有關平面鑲嵌的開放性問題 傅海倫

EduMath 21 (12/2005)

有關平面鑲嵌的開放性問題

傅海倫

山東師範大學數學科學學院

開放性問題是相對於封閉性問題而言的。數學中的「封閉性問題」一 般指問題的條件和結論都完全確定，而且不多不少。而所謂「開放性問題」

是指：就問題本身而言，或者條件是不完全確定的，或者結論是不唯一的，

甚至沒有標準答案。問題內容的獨特性、表述形式的新穎性、問題解決的 發散性和教育功能的創新性是數學開放題最突出的特徵。開放性問題是考 查學生創新意識，有利於學生自主發揮水平的好題型，下面以平面鑲嵌問 題為例說明之。

在日常生活中，觀察各種建築物的地板，就能發現地板常用各種正多 邊形地磚鋪砌美麗的圖案。也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼 成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊，這在幾何裏叫做平 面鑲嵌。平面鑲嵌與正多邊形的內角大小有關。當圍繞一點拼在一起的幾 個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角（360°）時，就拼成了一個平 面圖形。

平面鑲嵌問題具有很強的開放性，這類試題，有利於考查學生的探索 能力，發散思維和創造意識，對於今後的教學有很好的導向性。教師在教 學中應該充分重視發揮這個開放應用題的教育價值。為此可以設置如下的 問題：

(1) 請你舉出常見的兩種正多邊形鑲嵌成一個平面圖形的例子。

(2) 像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的地磚？為什麼？

(3) 如果限於用一種正多邊形鑲嵌，試討論哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個 平面圖形？

(4) 請你再畫一個用兩種不同的正多邊形地磚鋪地的草圖。

(5) 從正三角形、正方形、正六邊形中選取一種，再從其他正多邊形中選

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數學教育第二十一期 (12/2005)

取一種，探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明 你的理由。

(6) 你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的地磚鋪 地的方案？把你想到的方案畫成草圖。

分析與參考解答

(1) 我們常見到如圖那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六 邊形地磚鋪成的，這樣形狀的地板能鋪成平整、無空隙的地面。

(2) 所用地磚的形狀不能是正五邊形。因為正五邊形的每個內角都是 108°，而找不到符合條件 n × 108° = 360° 的 n，故不能用正五邊形的 地磚鋪地面。

(3) 設每塊所用的正多邊形地磚有 n 條邊，圍繞某一點需要 m 塊這樣正多 邊形地磚才能鑲嵌成一個平面圖形。則 − ° = °

180 360 ) 2 (

n n

m

即 (m − 2)(n − 2) = 4（m , n > 2，m、n 是自然數）。

當 m = 3 時，n = 6；當 m > 3 時，n < 6。因此，n = 3 , 4 , 5。

當 n = 3 時，m = 6；當 n = 4 時，m = 6；當 n = 5 時，m 不是整數。

綜上所述，m = 3，n = 6；m = 4，n = 4；m = 6，n = 3。即只有正三角 形、正方形、正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形。

(4) 符合要求的方案也很多，如下兩例：

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EduMath 21 (12/2005) (5) 例如可以選取正方形和正八邊形。設在平面圖形的一個頂點周圍有 m

個正方形的角，n 個正八邊形的角，那麼，m、n 應是方程

m 90° + n 135° = 360° (*)

化簡 (*) 式得 2m + 3n = 8，這個方程的整數解只有 m = 1、n = 2 一組，

所以符合條件的圖形只有一種。

(6) 符合要求的方案很多，如下幾例：

解決平面鑲嵌問題思維策略和解題方法不唯一，要求學生根據所設條 件和要求，尋求切合實際的多種解決問題的途徑，變單向思維為多向思維。

教師在平時的教學中應滲透開放題，要循序漸進，要根據學生的身心特點，

符合學生的認知規律，由封閉一步一步走向開放，在引入開放題的基礎上 逐漸進行開放式的教學。

聯絡地址：山東師範大學數學科學學院，（郵政編碼：250014）

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