情形 ............................................ 118 表 4-3-11：五年級學生在分數四則運算部分的答對情形 .................................... 121 vi.

(9) 表 4-3-12：六年級學生在分數四則運算部分的答對情形 .................................... 123 表 4-3-13：五年級學生在分數應用部分的答對情形 ............................................ 128 表 4-3-14：六年級學生在分數應用部分的答對情形 ............................................ 127. vii.

(10) 圖次圖 2-1-1：學習低成就原因 ........................................................................................ 11 圖 3-3-1：研究步驟流程圖 ........................................................................................ 40 圖 4-1-1：五年級分數前測卷之分年細目 3-n-11 解題表現 ................................... 55 圖 4-1-2：五年級分數前測卷之分年細目 4-n-07 解題表現 ................................... 56 圖 4-1-3：五年級分數前測卷之分年細目 5-n-08 解題表現 ................................... 56 圖 4-1-4：六年級分數前測卷之分年細目 3-n-11 解題表現 ................................... 60 圖 4-1-5：六年級分數前測卷之分年細目 4-n-09 解題表現 ................................... 60 圖 4-1-6：六年級分數前測卷之分年細目 5-n-09 解題表現 ................................... 60 圖 4-1-7：六年級分數前測卷之分年細目 6-n-05 解題表現 ................................... 61 圖 4-1-8：五年級分數前測卷之分數概念的不理解之錯誤分析 ............................ 64 圖 4-1-9：五年級分數前測卷之分數名詞定義的不理解之錯誤分析 .................... 64 圖 4-1-10：五年級分數前測卷之分數乘法概念的不理解之錯誤分析 .................. 64 圖 4-1-11：六年級分數前測卷之分數概念的不理解之錯誤分析 .......................... 66 圖 4-1-12：六年級分數前測卷之分數名詞定義的不理解之錯誤分析 .................. 66 圖 4-1-13：六年級分數前測卷之分數乘法概念的不理解之錯誤分析 .................. 67 圖 4-1-14：六年級分數前測卷之分數除法概念的不理解之錯誤分析 .................. 67 圖 4-1-15：五年級分數前測卷之同分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 .......... 69 圖 4-1-16：五年級分數前測卷之異分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 .......... 69 圖 4-1-17：五年級分數前測卷之分數間之互換的錯誤之錯誤分析 ...................... 70 圖 4-1-18：五年級分數前測卷之題意不理解的錯誤之錯誤分析 .......................... 70 圖 4-1-19：六年級分數前測卷之同分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 .......... 72 圖 4-1-20：六年級分數前測卷之異分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 .......... 73 圖 4-1-21：六年級分數前測卷之分數間之互換的錯誤之錯誤分析 ...................... 73 圖 4-1-22：六年級分數前測卷之題意不理解的錯誤之錯誤分析 .......................... 74 圖 4-1-23：五年級分數前測卷之題意不理解的錯誤之錯誤分析 .......................... 75 viii.

(11) 圖 4-1-24：六年級分數前測卷之題意不理解的錯誤之錯誤分析 .......................... 77 圖 4-2-1：初步認識分數，建立等分概念 ................................................................ 81 圖 4-2-2：藉由具象化教材的呈現，理解同分母分數的加減 ................................ 82 圖 4-2-3：分數教學學習單之分年細目 3-n-11 錯誤分析 ....................................... 83 圖 4-2-4：認識真分數、假分數、帶分數 ................................................................ 85 圖 4-2-5：假分數與帶分數之互換 ............................................................................ 86 圖 4-2-6：分數教學學習單之分年細目 4-n-08 錯誤分析 ....................................... 87 圖 4-2-7：認識等值分數 ............................................................................................ 90 圖 4-2-8：將分數、小數標記在數線上 .................................................................... 91 圖 4-2-9：分數教學學習單之分年細目 4-n-09 錯誤分析 ....................................... 92 圖 4-2-10：能理解分數乘法的意義 .......................................................................... 95 圖 4-2-11：能理解分數除法的意義 .......................................................................... 96 圖 4-2-12：分數教學學習單之分年細目 5-n-09 錯誤分析 ..................................... 97 圖 4-2-13：認識兩分母互質的算法 ........................................................................ 100 圖 4-2-14：解決分數兩步驟問題(併式) ................................................................. 101 圖 4-3-1：五年級分數後測卷之分年細目 5-n-06 解題表現 ................................. 106 圖 4-3-2：五年級分數後測卷之分年細目 5-n-08 解題表現 ................................. 106 圖 4-3-3：五年級分數後測卷之分年細目 5-n-09 解題表現 ................................. 106 圖 4-3-4：五年級分數後測卷之分年細目 5-n-13 解題表現 ................................. 107 圖 4-3-5：五年級學生在分數前測、後測、進步情形之直方圖 .......................... 108 圖 4-3-6：六年級分數後測卷之分年細目 4-n-08 解題表現 ................................. 112 圖 4-3-7：六年級分數後測卷之分年細目 5-n-08 解題表現 ................................. 112 圖 4-3-8：六年級分數後測卷之分年細目 5-n-13 解題表現 ................................. 113 圖 4-3-9：六年級分數後測卷之分年細目 6-n-05 解題表現 ................................. 113 圖 4-3-10：六年級學生在分數前測、後測、進步情形之直方圖 ........................ 114 圖 4-3-11：五年級分數後測卷之分數概念的不理解之錯誤分析 ........................ 117 圖 4-3-12：五年級分數後測卷之分數名詞定義的不理解之錯誤分析 ................ 117 ix.

(12) 圖 4-3-13：五年級分數後測卷之分數乘法概念的不理解之錯誤分析 ................ 118 圖 4-3-14：年級分數後測卷之分數概念的不理解之錯誤分析 ............................ 119 圖 4-3-15：六年級分數後測卷之分數名詞定義的不理解之錯誤分析 ................ 120 圖 4-3-16：六年級分數後測卷之分數乘法概念的不理解之錯誤分析 ................ 120 圖 4-3-17：六年級分數後測卷之分數除法概念的不理解之錯誤分析 ................ 120 圖 4-3-18：五年級分數後測卷之同分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 ........ 122 圖 4-3-19：五年級分數後測卷之異分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 ........ 122 圖 4-3-20：五年級分數後測卷之分數間之互換的錯誤之錯誤分析 .................... 123 圖 4-3-21：六年級分數後測卷之同分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 ........ 124 圖 4-3-22：六年級分數後測卷之異分母分數四則運算的錯誤之錯誤分析 ........ 125 圖 4-3-23：六年級分數後測卷之分數間之互換的錯誤之錯誤分析 .................... 126 圖 4-3-24：五年級分數後測卷之題意的不理解之錯誤分析 ................................ 127 圖 4-3-25：六年級分數後測卷之題目的不理解之錯誤分析 ................................ 128. x.

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(14) 第壹章. 緒論. 本研究以具象化教材進行五、六年級學生分數補救教學之行動研究，分析學童於教學前的學習表現、教學歷程，並於最後審視學童的學習成效。本章節共分四節：第一節、研究背景與動機；第二節、研究目的；第三節、名詞釋義；第四節、研究範圍與限制。茲分述如下：. 第一節. 研究背景與動機. 教育是人類的希望工程，把每一個孩子帶上來，是這些年全球在教育政策上著力的重點方針(教育部，2014a)。九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育主軸，以終身學習為教育的目標（教育部，2003），數學知識與數學能力更成為日常生活應具備的基本能力，除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養更是整個數學教育的主軸（教育部，2003）。各國數學教育的觀點更認為「所有學生都應該理解數學」，而數學理解的重要性，包含：(1) 自我生成。(2)強化記憶。(3)減少背誦。(4)提高轉換能力。(5)改善信念(Hiebert & Carpenter,1992)。因此於學習歷程中，學生在數學技能熟練度之前更應先強調數學的理解性。在國小課程中，分數、小數、百分率、比、除法等概念彼此關係密切，更是國小學童必須學習的重要概念之一(教育部，1993)。多個文獻更顯示出，分數概念在數學領域中更是具抽象性與複雜性的代表，使學生在學習上常遭遇到學習困難與障礙，產生許多的迷思概念(黃志敏、楊德清，2007；楊德清、洪素敏，2008；林天麒，2009；許正泰，2009；溫世展，2011；許佩嘉，2012)，倘若學生一開始就能將分數之關係理解清楚，並於教學中，兼顧概念性知識與程序性知識，並引導學生統整於解題中，並時時透過提問與學生進行溝通、連結和推理，相信能降低學生之錯誤類型與迷思概念(劉曼麗，2008)。美國數學課程原則與標準(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM,2000)，則認為表徵為學生學習過程中重要條件之一。Post 與 Behr(1987) 1.

(15) 研究結果也顯示出許多兒童缺乏表徵的能力。因此教師於教學裡，若能協助學童將抽象觀念具體化，則對學習有重大成效(教育部，2003)。故於教學實施上，教師應設計符合學生起點行為的數學問題，在過程中提供多元表徵協助學生進行概念的探索與理解（徐偉民、劉曼麗，2015）。更有學者表示，教學中若運用虛擬教具，也可提升學習者數學學習態度(許瑋芷、陳明溥，2000)。因此學生於學習過程中，對於抽象概念，若沒有適當的媒介予以思考與建構，學生可能因此無法理解意義因而產生學習困難，降低其信心與學習動機(洪郁雯、楊德清，2006)。故教師於教學實施中，應藉由多元的表徵融入，去了解學生的思考方式，並適時的運用教學方法，去引導學生提升至高層次的思考。「補救教學的目的在於縮小學習上的落差與階級間的差距。」讓不同背景程度的學生都能獲得公平發展的機會(張新仁，2013)。教育部開始於民國 85 年實施「教育優先區」、民國 87 年實施「潛能開發班」、民國 94 年實施「攜手計畫大專生輔導國中生課業試辦計畫」、民國 95 年實施「教育部辦理攜手計畫課後扶助補助要點」、民國 98 年實施「教育部補助國民中小學及幼稚園弱勢學生實施要點」、民國 100 年實施「國民小學及國民中學補救教學實施方案」、民國 101 年實施「教育部十二年國民基本教育學習支援系統建置及教師教學增能實施要點」、民國 102 年實施「教育部國民及學前教育署輔助直轄市、縣(市)政府辦理補救教學作業要點」、民國 103 年實施「教育部十二年國民基本教育配套措施之國民小學及國民中學補救教學實施方案」(教育部、2014b；陳淑麗、宣崇惠，2014)，皆是針對弱勢且學習低成就學生施予補救教學，藉此提高低成就學生的學習能力，以確保教育品質、落實教育機會均等理想、實現社會公平正義。在數學教育裡，強調每個學生都有權利要求受到良好的數學訓練，並充分認識重要的數學概念及提升厚實的數學能力(教育部，2003)，補救教學科目更是以數學科為主軸(朱家儀、黃秀霜、陳惠萍，2013)，為了達成「縮小學習上的落差與階級間的差距」，教師於教學時，更應依據學生能力因材施教，以學好數學為目標。所以教師於數學低. 2.

(16) 成就學生的分數上之補強是有所必要的。因此，研究者參考徐偉民(2011)國科會研究所發展之十八回合國小補救教學課程之架構，依照九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目，設計一套適合低成就學生的具象化教材進行補救教學活動，期望提升低成就學生在分數的學習成效。. 3.

(17) 第二節研究目的基於上述的研究動機，本研究採行動研究法，以對象為五、六年級接受補救教學的學生為對象。使用徐偉民(2011)國科會研究所發展之十八回合國小補救教學課程之架構，並依九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目，來進行分數具象化教材之補救教學活動，探討數學低成就學生學習歷程與成效，本文主要研究目的如下：一、探討學生在補救教學前在分數之學習表現。二、探討以具象化教材進行分數補救教學之實施歷程。三、探討以具象化教材進行分數補救教學之實施成效。. 4.

(18) 第三節名詞釋義一、具象化教材具象化教材之設計就是將平面教材實物化、動態化、意義化，將抽象概念的教材轉成具體動態的數位呈現，讓學生有視知覺經驗而慢慢形成空間概念。本研究所指的具象化教材是指將分數概念具體化，利用簡報軟體 PPt 加入動態效果，將抽象化概念予以視覺化、多樣化的呈現，以利於低成就學生學習。. 二、行動研究行動研究是一個過程，過程中透過科學方法研究自己的問題，並藉此引導、修正、評估自己的決定與行動(Corey,1953)。本研究透過教學前的前測，蒐集資料與分析，發現學生問題所在，並依照九年一貫數學學習領域分年細目(九七課綱)編制一套以具象化教材，進行數學低成就學生分數之補救教學，並於教學過程中，建立執行、檢討、反思、修正、再實施的模式(蔡清田，2013）。. 三、補救教學補救教學(remedial insrruction)是指對學習困難學童進行適當診斷，並針對其學習問題給予特別補習教學的過程(張春興，2007)，其主要目的是為了幫助低成就學生學習，降低其與同儕間的學習差距所進行的個別化教學。經由教師診斷出學生學習困難後，針對困難問題設計一系列合適的教學活動，解決學習者困難與障礙問題，提升其學習之成效。本研究透過教學前的前測初步診斷低成就學生的起點行為，針對其未達成之學習能力，依照九年一貫數學學習領域分年細目(九七課綱)編制一套以具象化教材，進行數學低成就學生分數之補救課程，並於補救教學歷程中，了解其實際學習狀況，並給予所需的協助。. 5.

(19) 四、低成就學生補救教學的對象為低成就學生。對「低成就學生」（under-achivers）的界定為：智力正常，但其實際的學業表現明顯低於其能力水準(張新仁，2001)。本研究中所指的低成就學生為五、六年級學業成績於班級後百分之三十五參加「補救教學」專案之學生，並經由線上診斷測驗，確定為需補救之對象。. 五、分數本研究「分數」採用徐偉民(2011)國科會計畫，將九年一貫數學習領域一到六年級，依照能力指標分年細目分類並歸納成十八回合，分別為「整數」、「代數」、「分數」、「小數」、「因數與倍數」、「基本平面圖形性質」、「平面圖形基本性質進階應用」…等。研究者依所研究之主題，選取「分數」部分，以分年細目之知識概念設計具象化教材，補救教學中所設計之分數具象化教材涉及的知識包含三部分：分數概念、分數四則運算、分數應用，探討透過具象化教材進行五、六年級分數補救教學之學習歷程與成效。. 6.

(20) 第四節. 研究範圍與限制. 一、研究範圍本研究之研究對象是以屏東縣某一國小五、六年級參加補救教學之學生，研究者為其進行分數具象化教材之補救教學活動，探討數學低成就學生學習歷程與學習成效。. 二、研究限制研究對象僅為屏東縣快樂國小(化名)的 10 位學童，故所得結果僅屬於該國小之學習現象，具參考價值，但對於其他地區、學校、學童，不宜作過度的推論。. 7.

(21) 8.

(22) 第貳章. 文獻探討. 本研究的主題為以具象化教材進行五、六年級學生分數補救教學之行動研究。本章之內容為相關的文獻探討，藉此整理國小分數課程的內涵，補救教學實施成效、策略與原則、具象化教材…等相關文獻，以幫助研究者設計適合數學低成就學生的教材內容。本章節共分四節：第一節、數學學習低成就生的學習與特質；第二節、數學補救教學；第三節、分數的補救課程；第四節、以具象化教材為數學補救教學之成效。茲分述如下：. 第一節. 數學學習低成就生的學習與特質. 本節對於數學學習低成就生之界定與特質，研究者將其分為三部份說明，分別為：一、數學學習低成就生的界定；二、影響數學學習低成就的因素；三、數學學習低成就學生的特徵。茲分述如下：. 一、數學學習低成就生的界定補救教學對象為低成就學生。低成就在英文上有兩種意義，一種為成就低落 (low achievement)，另為低成就(under achievement)(楊坤堂，1997)。諸多學者對於對「低成就學生」的界定為：智力正常，但其實際的學業表現明顯低於其能力水準(張新仁，2001)。近期對於補救教學受教對象的界定分為三類，分別為：1. 學生的實際學業表現明顯低於其應有的能力水準。2.學生的實際學業表現明顯低於其班級平均水準。3.學生學科成就不及格，且其學業成就表現明顯低於其他學生許多者(張新仁，2001)。曾意玲(2009)認為，數學學習低成就的定義是指學生個體智力正常，但是可能因為個人因素，如數學運算能力較低、計算能力較差、不容易理解題意…等；或環境因素，如家庭學習氣氛不佳、社經地位背景、數學學習動機、文化刺激不足…等，導致學生的數學能力低落，個人數學成績表現不能達到數學能力該有的水準。教育部(2006)所說之學習成就低落學生(受輔學生)，包含：原住民、身心障礙、外籍配偶子女…等。. 9.

(23) 由上述定義來看，數學學習低成就生的定義為學生實際之表現，因為個人，如：數學運算能力差、不理解題意；家庭，如家中學習氣氛不佳；學校，如缺乏適當課程；社會，如社經地位差…等環境因素相互作用的影響，導致其數學學業成績比預期水準低落者。本研究中所指的研究對象為參加「補救教學」專案的五、六年級學生，參加此專案的學生皆經由線上診斷測驗，確定為需補救之對象。. 二、影響數學學習低成就的因素唐淑華(2013)指出，影響學生學習低成就的心理因素有兩方面，一為內在因素，其為學習者個人的生理與心理方面的因素，涉及個人內在歷程，另一方面則為外在因素，包括學校、家庭、文化。其中，內在因素中，曾意玲(2009)認為，數學學習低成就學生由於長期的學業成績低落，因此在數學學習上產生學習的無助感，導致他們缺乏學習的動機與積極努力的態度。黃雅婷(2009)指出，學生自信心的多寡，也會影響學生的學業成績。外在因素中，張福松(2010)認為包含學校因素，如行政教育、教學設備、教學目標…等；社會因素，如社會意識形態、價值體系、教育政策…等，皆會影響學生的學習因素。因此一個有效的學習者，在這內在因素與外在因素兩方面上皆須善用。洪儷瑜(2005)指出，低成就學生學習成就低落的原因，大致可分成三種，分別為個體因素、環境因素、個體與環境交互作用所產生之因素。其中個體因素乃是因為生理障礙而導致學習低落的原因，例如：學習障礙、智能障礙、感官障礙、情緒障礙、注意力缺陷與過動等，環境因素大多是因為缺乏學習機會、動機、基礎、文化殊異、社經低落、問題家庭等因素所產生，當兩者交互作用時，若無法於關鍵時刻發現，並適時給予補救教學，使學生於學習上一再挫折，就容易產生習得無助感（learned helplessness）降低其自信心因而放棄學習(洪儷瑜，2005)。如圖 2-1-1：. 10.

(24) 圖 2-1-1：學習低成就原因資料來源：引自洪儷瑜(2005)。學習輔導。載於鄔佩麗(編著)，輔導與諮商心理學(頁 377-409)。台北市：東華。. 綜上所述，影響學生數學低成就的原因主要分成兩種，1.個體因素，即內在因素，如自信心不足、缺乏學習動機。2.環境因素，即外在因素，如家庭因素、學校因素、社會因素。本研究為避免低成就學生因此而造成數學學習低落，將補救教學分數具象化教材依據分年細目由淺至深的原則編製題目，從低年級的題目開始進行教學，以增進學生的自信心與學習動機。. 三、數學學習低成就生的特徵低成就學生很明顯的問題在於學業成就表現落後同儕許多(陳淑麗、宣崇惠， 2014)。許多學者對於低成就學生的特徵也有所探討(張新仁，2001；陳淑麗、宣崇惠，2014)，茲將所蒐集到的文獻依時間順序整理，作為本研究之參考。如表 2-1-1：. 11.

(25) 表 2-1-1：數學學習低成就學生的特徵研究者. 年代. 學習低成就學生的特徵. 邱上真、. 1998. 將數學學習低成就學生的表現特徵分為七點：. 詹士宜、. 1.理解數學概念有困難。. 王惠川、. 2.使用不正確或不合適的解題策略。. 吳建志. 3.對於基本的運算事實不熟悉。 4.計算速度慢。 5.運算效率差。 6.運作記憶差，無法處理複雜的問題。 7.學習數學有焦慮感，沒有信心。. 張新仁. 2001. 將其分成學業表現與日常行為表現兩部分： 1.學業表現 (1)在測驗的表現上，呈現低的基本作答技巧。 (2)學業成績表現較差。 (3)在閱讀或數學的程度比一般的學生來得低。 (4)被留級或有學業方面的挫折。 (5)經常找藉口不交作業或遲交，或向同學拷貝作業。 2.日常行為表現 (1)依賴性重，需要家長或教師的特別注意。 (2)對於有興趣的科目或課程，有優異的理解力及記憶力，並有固著的傾向。 (3)容易分心，不易專心及努力工作。 (4)學習態度不佳、缺乏動機、恆心。 (5)在自我或社會性的控制適應部分，有些困難。 (6)在學習部分，需要比其他同學更多的時間。 12.

(26) (7)不喜歡學校及家庭作業。 (8)習慣性的遲緩以及較低的出席率。 (9)家庭提供較少的支持。張福松. 2010. 數學學習低成就生在學習行為的特徵有四： 1.記憶力差。 2.注意力不集中。 3.語言及閱讀能力需要加強。 4.學習動機低落。. 陳淑麗、宣崇惠. 2014. 將其分成學習特質與情緒行為特質兩部分： 1.學習特質 (1)專注時間不長、易分心。 (2)缺乏有效的學習方法。 (3)基礎能力弱、學習速度慢。 (4)學業成就動機低落。 2.情緒行為特質 (1)低自我概念。 (2)情緒困擾。 (3)社會適應不良。. 由中發現，關於數學學習低成就學生的特徵，可歸納出三點：1.缺乏學習動機：低成就學生由於長期的學習挫敗、學業成就低落，導致學生習得無助感，因而降低其數學學習動機，不喜歡學校及家庭作業因而有不交作業、遲交、上課專注時間不長、易分心等行為出現。2.缺乏理解能力：當學生理解力較差時，於數學概念的理解上有困難，導致數學基礎能力弱、學習速度慢，因此學生於語言及閱讀能力上皆需給予加強。3.缺乏自信心：低成就學生由於學業成績低落，導致其對於學習數學有焦慮感、沒有信心，更認為自己無法獨自完成解題過程。 13.

(27) 由於數學低成就學生能力皆不同，在身心各方面上皆有個別差異，導致學習成效有所不同。本研究將分數具象化教材依據分年細目由易至難鋪成題目，降低其學習挫敗感，增加低成就生數學學習成功的機會，以提升其學習動機；搭配具象化教學活動，將抽象化概念予以視覺化、多樣化呈現，利於低成就學生學習概念理解；透過具象化教學後，讓低成就學生逐步練習數學運算與解題技巧，降低其數學焦慮感，提升其自信心。. 14.

(28) 第二節數學補救教學本節對於補救教學之相關知識與研究，範圍甚廣，研究者將其分四部分說明，分別為：一、補救教學的內涵與歷程；二、補救教學適用之教學策略；三、補救教學之設計原則；四、補救教學實施之成效。茲分述如下：. 一、補救教學的內涵與歷程十二年國民基本教育的核心課題之一，便是以「確保學生學力品質」、「成就每一個孩子」為目標，教育部積極推動補救教學方案，無非是希望教師能積極關注學生學習各階段之困難，並給予合適之補救教學，當學生學習動機提高，便願意主動學習，降低與同儕間之學習落差(教育部，2014a)。張新仁(2009)指出補救教學為一種「評量─教學─再評量」的循環歷程。其歷程大致分為三個階段，分別為 1.轉介過程：分成篩選個案、蒐集資料、初步診斷、家長參與四部分。2.正式評量：評量資料包含學習困難報告、教室觀察記錄、醫生診斷書、同儕互動關係及心理評量。3.教學：當了解學生的學習困難部分後，設計一套符合低成就學生之教學課程以進行教學。唐淑華(2013)指出補教教學的具體工作，包含：1.運用多元評量方式以正確診斷學習問題：補救教學的第一步乃是正確的診斷問題所在，而越精確的診斷，越能給予低成就學生有效的協助。2.提供適性與多元的學習材料：補救教學的實施課程，教師應該考量學生不同特性與需求來選用合適的教材。3.運用適性多元的教學方法：分為認知策略、後設認知策略、資源管理策略三部分。關於臺灣補救教學相關政策之補救項目，茲將所蒐集到的文獻依時間順序整理，作為本研究之參考。如表 2-2-1：表 2-2-1：臺灣補救教學相關政策一覽表年代. 計畫名稱. 主要補救項目. 1996. 教育優先區. 補救項目主要為輔助原住民及離島地區學. 15.

(29) 校辦理學生學習輔導、推展親職教育活動，並發展原住民教育文化特色及充實教室設備器材…等。 1998. 潛能開發班. 針對生活適應不佳、學習適應不佳的國中生，於學業輔導、生活輔導予上以補救。. 2005. 攜手計畫-大專生輔. 針對國中階段的弱勢家庭與低成就之學. 導國中生課業試辦. 生，予以課後的課業輔導。. 計畫 2006. 教育部辦理攜手計. 針對環境弱勢之國中小學生，實施補救教. 畫課後扶助補助要. 學。. 點(94 年攜手計畫之修訂) 2009. 2011. 教育部補助國民小. 針對環境弱勢之國中小學學生和學前幼. 學及幼稚園弱勢學. 兒，進行幼兒教育、補救教學、國小課後照. 生實施要點. 顧。. 國民小學及國民中. 針對環境弱勢之國中小學生，實施教育優先. 學補救教學實施方. 區、補救教學。. 案 2012. 教育部十二年國民. 對於全體學生，進行學習支援，如差異化教. 基本教育學習支援. 學、補救教學、特殊教育。. 系統建置及教師教學增能實施要點 2013. 教育部國民及學前. 針對一般地區低成就學生、特定地區學. 教育署補助直轄. 生，實施補救教學、學習輔導、學習扶助。. 市、縣(市)政府辦理 16.

(30) 補教教學作業要點 2014. 教育部十二年國民. 針對一般學習扶助學校、特殊學習扶助學. 基本教育配套措施. 校，進行補救教學，主要目的為提升教育品. 之國民小學及國民. 質、落實社會均等，實現社會公平正義。. 中學補救教學實施方案資料來源：修改自陳淑麗、宣崇惠(2014)。帶好每一個學生:有效的補救教學 (頁 6-7)。臺北市：心理。. 由中發現，從 1996 的「教育優先區」至 2014 的「補救教學」方案，受教對象從原住民、離島地區的學生、弱勢的國中小學生至現在的低成就學生，其共同的理念就是「把每一位學生帶上來」。十二年國民基本教育課程更是以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景，以「自發」、｢互動｣及｢共好」為理念 (教育部，2014b)。學校對於學生的個別差異予以因材施教，對於「學習快」的學生給予進一步擴展學習的機會；「學習慢」的學生給予補救的機會。江昭青(2009)指出補救教學若要走向專業，必須先克服四大挑戰，包括 1.釐清補救教學目標：了解誰才是真正需要補救教學的學生?於補救教學中，教師該教什麼?學生該學什麼?2.研發有系統的教材教法：教師應按照個別程度差異給予合適的補救教學教材，而補救教學需要有系統、有層次及有結構的教材教法。3. 師資需要專業培訓：忽略吸收專業知識的重要性，是補救教學是否有無成效的一大關鍵。4.重視評估機制：適當的評估機制能有助攜手計畫成效，但應採取令人信服的評估方式，此部分仍待思考。黃俊傑(2009)對於「攜手計畫課後扶助」執行給予相關建議，包括：1.建立受輔學生評量機制，了解學生進步情形。2.建構教師補救教學研習分級機制，落實專業成長功能。3.加強與家長溝通連繫，找出最需要輔導之學生。4.強化教師專業意識，落實平日教學。5.持續投入經費，扶助弱勢學生。6.發展系統性評鑑 17.

(31) 機制，通盤了解經費執行成效。徐偉民、劉曼麗(2015)對於高屏地區國小教師攜手計畫數學補救教學實施的情形，提出發現數學補救教學多以概念與計算問題為主，以學生原年級教科書為主，並未依學生程度重新編排，而參與的學生差異大，使教師於補救教學實施更有困難。對此提出三點建議，分別為 1.數學補救教學的實施應兼顧教師與學生中心，並提供學生表達想法的機會。2.規劃與發展合適的數學補救課程。3.結合校內外資源，採取行動研究解決教師在數學補救教學中的困難。經由多位學者的觀點，研究者認為未來補救教學更進一步思考與採取行動的方向，主要有三步驟：1.規劃並發展合適之數學補救課程。2.將教材轉化成適合低成就生學習，如：將抽象概念具體化。3.搭配評量檢核。研究者使用徐偉民(2011)國科會研究所發展之十八回合國小補救教學課程之架構，並依九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目，設計補救教學課程，搭配具象化教學活動，將抽象化概念予以視覺化、多樣化的呈現，並根據搭配評量的檢核，以了解低成就生的學習歷程與成效。. 二、補救教學適用之教學策略國外學者(Slavin,1989；McLaughlin & Vacha,1992)指出，使用直接教學法、合作式學習、精熟教學，以及個別化教學等課程計畫，能夠有效幫助低成就學生。 (引自張新仁，2001). (一)直接教學法（the direct instruction）直接教學法適用於教導學生記憶事實，學習動作技能，以及簡單的讀、寫、算技能。教師主要負起組織教材和呈現教材的責任，學生主要的任務是在接受學習。其教學步驟如下(張新仁，1995)： 1.復習舊有相關知識。 2.呈現新的教材，包含：陳述教學目標、組織教材，一次教一個重點、示範個別步驟、教完一個步驟，立即檢查是否學會。 18.

(32) 3.學生在教師指導下做練習。 4.提供回饋和校正。 5.學生獨立做練習。 6.每週和每月作總復習。直接教學法的優點在於教師提供所需資訊，加上學生充足的練習，就可以於較短時間內獲得較有效率的學習，相反的，由於都是教師的引導，因此容易降低學生的學習動機，注意力也較不持久。. (二)精熟教學(the mastery teaching) 精熟教學的基本理念為每個人的學習速度快慢不同。教學時只要列出要求學生精熟的標準，並給予學生足夠的學習時間，則幾乎所有智力正常的學生，都能精熟大部份學習的內容。其教學流程如下(林寶山，1990、張新仁，1995)： 1.引導階段：告訴學生精熟教學的實施方法和成績的評定方式，重點如下： (1)每位學生根據事先訂定的標準評定成績，不須和其他學生作比較。 (2)凡是達到此一標準的學生即可得 A ，人數沒有限制。 (3)不須和其他學生作比較。 (4)在學習過程中要接受一系列的評量，並根據提供的回饋，了解自己學習困難的所在。 (5)如有學習困難，必須參加補救教學或其他方式的學習。 2.正式教學階段 (1)將教材分成若干單元，擬定每一單元的具體目標和精熟的標準。 (2)進行班級教學。 (3)每一單元教學結束後實施第一次測驗，並提供回饋。 (4)未達教師事先訂定精熟標準的學生，要參加補救教學，重新學習原教材，然後再接受該單元的第二次測驗。若有少數學生再次未能通過，則利用課餘時間接受其他學習活動。 19.

(33) (5)至於達到精熟標準的學生，則參加其他充實性的學習活動。 (6)全班共同進行下一單元的教學。教學進度是由教師決定。精熟教學的優點在於只要時間充足的前提下，學生皆能精熟大部分的學習內容，更可立即檢核其問題所在，而予以補強，相反的，卻忽略了學習歷程的重要性，難以界定精熟表現的標準，並否定了個別差異的價值。. (三)個別化教學(the individualized instruction) 個別化教學主張由學生根據教材個別學習，且學習進度由學生自行決定，以美國學者凱勒(Fred S. Keller)所提倡的個別化教學系統(personalized system of instruction)較著名，其作法如下(林寶山，1990；張新仁，1995)： 1.教材細分成若干單元，每一單元皆有評量考試，且設有精熟標準(90%~100% 的精熟度) 2.學習材料是主要的教學來源，教師只是輔助者。因此，開學初即應準備妥指定閱讀的教科書、學習指引和作業。學習指引是學生自學的重要指引，內容包括各單元的學習目標、教材內容的分析等。 3.每位學生按自己的能力、時間，決定學習的進度。因此，每位學生精熟各單元所花的時間各不相同。 4.每位學生讀完各單元後，必須參加單元評量，達到精熟標準者則進入下一單元；未達到精熟標準者，就必須重新學習原單元教材，再接受該單元的評量。 5.評量後立即回饋，告知通過與否。個別化教學的優點在於照顧了學生的個別差異，使學生的潛能可得到充分的發展，更利於培養學生自學與獨立思考的能力，相反的，卻降低教學成效，缺乏學生間之交流與學習。. (四)合作式學習(the cooperative learning) 合作式學習則強調透過小組內合作學習的方式精熟學習內容。這個教學模式的主要特色有三(張新仁，1995)： 20.

(34) 1.異質分組：將不同性別、能力、種族、社經背景的學生作混合編組。 2.建立相互依賴：鼓勵學生互助合作，你需要別人，別人也需要你。 3.重視小組獎勵：只要小組表現達到預定的標準，便可獲得獎勵。合作式學習模式的教學成效，主要有三： 1.增進學業成績。 2.學習人際交往的技巧(social skills)及合作的行為。 3.接納不同背景的同儕，包括種族、家庭社經背景、生理或心理殘障。為適用於不同年級、不同學科和不同學習性質，合作式學習模式發展出許多不同的形態，其中以學生小組成就區分法(STAD)較適用於補救教學。教學步驟說明如下(張新仁，1995)： 1.全班授課(teaching)。 2.分組討論或練習(team study)。 3.小考(testing)。 4.計算進步分數(individual improvement socres)。 5.小組表揚(team recognition)。合作式學習的優點在於透過分組討論與練習，學生於課堂上較專心，學習愈有信心，當學生願意開口討論與幫助他人時，更能獲得學習的成就感，相反的，教師應隨時觀察各組間互動之情形，否則易形成個別的小團體。上述應用於數學補救教學的方法皆各有優缺點，但最重要的是，針對數學低成就學生學習動機低落、自信心不足，個別差異大…等特性，給予適當之教學方法，才能有效達到教學目標。本研究則運用直接教學法與合作式學習交互教學，透過具象化教學後，學生在教師的指導下做練習，並立即給予回饋與校正，當大多學生產生困難或專注力不足時，則利用分組討論與練習方式，鼓勵學生互助合作，提升其學習動機與自信心。. 21.

(35) 三、補救教學之設計原則教育部(2014a)於補救教學實施方案，提出三點實施原則，分別為 1.弱勢優先：優先補助弱勢地區學校、學生，並依情況需求給予補助。2.公平正義：依公平正義原則，給予弱勢學生積極性差別待遇，實施教育。3.個別輔導：對於需要特別扶助之學生，予以個別輔導。為更了解補救教學之設計原則，茲將所蒐集到的文獻依時間順序整理，作為本研究之參考。如表 2-2-2：表 2-2-2：補救教學的課程設計與原則研究者. 年代. 補救教學的課程設計與原則. 林玉華. 1995. 認為數學補救教學原則分為： 1.建立數學學習的準備度及了解學生之優缺點。 2.從具體到抽象的課程。 3.提供練習及複習機會。 4.將教學結果類化到新情境。. 張新仁. 2001. 補教教學課程實施上宜重視個別差異的需求，由於補救教學的對象存有個別差異性，擔任教學教師更應顧及個別程度與需要實施補救教學。. 曾柏瑜. 2008. 將有效的補救教學原則分成四部分，分別為： 1.學童的學習有高成功率。 2.明確的教學。 3.長期密集的介入。 4.小組教學。. 朱家儀、. 2013. 認為補救教學的課程設計宜：. 黃秀霜、. 1.解題技巧提點在補救教學上能有所成效。. 陳惠萍. 2.補救教學重點以學生之學科基礎能力為主。 3.授課教師與學生互動方式多元。 22.

(36) 由上表發現，關於補救教學的課程設計與原則上，最主要重點還是在於重視個別差異的需求上，先了解學生才能對其對症下藥，教學實施上，師生互動方式多元，並使學生學習具高成功率，才能提高其學習動機，進而提升學習成效。王明慧(1997)指出，教學要活潑化，方能引起學生之學習動機，其特色包含 1.提供學生一個和諧的數學學習情境。2.寓數學於遊戲中。3.注重數學由具體操作至抽象思考的歷程。4.增進學生正向的數學學習興趣與態度。5.提供每個學生都有參與教學活動的機會。綜上所述，若要增進低成就生的學習興趣與態度，應提供學生學習的機會，並於教學上注重數學由具體操作至抽象思考的歷程，教師對於每位學生皆有高度期望，並鼓勵學生、相信學生能成功。本研究以分數具象化教材進行五、六年級補救教學，教材內容以視覺化、多樣化的具象化設計，以分年細目之知識概念為主軸，搭配由淺至深、由簡至繁的設計原則(林玉華，1995；王明慧，1997)，並藉由故事的鋪成，以提高學生的學習興趣，降低其數學焦慮，並於補救教學實施中，重視個別差異的需求(張新仁， 2001)，時時注重每個學生的參與與反應，調整教學模式，並提供練習與複習的機會，提高學生之學習成功率(林育華，1995；曾柏瑜，2008)。. 四、補救教學實施之成效國內學者於補救教學實施的方式各有所不同，為更了解補救教學實施相關研究，研究者蒐集數學領域相關補救教學實施之研究資料，茲將所蒐集到的文獻依時間順序整理，作為本研究之參考。如表 2-2-3：表 2-2-3：補救教學相關實施成果一覽表研究者. 年代. 補教教學相關實施成果. 許紋菁. 2007. 透過七巧板的替換活動，能製造認知衝突，釐清分數符號的基本概念。透過七巧板的分割、合成及分組活動，能建立等分的概念。透過七巧板的分堆活動，能建立學生具體 23.

(37) 物與分數符號的橋樑，有效連結學習分數單位量概念。透過操作七巧板的比較活動，有助於釐清分數等量概念的錯誤想法。陳淑芳. 2007. 透過擬題融入補救教學活動後，迷思概念皆有正向之改變。. 林雅楓. 2011. 藉由六個補救教學實施歷程發現，透過面積概念構圖的輔助，有助於提升學生面積解題能力、面積概念問題的聚焦，遊戲的結合趣味與刺激的元素，能引起學生學習的動機。. 王敏娜. 2011. 三位學童經過 PPt 簡報補救教學後，皆可看出其在分數學習的成長，進步幅度也都提高了。. 趙璿皓. 2013. 攜手計畫教學模組對於提高數學低成就學生圖形與面積的學習表現有正向效果。. 鐘漢建. 2014. 利用數位數學教材進行分數補救教學，除了能使學生充分了解概念性知識外，也可以讓學生進行程序性知識與解題的練習，使學生學習更加鞏固，並提升學生學習興趣，進而增進學生學習信心，建構更具體的分數概念。. 由中發現，國內學者於補救教學實施上呈現方式多元，有使用七巧板(許紋菁，2007)、擬題活動(陳淑芳，2007)、概念構圖、遊戲(林雅楓，2011)、PPt 簡報(王敏娜，2011)、教學模組(趙璿皓，2013)、數位數學教材(鐘漢建，2014)…等，在補救教學上皆有良好成效，如：助於釐清分數等量概念的錯誤想法(許紋菁， 2007)、能引起學生學習的動機、興趣、信心(林雅楓，2011；鐘漢建，2014)、學習表現呈正向效果(陳淑芳，2007；趙璿皓，2013)…等，不論使用何種教學方式，皆是期望將抽象概念轉化為具體形式的方式，如：動作、圖像、操作物…等，以利低成就生學習(許紋菁，2007；陳淑芳，2007；林雅楓，2011；王敏娜，2011； 24.

(38) 趙璿皓，2013；鐘漢建，2014)。而 ofice 軟體更是每部電腦所必備的，更易於操作。因此，本研究透過運用 PPt 的功能，搭配活潑化、趣味化的具象化教學活動，將抽象化概念予以視覺化、多樣化的呈現，益於低成就學生學習，降低其學習困難，提升其學習意願，增進對數學學習的效能。. 25.

(39) 第三節. 分數的補救課程. 本節對於分數的補救課程，研究者將其分三部分說明，分別為：一、分數的補救課程；二、分數迷思概念相關研究；三、分數相關教學建議。茲分述如下：. 一、分數的補救課程本研究是針對國小五、六年級數學學習低成就的學生以具象化教材進行分數補救教學，分數教材之範圍從國小三年級至六年級。使用徐偉民(2011)國科會研究所發展之十八回合國小補救教學課程之架構，並依九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目，來進行分數具象化教材之補救教學活動。如表 2-3-1：表 2-3-1：九年一貫數學課程領域(九七課綱)關於分數分年細目分年細目. 內容. 3-n-11. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. 4-n-07. 能理解分數之「整數相除」的意涵。. 4-n-08. 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。. 4-n-09. 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. 4-n-10. 能將簡單分數標記在數線上。. 5-n-06. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. 5-n-07. 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。. 5-n-08. 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。. 5-n-09. 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。. 5-n-13. 能將分數、小數標記在數線上。. 6-n-03. 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。. 6-n-04. 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的問題。. 6-n-05. 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。. 由中發現，研究者藉由分年細目的探討，將分數知識分成三部分：分數概念、 26.

(40) 分數四則運算、分數應用。 Lary 與 Joseph(1978)將分數概念分為：圖形中全體的一部分、比例中的比、除法中的商、自然數中的有序對。Kieren(1980)則分為：部分-整體的概念、比例、商、測量、運算子。Behr 與 Post(1988)則分為：部分-全部的概念、比例、比值、商、操作、線性座標、數線上的一點。教育部(2003)則將其分為：平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部分/整體的意涵、除的意涵。林碧珍(1991)將其分為：部分-整體模式、子集合-集合模式、數線模式、商模式、比值模式。彭海燕(1998) 分為：部分/整體的意義、子集/集合的意義、數線上的一點、兩數相除的結果、比值。分數概念於不同情境下有不同意義，研究者將國內外學者的觀點將分數概念分為四部分：分數的意義、分數的稠密性、分數與小數間的關係、等值分數。分數四則運算則分為分數的加法、分數的減法、分數的乘法、分數的除法四部分。分數應用則是將分數概念與分數四則運算兩者連結，讓學生透過其經驗來推理並解決問題。研究者將分數的分年細目與分數知識整理成以下資料。如表 2-3-2：表 2-3-2：分數分年細目與分數知識一覽表分年細目. 內容. 分數知識. 3-n-11. 認識分數. 分數概念. 同分母分數的比較與加減問題. 分數計算. 在具體情境中解決問題. 分數應用. 4-n-07. 理解分數之「整數相除」的意涵. 分數概念. 4-n-08. 認識真分數、假分數與帶分數. 分數概念. 熟練假分數與帶分數的互換. 分數計算. 同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算. 分數應用. 認識等值分數. 分數概念. 簡單異分母分數的比較、簡單分數與小數的互換. 分數計算. 4-n-10. 將簡單分數標記在數線上. 分數概念. 5-n-06. 用約分、擴分處理等值分數的換算. 分數計算. 5-n-07. 用通分做簡單異分母分數的比較與加減. 分數計算. 5-n-08. 理解分數乘法的意義. 分數概念. 4-n-09. 27.

(41) 熟練其計算. 分數計算. 解決生活中的問題. 分數應用. 5-n-09. 理解除數為整數的分數除法的意義. 分數概念. 5-n-13. 將分數、小數標記在數線上. 分數概念. 6-n-03. 將分數約成最簡分數. 分數計算. 6-n-04. 理解分數除法的意義. 分數概念. 熟練其計算. 分數計算. 解決生活中的問題. 分數應用. 解決分數的兩步驟問題，並能併式計算. 分數計算. 於具體情境中，解決問題. 分數應用. 6-n-05. 透過國小分數課程的教材內容的分析，將分數知識分為分數概念、分數四則運算、分數應用三部分。本研究為進行分數具象化教材，設計時皆包含此三種分數知識，並由簡至難設計原則鋪成題目，使低成就生能透過動畫活動更易理解分數概念，並透過教學後的逐步練習，增其計算能力，進而解決生活中之應用問題。. 二、分數迷思概念相關研究依據國內外文獻的探討，研究者整理出分數於學習上最容易產生迷思概念 (misconception)的部分，以做為研究者參考，盼能設計出合適之教學內容，降低低成就學生受迷思概念之影響。如表 2-3-3：表 2-3-3：分數迷思概念相關研究一覽表研究者. 年代. 分數迷思概念的研究. 黃志敘、. 2007. 1.不了解分數的意義。. 楊德清. 2.缺乏子集合~集合之概念。 3.缺乏單位量概念。. 楊德清、. 2008. 洪素敏. 1.等分概念薄弱。 2.忽略單位量。 3.受整數基模的影響，視分數 b/a 為兩個獨立的數。. 林天麒. 2009. 1.學童分數概念的錯誤類型. 28.

(42) (1)單位量指認錯誤。 (2)缺乏部分與全部的概念。 (3)視分數中的分子與分母為兩個獨立不相關的個體。 (4)缺乏等分概念。 (5)缺乏等值分數的概念。 (6)誤認為「等分」是除了面積相等外，形狀也必須相同。 (7)缺乏「整數相除可以用分數來表示」的概念。 (8)缺乏「分數是一個比值」的概念。 2.學童分數運算的錯誤類型 (1)與整數相加時，直接把整數跟分子相加成為答案。 (2)帶分數化成假分數的錯誤。 (3)把整數分別加上分子、分母成為答案。 (4)計算時都用大的數減小的數。 (5)分子加分子，分母加分母。 (6)通分後，分母放在分母，但分子卻是原分子相加減。 (7)運算符號錯誤。 (8)帶分數乘整數時，整數不變，只處理分數部份。許正泰. 2009. 1.不了解分數意義。 2.受整數概念的影響。 3.受錯誤的約分概念影響。 4.受分數乘法運算規則的影響。 5.受錯誤的擴分概念影響。 6.受錯誤的通分概念影響。 7.缺乏分數是一個數的概念。 8.不了解假分數與帶分數互換方法的意義。 29.

(43) 9.合理化錯誤的運算方法。許佩嘉. 2012. 1.分數乘以整數部分：例如：將整數取倒數，分子分母同乘以此整數。 2.整數乘以分數部分：例如：將整數取倒數，分子分母同乘以此整數。 3.分數乘以分數部分：例如：乘數的分數顛倒後再相乘。. 由中發現，學生於分數的學習困難相當多，由分數知識上，將迷思概念分成三部分：1.分數概念：不了解分數的意義、單位量概念、等值分數、等分概念薄弱…等(黃志敘、楊德清，2007；楊德清、洪素敏，2007；林天麒，2009；許正泰，2009)。2.分數四則運算：合理化運算錯誤的運算方法、計算時都用大的數減小的數、分子加分子、分母加分母…等(林天麒，2009；許正泰，2009；許佩嘉， 2012)。3.分數應用：受錯誤的約分、擴分、通分概念影響、受整數基模的影響… 等(楊德清、洪素敏，2007；許正泰，2009)。本研究為降低低成就生於補救學習的迷思概念，藉由具象化教材的設計，搭配具象化教學活動，將抽象化的概念予以視覺化、多樣化的呈現，使低成就生更易理解分數的概念，並於教學後，增加低成就生練習與學習的機會，以協助學生之概念與計算。當低成就生分數概念已建立，並使其將數學表徵應用至其他相關領域，提升其學習效益。. 三、分數相關教學建議為使研究者於補救教學中，能給予低成就學生最好、最合適之教學，探討關於國內外分數相關教學建議，作為研究者之參考。如表 2-3-4：表 2-3-4：國內外分數相關教學建議一覽表研究者. 年代. 分數相關教學建議. Behr、. 1993. 指出學校介紹有關分數教材時若太強調程序性技能與計 30.

(44) 算的演算法可能導致學習成效低落。. Lesh、 Post、 Sliver Empson. 2003. 於課室中研究學童分數表現，發現學生學習良好的成效取決於教師如何去精心安排數學課程讓學生參與課堂，當教師公開讚揚低成就學生時，這些學生參與程度提高、焦慮減少，反能提高學習成效，於教學上給予三點建議，包含： 1.了解學生學習前之先備知識。 2.教師創造多種參與架構。 3.增加學生彼此互動的機會。. 黃志敘、. 2007. 楊德清. 於分數迷思概念上，建議教師於教學時多使用多元解題策略，包含： 1.善用圖形表徵方式解題。 2.以單位分量為基礎，以進行解題。 3.利用除法進行解題。 4.利用分數的乘法進行解題。. 楊德清、. 2008. 洪素敏. 分數教學時，應提供學童較豐富的具體操作物情境著手，嘗試透過具體物、圖形表徵至抽象符號表徵之教學進程設計補救教學活動。. 劉祥通、康淑娟. 2012. 於分數教學上給予三點建議，包含： 1.分數的等值關係的基模是解題的重要資源，學生是否已建立分數的等值關係，需要教學者更加留意。 2.不論基準量設定多少，如何找「1」是重要的捷思策略之一。 3.強調分數「等分」的概念，以奠定學生正確基礎概念。 31.

(45) 由中發現，對於分數相關教學的建議，若太強調程序性技能與計算的演算法可能導致學習成效低落(Behr,Lesh,Post & Sliver,1993)，因此期許教師能透過具體的情境或操作物的引入(楊德清、洪素敏，2008)，並提供多元解題策略，藉此豐富學生的學習經驗(黃志敘、楊德清，2007)，使其願意主動並持續學習，並於教學前了解學生的先備經驗，並提供學生學習的機會，鼓勵學生參與小組討論，增加學生彼此互動關係(Empson,2003)。本研究以具象化教材進行五、六年級分數補救教學，透過具象化教學的呈現，主要目的在於使低成就生更易理解分數概念，而非程序性技能的演算技巧，並於課堂上鼓勵學生參與，提供其學習機會，更應於課堂上以螺旋式教學，不斷複習、練習舊概念，使低成就生再次學習正確概念，才能真正於教學上剔除其迷思概念。. 32.

(46) 第四節. 以具象化教材為數學補救教學之相關研究. 本研究所指的具象化教材是指將分數概念具體化，利用簡報軟體 PPt 加入動態效果，將抽象化概念予以視覺化、多樣化的呈現，以利於低成就學生學習。教師於補救教學中，若能將教學內容適當地轉化成具體訊息，相信能利於低成就生將其內在的概念、想法轉化為較具體的外在表現上。國內學者對於具象化教材有多種不同教學與解釋，研究者蒐集數學領域相關研究資料，茲將所蒐集到的文獻依時間順序整理，以更了解具象化教材於分數教學上之成效，作為本研究之參考。如表 2-4-1：表 2-4-1：具象化教材進行分數教學之成效研究者. 年代. 實施對象. 實施方法. 實施發現. 洪郁雯、. 2006. 三年級. 具體表徵例. 透過具體操作的方式，學生. 如：花片、瓶. 能善用各種具體表徵，幫助. 子、色紙等. 自己運思，進而培養解決生. 楊德清. 活問題的能力。楊德清、. 2008. 五年級. 洪素敏. 陳韻婷. 2011. 五年級. 透過具體物、圖學生在分數概念上已有成形表徵至抽象. 長與進步，並認為具體物的. 符號表徵之教. 操作是學習分數的必要過. 學進程. 程。. PPt 圖像表徵. 強化學童異分母分數加減運算之概念，並改善異分母分數加減之迷思概念。. 林亭妤. 2012. 五年級. 多元表徵. 幫助學童理解等值分數、擴分、約分的意義與關係。. 顏全朗. 2013. 四年級. 平板電腦. 實驗組學生在接受以平板電腦為輔助教學工具融入. 33.

(47) 自編等值分數單元學習後，學習態度表現有顯著差異。郭亭纖. 2015. 四年級. 圖示表徵. 分數乘法的整體表現、分項表現，具有立即成效與保留成效，並提升學習動機表現。. 由中發現，國內學者運用具象化教材進行分數教學收益相當良好，不論於概念、思考、計算、成效皆深獲文獻研究者之肯定。教師於教學中使用不同的教學輔具，例如：具體操作物(洪郁雯、楊德清，2006；楊德清、洪素敏，2008)、PPt 圖像表徵(陳韻婷，2011；郭亭纖，2015)、平板電腦(顏全朗，2013)、多元表徵(林亭妤，2012)…等，發現其更能比傳統的教學法提升學生的興趣與學習成效(顏全朗，2013；郭亭纖，2015)，培養運思的能力，解決生活問題的能力(洪郁雯、楊德清，2006)。研究者認為圖像最易使低成就生將其抽象的內在概念轉化為具體，因此設計一套於補救課程中使用的具象化教材，教學內容以圖像表徵為基礎。與過去研究不同點在於，本研究的補救教學課程主要是依照九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目所設計，課程內容由三年級開始由易至難、由簡而繁、由已學至未學設計，存有具高度的結構性，學習目標明確且具體，並將每條分年細目的抽象化概念，予以視覺化、多樣化呈現，編製出一套分數具象化教學活動，以利於低成就學生學習概念理解。. 34.

(48) 第參章. 研究方法. 本研究旨在理解國小高年級學生教學前在分數學習表現，並探討以具象化教材進行國小五、六年級分數補救教學之實施歷程與實施成效，研究者參考徐偉民 (2011)國科會研究所發展之十八回合國小補救教學課程之架構，並依九年一貫數學課程領域九七課綱分數部分分年細目，來進行分數之補救教學活動，並依照實際教學師生互動之情形與學生學習之效果予以分析、檢討並做適當調整，以作為行動修正之依據。本章節共分五節：第一節、研究方法；第二節、研究對象與背景；第三節、研究流程；第四節、研究工具；第五節、資料蒐集與分析。茲分述如下：. 第一節研究方法「沒有行動的研究，是空的理想；沒有研究的行動，是盲的活動。」本研究採用行動研究方法，主要在結合「研究」和「行動」，研究者即行動者，透過不斷的反省、思考、再計畫的過程，發現問題再進而解決問題，強調問題解決的立即性、實用性(蔡清田，2013)。行動研究是教師於教學現場把所有的教學活動、教學過程當作影響下一步教學行動的回饋，透過不斷的監看過程中，教師是可以改善其教學的(蕭昭君，2002)。行動研究法的步驟，主要分成四部分：1.找出研究問題或問句：釐清所關注的問題。2.得到所需的資訊回答問題：決定需要怎樣的資料，及如何蒐集。3.分析及詮釋已蒐集的資訊：資料經過蒐集與摘要後需要加以分析，才能他所透露的訊息。4.發展一個行動計畫：根據研究發現，再擬出一份如何實施改變的計畫。 (楊孟麗、謝水南譯，2013) 研究者於進行研究前，透過分數前測的實施，找出學生的問題所在，並藉由學生的前測資料，蒐集與分數相關之文獻，並予以分析、詮釋，最後發展出一套於補救教學課堂中所使用之分數具象化教材，其中五、六年級一週各一節課的時間進行研究，預計五、六年級各進行四週、五週補救教學，其中六年級前四週教 35.

(49) 學內容與五年級相同。教學過程中，透過教學、後測紙筆測驗、檢核表、學生課後回饋單、教師反省日誌，來了解學生成效並予於教學過程中反思並修正教學行動。. 36.