第二章 問題定義與相關研究

第一章 緒論

近年來，隨著微機電與無線通訊技術的發展，許多機構和團體開始對 感測器網路(Sensor Network)進行研究，它是因應「偵測」功能所發展出 的網路架構模式，除了平時感測取得所需資訊外，並可依照所收集的資 料，進行儲存、運算及傳輸，並使管理者依此做出適當的回應動作。由於 感測器透過無線傳輸介面可和其他的感測器做溝通，因此常被視為隨意無 線網路(Ad Hoc Wireless Networks)的一種。

無線感測網路的應用範圍十分廣泛，如在博物館、圖書館、畫廊、藝 術品展覽會場等地方為防止有價值的藝術品或展覽品遭到竊盜、不經意的 觸摸、任意搬動等情形的安全的保全系統。在軍事上的偵測及監控、醫療 方面之遠距監測健康的使用。如果將超寬頻傳收機加上感測器（Sensor）

且大量的佈建這種裝置的話，將可以形成一個具定位功能的無線感測器網 路（Wireless sensor network）。這樣的系統可以達到比傳統通訊系統更 加有效的應用，比如說在火災現場，消防隊員只要配戴這些接收器，救災 指揮中心就可以知道所有人的位置來加以指揮。每位消防隊員不但可以知 道其他隊員的位置，還可以很快的避開危險的地方並找到生還者。另外一 個有趣的應用是智慧家庭，當家裡的某一位成員回家時，在他手錶上的超 寬頻裝置就會和家中其他的超寬頻裝置網路溝通，讓大家知道家人回家

了。而當他走到客廳時，網路偵測到其位置，則會自動地將電燈打開。而 工廠的老闆也可以在貨物上面貼上這種裝置，整個無線網路就會自動向主 電腦報告現在貨物的狀態，建立所謂的虛擬盤點而省下許多的人力物力。

節點的位置估測可應用於省電機制中，由於位於邊界的節點其貢獻度 較中間的節點低，若在一個節點數夠多、稠密度（Density）高的無線感 測網路中，則我們便可在整個網路連結的（Connectivity）條件下，安排 邊界的節點優先進入休眠模式，來達到省電、延長網路壽命（Life time）

的目的。此外，當節點知道所在的位置，可應用於感測器的 flooding 中 藉以改善 routing 效能[5-8]。

由於感測器在任意散佈或可移動的情形下，必須仰賴硬體設備或接收 到的訊息來決定節點位於目標區域的位置。目前現有的位置估測方法可分 為硬體及軟體二大類（如圖 1.1）。以硬體來說，如全球衛星定位系統 GPS

（Global Positioning System）。其利用接受器來接收及分析衛星所傳送 訊號，由接收器內計算出目前所在的地理位置，具有全面性、即時性與等 週期性蒐集資訊之優點。然而，由於 GPS 多使用於室外，有環境使用上的 限制、且易受干擾、感測器消耗較高的電量、成本較高等缺點。

位置估測方法

硬體 軟體

不需參考點 需已知參考點

Signal Pattern

Matching Angle of Arrival 信號強度 Connectivity

Base 分類統計法

GPS

圖 1.1 目前常見使用於位置估測方法的分類

在軟體方面，大部分的演算法均需要固定已知位置的參考點。以下概 略介紹幾種常見的方法。一、信號到達方位角（Angle of Arrival）。利 用方向性天線判斷信號的來源與方向，當收到二個以上已知位置的訊號 後，便可依傳送端與接收端的相對角度計算出其位置。此種方法估測的精 確度雖然高，由於需要額外硬體，設備成本很高。二、訊號樣本比對（Signal Pattern Matching）。利用預先建立好的訊號樣本資料庫，將收到的訊號 與資料庫中的樣本比對，找出最接近的訊號樣本，來決定其位置。因事先 須建立資料庫，非常耗費時間成本。三、訊號強度法。使用收到已知位置 的信標（Beacon）強度估計未知節點與已知位置的信標間之距離，並計算 出節點位置。缺點是訊號強度常會因衰減、多重路徑、環境差異和其他干 擾而影響估測的準確度。Chintalapudi 等人[9]提出的三種演算法則不需 任何已知位置的參考點，將收集到的鄰居資訊利用分類、統計的方式來估

測節點位置。其中前二種方法需要動態設定門檻值，來決定是否為邊界節 點，而影響估測位置的正確性。而三種方法中若非固定的節點配置方式則 無法決定是否為邊界的節點。

綜觀上述使用於無線感測網路中的位置估測方法，可歸納出下列缺 點：

z 需額外的硬體設備增加成本。如 GPS 模組及軟體演算法中需已知

參考點的方法。

z 使用環境的限制。如 GPS 只能在戶外環境中使用。

z 耗電量高。如使用 GPS 模組，感測器需負擔其電力，因此降低使

用壽命。

z 位置估測的準確度不佳。如使用訊號強度的方法，常因障礙物或

其他干擾影響估測的正確性。

基於以上的缺點，我們的研究動機是希望找出成本低、體積小、耗電 量低、不受環境限制與估測準確度高的方法。我們的研究目標是提出在一 個感測器被隨意均勻分佈的無線感測網路中，利用「邊界效應」（Border Effects）來估測節點位置的方法。所謂邊界效應是指位於目標區域邊界 上的節點，其鄰居數目會小於目標中間區域節點的鄰居數目。這是由於位 於邊界的節點其可通訊的範圍只有部分會落於目標區域內。此種效應所造

成的影響，視通訊半徑（Communication Radius）與系統區域邊長的比值 而定。一般而言，邊界效應的影響在合理大小的區域即相當顯著。應用此 方法，無須加裝額外的硬體或其他設備，利用感測器接收到的鄰居訊息就 可估測節點的位置，且沒有環境的限制，是一種簡單而有效率的方法。另 外，本篇論文根據目標區域的邊長、感測器的通訊半徑及分佈的節點數目 之關係，推導出邊界與中間區域之鄰居數目的數學式，並由實際的模擬實 驗中得知我們所推導的理論值與實際值是非常接近的。

本研究之內容共分為五章，各章節的內容說明如下：

第一章 緒論：說明本論文之研究背景、動機、目的與章節架構之概述。

第二章 問題定義與相關研究：說明本研究的定義模型與分別對相關論文 所提出感測器位置估測的方法作探討。

第三章 位置估測：針對本論文所提出位置估測的方法作詳細的說明，並 推演出數學模型。

第四章 效能評估分析：將提出的方法以實驗來評估本研究的效能分析及 驗證數學模型的結果。

第五章 結論：對本論文所提出的方法及數學模型經效能分析與驗證做出 總結及未來可努力方向。

第二章 問題定義與相關研究

2.1 問題定義

首先，我們定義<

n

,

r

,

l

,

m

>網路模型：考慮一個在隨意無線的感測 網路中，有

n

個節點被均勻分佈在

l x m

的矩形區域中，每個節點的通訊 半徑皆為

r

，且

r

須符合 ，如圖 2.1 所示。由目標區域的 邊界往內至 1/2

r

的範圍為邊界區域 A，其餘面積為中間區域 B。假設每個 節點在正常的情況下會週期性（Periodical）發出一個 Hello message，

則每個節點便可經由收到的訊息得知自己有多少鄰居數。

) 2 / , 2 / min(l m r ≤

l

m

r/2

r/2

r/2 r/2

A

B

圖 2.1

lxm

的矩形目標區域之邊界劃分

已有學者指出[2]節點之間的連結機率（Link Probability）與節點 的期望涵蓋面積（Expected Coverage）成正比。目標區域中心處節點的 期望涵蓋面積接近

πr

²，因此連結機率較高，期望鄰居數目較多；反之，

靠近邊緣處節點的期望涵蓋面積較小，所以期望鄰居數較少。本篇論文主 要就是利用節點鄰居數目的資訊來估測節點位於目標區域的邊界或中間 區域。

在無線感測網路中，節點的位置估測是一個非常重要的問題。所謂位 置估測是藉由硬體或軟體的方式，利用接收到的資訊與其他參考點或不需 任何參考點，在節點內經演算法比較、計算後判斷其所在的位置。目前的 方法中多以估測待測節點的座標，如 GPS、Connectivity Base 等。另一 種，則是估測節點位於目標區域的邊界或中間區域。如分類統計法與我們 提出的方法。

2.2 相關研究

目前常見的位置估測方法中，GPS 雖然可達 10 m 的精確度，然而成本 過高。軟體估測位置的演算法中，大部分需已知位置為參考點，利用參考

點與收到的訊號，其收到的強度或傳送端與接收端產生的相對角度或經訊 號比對後，代入其演算法計算出結果。以下介紹其方法。

這些方法中，可分為硬體及軟體二類（圖 1.1）。硬體方面，如全球衛 星定位系統 GPS（Global Positioning System）。GPS 的定位方式是由 24 顆人造衛星組成，共分為六個軌道，佈署在離地球表面約 20200 公里的圓 形軌道上。透過人造衛星發送信號，利用無線電波與時間差量測距離，GPS 接收器收到訊號後由接收器內計算位置，精確度可達 10m。雖然精確度高，

但有下列缺點：

z 額外硬體成本：使用 GPS 的定位方式，感測器需安裝 GPS 模組，提高

成本。

z 耗電量高：安裝 GPS 模組後，感測器須負擔其電力，因而降低其壽命。

z 使用環境受限制：由於 GPS 在室內環境會因障礙物或其他因素的干

擾，影響定位功能，因此只能使用於室外環境。

z 增加體積：GPS 的模組會增加感測器的體積。

在軟體的演算法方面，可分成需已知參考點及不需已知參考點。大部 分的演算法皆需仰賴參考點的已知位置為基礎，再利用其演算法計算位 置。約有下列幾種方法：

一、 訊號到達方位角法（Angle of Arrival）

作法是利用傳送端與接收端的相對角度來計算位置之定位方法。主要 需透過方向性天線判別訊號的來源及方向，須獲得至少二個已知位置的傳 送端訊號，其與接收端所形成的相對角度，可經計算後得知接收端位置。

這種方法的缺點是須安裝具方向性的陣列天線，因此大幅提高設備成本。

二、 訊號樣本比對法（Signal Pattern Matching）

此種方法須預先建立樣本位置的資料庫。如 RADAR 系統 [12]，其方 法主要分成二階段：

z Off-line phase：離線階段是先收集訊號，以建立訊號樣本資料庫。

z Real-time phase：將收到的訊號與資料庫中的訊號樣本作比對後，找

出最接近的訊號樣本，由紀錄中的訊號樣本位置為接收端的位置。

這種方法在室內環境中雖有很高的精確度，但事先收集、建立訊號樣 本資料庫須耗費許多時間成本。

三、 Connectivity Base

Bulusu 等人提出 Connectivity Base 的方法[13]。在網路中已知位置 的參考點，這些參考點會定期傳送包含位置的信標（Beacon）信號，且假 設參考點皆同時傳送信號，未知位置的節點收到的信號若大於門檻值，則

表示此節點與已知位置的參考點是連結的（Connected）。設欲估測的節點

i

收集信號後與

k

個參考點連結，此

k

個參考點的座標表示為( )、

( )、…、( )，則欲估測節點

i

的座標為：

1

，1 _i

i Y

X

2

，2 _i

i Y

X X ，_ik Y_ik

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + + + +

= k

Y Y

Y k

X X

Y X

X_{est est} ⁱ1 ⁱ2 L ^{ik i}1 ⁱ2 L ^ik ,

,

由以上公式可知，欲估測的節點座標是利用連結的參考點間的幾何中心求 出，如圖 2.2 所示。

d R

圖 2.2 Granularity of Localization Regions vs. Range Overlap

設 R 表參考點的傳輸半徑，d 表示相鄰參考點的距離。當參考點間涵 蓋面積重疊的區域愈大（如增加

R

/

r

的比值），則所估計節點位置的精確 度愈高。此種方法須建立在訊號傳遞時不受任何干擾的理想狀態及所有感 測器的傳輸半徑相同的條件之下。然而，在實際的網路環境中，傳送的信 號易受影響，如衰減、多重路徑、環境差異及其他干擾。因此會影響估測 位置的準確性。

四、訊號強度法

在使用信標的方法時，若想得到精確度高的結果，通常需要多個信 標，但是增加信標會使成本提高很多。Sichitiu 等人提出一個 RF-base 之 位置估測演算法[1]，對於任何節點與網路密度，其只需一個移動性的信 標就可達到很高的效能。系統會要求節點在配置前須先做初始化校正，以 提高估測的可靠度。感測器被配置於目標區域後，已知位置的移動性信標 會依軌道移動（如圖 2.3）並 broadcasting 包含信標位置的 beacon packets，任何未知位置的節點收到 packet 及 RSSI 的強度後，便可估計 本身節點與移動信標的距離並計算出節點的位置。

Mobile beacon

Mobile beacon trajectory

Unknown nodes

圖 2.3 移動性信標於目標區域的軌道

信標的移動軌道會影響待估測位置節點的正確性。因此信標的軌道設 計須盡可能接近欲估測的節點並涵蓋整個節點分佈的區域，且每一待估測 節點應至少接收三個非直線移動的信標訊息，若接近直線，則此篇論文所

提出的演算法無法決定節點位於直線的哪一側。然而在實際的網路中，如 何設計最佳化的信標移動軌道以及 beacon packets 應何時發送則是困難 的課題。若待測節點距移動性信標太遠，訊號強度的便會受影響，因而降 低估測的準確度。

以上所提軟體的位置估測方法皆需要固定數量的已知位置節點為參

考點，Chintalapudi 等人則提出三種演算法，不需額外硬體得知確定位置，

而利用節點與其鄰居資訊找出在無線感測網路中的邊界節點[9]。作者的 想法是將偵測半徑 R（Probing Radius）視為參數，且 R＞r（節點的通訊 半徑），根據收集到 R 內的鄰居資訊（0 或 1 的值，0 表示節點位於目標區 域外，1 表示節點位於目標區域內）來決定節點是否為邊界節點。而收集 到的鄰居資訊大於 r 的原因，能提高估測的精確度。演算法分述如下：

z 統計法（The statistical approach）

首先，節點收集R內的鄰居資訊，個別統計

n

個鄰居的值Γ¹, Γ²,…, Γⁿ於

S

集合內。若第

i

個鄰居值的統計方法依公式(1)計算，其中

n

⁺表位於 區域內（值為 1 的鄰居數），

n

^-表位於區域外（值為 0 的鄰居數）。

− +

− +

+

− −

=

Γ n n

n

1 n (1)

( )

⎩⎨⎧

<

= ≥ Γ Ψ

0 0

0 1

γ γ S S if

if (2)

將

S

集合內統計值總和與門檻值γ⁰比較，由布林函數Ψ(Γ)決定是否為邊 界節點。如公式(2)。門檻值可動態或靜態設定，通常依照R/r的比值、網 路稠密度及要求的效能來決定。選擇的門檻值會直接影響估測的正確性。

z 影像程序法（The image processing approach）

此方法是使用高通濾波器的技術。首先，收集位於R內所有節點的值

，令 表示節點為 1 和 0 在probing 範圍的

i

th象限。接 著計算節點的標準差，如公式(3),(4)，若高於設定的標準差門檻σ

(

n_i+,n_i−

)

ⁱ_i⁼₌₁⁴

(

n_i+,n_i−

)

ⁱ_i⁼₌₁⁴

0值

（σ = σ_x² +σ_y² >σ⁰）則表示此節點位於邊界區域。

− +

− +

−

− + +

− +

− +

−

− + +

+ + +

−

−

− + + + +

−

−

= +

3 3 2 2

3 2 3 2

4 4 1 1

4 1 4 1

n n n n

n n n n n n n n

n n n n

σx （3）

− +

− +

−

− + +

− +

− +

−

− + +

+ + +

−

−

− + + + +

−

−

= +

4 4 3 3

4 3 4 3

2 2 1 1

2 1 2 1

n n n n

n n n n n n n n

n n n n

σy （4）

z The classifier base approach

首先，節點會收集所有R內鄰居的座標及值（0 或 1），接著要找出一 條最佳化的分割線（Partitioning Line）

L

^opt(

a

,

b

,

c

)，使R內有最多的節 點位於分割線的同一邊，得到classifier score

J

^s0(

a

,

b

,

c

)的最大值，如 公式（5）、（6）。

( ) ∑ ( )

∈

∀

+ +

=

0

,

0 ,

PAs

s

s s s

s a b c V SN ax by c

J （5）

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=

<

−

=

0 1

0 0

0 1

x if

x if

x if x

SN （6）

設PA^s表示在感測器S的R內所有節點的集合，S⁰則表示偵測到的邊界節

點，當節點的值為 1 時V^s=1；值為 0 時V^s=-1。若此分割線通過節點的通訊 半徑內，則節點被視為邊界節點。若切割線^L

(

^a,b,c

)

^≡ax+by+c=0，則

L

^opt(

a

,

b

,

c

)須滿足：

r b

a

c by ax_{s s}

+ ≤ + +

2 2

0

0 則此切割線會通過 r 而偵測到邊界節點。

前二種方法的缺點是須以門檻值決定是否為邊界節點，然而實際上動 態設定門檻值是很困難的，因此估測的準確性直接受到影響。

本篇論文與所提出的統計法，同樣是收集鄰居資訊且利用門檻值判斷 邊界節點。但我們的方法除根據本身節點的鄰居數外，尚需 2-hop 的鄰居 資訊。所謂 2-hop 的鄰居數即節點鄰居的鄰居數量（不含本身節點）。就 門檻值來說，[9]使用的是實驗所得到的經驗值，而我們提出的方法，可 由數學模型計算出理論上的最佳門檻值。另外，當節點位於非常靠近目標 區域的邊界處與接近目標區域的中心處時，我們所提出的方法可直接估測 出來，無須複雜的演算法。

2.3 應用

就應用面來說，節點的位置是個非常有用的資訊。在我們估測出節點 是否位於邊界區域後，可將其應用來改善 routing 的效能。如[20]提出降

低廣播風暴機制中的距離法，將本身節點與鄰居的距離

d

，與設定的門檻 值 D 比較，決定此節點 rebroadcast 的貢獻度。當 d>D 則 rebroadcast。

實際上，邊界節點的涵蓋面積小於中間節點的涵蓋面積，因此 rebroadcast 能提供的涵蓋面積會比節點位於中間區域時小，若節點位於邊界區域及中 間區域各設定不同的門檻值，應可得到更好的 rebroadcast 效能。

曾有學者指出，位於目標區域邊界附近的節點，將其活動（Active）

週期調整為非邊界節點的一半，並不影響網路的偵測效能且可達到省電的 功用[19]。舉例來說， LEACH [16]利用叢集（Cluster）的方式進行資料 的彙整與收集。LEACH 演算法的效能瓶頸在於 Cluster Head。當 Cluster Head 距離匯集點很遠，則 Cluster Head 很容易經傳送後電力耗盡而失去 功能；另一方面，邊界節點的涵蓋面積較小，若 Cluster Head 為邊界節 點，同一叢集中可關掉的感測器數目較少，節省的電力有限。因此，我們 可利用這樣的特性改善 LEACH 中隨機選取 Cluster Head 的方式，來達到 更好的省電效能。

在本篇論文中，我們考慮「邊界效應」的問題，推導出節點位於邊界 區域及中間區域的期望涵蓋面積。在給定目標區域、感測器的數量及通訊 半徑後，可明確計算出網路中預期的涵蓋面積。同樣的，在給定目標區域、

感測器的通訊半徑及期望涵蓋面積，我們便可估計需多少數量的感測器方 可達成。網路中，個別節點與整個網路的涵蓋面積，會影響關閉感測器策 略的省電效能，因此是非常重要的應用。

第三章 位置估測

3.1 節點鄰居數機率分佈

基於前面章節所述邊界效應的影響與重要性，本章主要就此篇論文所 提出的方法作深入的探討。在此說明[2]中所提到的連結機率，節點鄰居 數之機率分佈（Binomial Distribution），與網路節點鄰居分佈。

假 設 網 路 有

n

個 節 點 ， 第

i

個 節 點 的 鄰 居 數

X

ⁱ， 則

X

ⁱ為 二 項 分 佈

（Binomial Distribution）之機率變數：

[ ] ( )

¹

Pr X_i =k = ⁿ_k⁻

p

^k(1-

p

)^n-1-k， 0≤k ≤n−1

其中p為連結機率。當

n

夠大時，根據Central Limit Theorem，

X

ⁱ可用Normal Distribution ^N

(

^µ,σ2

)

^{來逼近，其中μ=(}

n

-1)

p，

而

σ

² = (

n

-1)

p

(1-

p

)。圖 3.1 為節點的鄰居數

X

ⁱ的實驗分佈結果。

A=1000*1000 R=150 n=500

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

鄰居數

次數 node

圖 3.1 節點鄰居數的實驗分佈圖。

於<n, r, l, m> = <500, 150, 1000, 1000>的環境下的平均結果。

3.2 估測方法

當邊界與非邊界的範圍決定後，如圖 3.2 所示為邊界（A 區）與非邊 界區域（B 區）的鄰居數量分佈經實驗 1000 次的平均結果。A 區和 B 區節 點的鄰居數分佈亦皆為常態分佈。A 區鄰居數較少的節點多為靠近整個目 標區域邊緣的節點。反之，鄰居數較多者，多位於 A 區中但靠近 B 區的節 點；B 區鄰居數較少之節點多位於 B 區中但靠近 A 區的節點，因為二者區 域接近，故節點的鄰居數目也差不多。圖中鄰居數目重疊的部份為目標區 域靠近 A 區與 B 區交界處的節點。

A=1000*1000 R=150 n=500

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

鄰居數

次數

中間節點 邊界節點

圖 3.2 A 區 B 區節點鄰居的分佈圖。於<n, r, l, m> = <500, 150, 1000, 1000>

的環境下經實驗 1000 次的平均結果。當 A 區為距邊界

r

/2 距離。

我們可依節點的鄰居分佈情況設定門檻值，依節點鄰居數是否大於此

門檻值作為判斷節點位於邊界區或中間區域的依據。此即為單一門檻判斷 法。方法如下：

單一門檻判斷法：

首先決定邊界節點鄰居數期望值

N

^A與中間節點鄰居數期望值

N

^B

（

N

^A

、N

^B的估計方法於下節說明），並決定鄰居數門檻值

2

B A Threshold

N

N N +

= 。

若待測節點

X

的鄰居數

N

^X＜

N

^Threshold，則判定

X

為邊界節點；若

N

^X＞

N

^Threshold，則 判定

X

為中間節點。

然而A區及B區的節點鄰居數重疊的部分會影響判斷的正確率。因此，

我們考慮節點 2-hop鄰居的資訊，希望進一步提高判斷的正確率。直接使 用 2-hop鄰居的資訊來估測節點位置的準確率很差，這是因為 2-hop鄰居 距待估節點較遠的緣故。當節點位於邊界區，其 2-hop鄰居可能在非邊界 區甚至有可能靠近目標區的中心點。反之，位於中間區的節點，其 2-hop 鄰居可能位於目標區域邊緣。不過總體來說，非邊界區之節點 2-hop鄰居 的平均鄰居數大於邊界區節點的數量。有了這樣的特性，我們提出雙門檻 判斷法。

雙門檻判斷法:

第一階段

：本身節點鄰居數判斷法。首先決定邊界節點鄰居數期望值

N

^A與 中間節點鄰居數期望值

N

^B（

N

^A

、N

^B的估計方法於下節說明）。若

待測節點

X

的鄰居數

N

^X＜

N

^A，則判定

X

為邊界節點；若

N

^X＞

N

^B，則 判定

X

為中間節點。若N_A ≤N_X ≤N_B，則進入第二階段判斷。

第二階段

：2-hop鄰居的平均鄰居數與節點鄰居數的變化量（V）判斷法，

令

Vx

＝（

X

的鄰居數－（

X

的 2-hop鄰居的平均鄰居數－

X

的鄰居 數）），可化簡為（2 倍

X

的鄰居數－

X

的 2-hop鄰居的平均鄰居 數）。決定

V

的門檻值

2

B A Threshold

N

V N +

= 。若

X

變化量V^x＜V^Threshold，

則判定

X

為邊界節點；若V^x＞V^Threshold，則判定

X

為中間節點。

3.3 N

^A

與 N

^B

之估計

此節要討論節點在不同區域的

N

^A、

N

^B。我們使用如 2.1 所定義之

<

n, r, l, m

>網路模型，另外，將圖 2.1 中B區再細分為B1、B2 及B3，如 圖 3.3 所示。假設

c

(

x, y

)表示節點

X

位於(

x, y

) 且符合0≤x≤l及

條件下所涵蓋的面積，則

c

(

x, y

)的值會和

X

所在的位置成相依關係。當

X

被分佈於矩形的中心處B1 時，

c

(

x, y

)等於π

r

m y≤

≤ 0

2。然而，當

X

靠近矩形的

邊界時，並非所有涵蓋面積在矩形範圍內，因此

c

(

x, y

)會小於π

r

²。這 是由於邊界效應的影響。

l

m

r/2

r/2

r/2 r/2

A

B1

B2 B2

B3 B3 B3

B2 B2

B3

r/2 r/2

r/2 r/2

圖 3.3

lxm

的矩形目標區域之邊界、非邊界區域劃分

假設ψ表示

c

(

x, y

)的期望值，A、B1、B2 及 B3 表示

X

位於 A、B1、B2 及 B3 區域的事件，則可得到下列式子（本節中詳細計算過程請參閱附錄）：

ψ

= Pr[

A

]

ψ

^A + Pr[

B

]

ψ

^B

ψ

ⁱ表示節點在

i

區的期望涵蓋面積。因為節點是以隨意的方式均勻分佈，

因此可得到如下式子：

lm r mr lr lm lm

r m r B l

) 2

)(

] (

Pr[ − − +

− =

= −

lm r m l B r

A ( )

] Pr[

1 ]

Pr[ = − = + −

而 lm

r m l B r

A ( )

] Pr[

1 ]

Pr[ = − = + −

且 ₂

2 1

4 2 2 )

)(

(

) 2 )(

2 ] (

|

Pr[ lm lr mr r

r mr lr lm r

m r l

r m r B l

B − − +

+

−

= −

−

−

−

= −

2 2 2 2

2 4 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 ]

|

Pr[ lm lr mr r

r mr lr r

mr lr lm

r r r m

r l B

B − − +

−

= + +

−

−

×

− +

×

−

= ×

2 2

2 2

3

2) ( 4 ]

|

Pr[ lm lr mr r

r r

mr lr lm

r B

B = − − +

+

−

−

= ×

我們可知

ψ

^B1=π

r

²，接下來要計算

ψ

^B2和

ψ

^B3。

計算

ψ

^B2：

設

x

為節點位於 B2 時至矩形邊緣的距離，如圖 3.4 所示。則圓和矩形相 交的面積為：

r

r r

x

圖 3.4 節點位於 B2 區域

2 1 2

2 2

1 2

2

2 ) ( cos ( ))

2

)) ( cos (

2 ( )

( r

r x x

r x r r

x x

r x x

f_B ⁻

−

− +

−

− = +

−

= π π

π π

r r ≤x≤

Q2 ，可得ψ^B2：

( )

2

2 / 2 2

1 2

2 / 2 2 / 2 / 3 2 2

2 /

1 2

2 / 2

2 /

2 2 2 /

2

4 3 3 3 4

) 1

3 cos 1 2

cos 1

) 2 (

) 2 (

/ 1

|

|

|

r

r x r

x r

r x r x r x

r r

r dx r x

dx r dx x r r x

dx x r f

r r r

r r

r

r

r r

r r

r r

r B

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

−

=

−

∫

−

∫

∫

∫

π

π π

因此，我們可得ψ^B2= ² 4

3 3 3

4 ⎟⎟r

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ π −

計算

ψ

^B3：

假設節點位於 B3 的位置，而到二個邊緣的距離為

x

和

y

，如圖 3.5 和圖 3.6 所示。位於 B3 有下列二種情形：

情況 1：至矩形的直角距離小於

r

（圖 3.5）。

情況 2：至矩形的直角距離大於或等於

r

（圖 3.6）。

y x

r

r

B3

x y

y=r/2

r/2

圖 3.5 位於 B3 區域中的情況一

y x

r r

r r

圖 3.6 位於 B3 區域中的情況二

設

ψ

³¹和

ψ

³²分別為情況一及情況二的期望涵蓋面積，所以可得下列式子：

ψ

^B3 = Pr[

B

³¹|

B

³]

ψ

³¹ + Pr[

B

³²|

B

³]

ψ

³²

B

³¹和

B

³²則分別屬於情況一和情況二的事件。由於節點是以隨意的方式均勻 分佈，故Pr[

B

³¹|

B

³]、Pr[

B

³²|

B

³]等於其所佔面積的比例。首先，我們先計 算情況一的面積，方式如下：

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

+

− +

−

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

−

−

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⇒

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

−

=

⇒

= +

∫

−

1 3 3

4

4 4 sin 3

2 2

2 2

3 2

2 3 2

2

2 2 2

3

2 1 2 2 2 2

3

2

2 2 31

2 2 2

2 2 2

2 2

π r

r r r

x x r

x r r r dx r

x r B

r x

r r x

x r y r y x

r r r

r

因此可得：

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= 3 1

3 4

1 3 3

] 4

|

Pr[ ₂

2

3 31

π π

r r B B

3 3 ]

| Pr[

1 ]

|

Pr[ _{32 3 = − 31 3 = −}π B

B B

B

計算

ψ

³¹：

設

Area

¹(

x

,

y

)表示在情況一（圖 3.5）時，圓和矩形重疊的面積為：

( )

2 1

1 2

2 2 2

2

2 1

2 1 2 2

2 1

2 )

) ( cos ) ( cos 4 (

3 2

2

2 ))

) 2 ( cos ) ( cos ( 1 2 (

, 2

r r y r

x y r

r x y

r xy x

r r y r

x y

r x y

r xy x

y x Area

−

−

−

−

− +

− +

− + +

=

+

− +

− +

− + +

=

π

π π

π

故期望涵蓋面積為：

dydx r r

y r

x y r

r x y

r xy x r

dA y x r Area

r

r x r

r r y x

∫ ∫

∫∫

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− +

− + +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

−

−

−

≤ +

2 3

2 /

2 1

1 2

2 2 2

2

2 / 2

2 1 31

2 cos cos

4 3 2

1 2 3 3

4 1

) , ( 1

3 3 4

1

2 2

2 2 2

π π φ π

我們將以上式子分開計算，過程如下：

第一部份：

32 16 32 3

8 16

3

2 8

) 3 4

(3 (2 2

4 4 4

2 3

2 / 2 4

3

2 / 2 2

2 3

2 /

2 3

2 /

2 3

2 /

3 2

2 2 2

3

2 /

2 / 2 2

3

2

/ /2

|

|

|

2 2 2

2

r r r

x x r

x dx xdx

dx r r x

dx x x y

xydydx

r

r r

r

r

r

r

r

r

r r

r

x r

r r

r x r

r

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

^{− −}

∫

第二部份：

16 3 48 7

) 3(

1 2 4

2 2

2) (

4 4

2 3

2 / 2 / 3 2 2 2

3 2 / 4 2 3

2 / 2 2 2

2 2

3

2 /

2 3

2 /

2 3

2 / 3

2

2 2 2

3

2 /

2 2 2

3

2 /

2 / 2 2 2

3

2

/ /2

2 2

|

2 2 2

2

r r

x r r

x x

dx r x rx r

dx x xdx

r

r dx x r x r x dx

y x r x

dydx x r x

r r r

r r

r r

r

r

r

r

r r

r r

r

x r r r

r x r

r

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

=

−

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

−

−

第三部份：

同樣的方法可得：

16 3 48

7 ^{4 4}

2 3

2

/ /2

2 2

2 2

r dydx r

y r y

r

r

x r

r

−

=

∫ ∫

⁻ −

第四部份：

16 3 16 3 3 16

sin 2 2

1 4 3 2 4

3 4

3

4 3

4 4 4

2

2 3

2 / 2 3

2 / 1 2 2 2 2

3

2 /

2 2

2 2 2

3

2 /

2 / 2

2 3

2

/ /2

2

2 2 2 2

r r r

rx r

r x x r r x

r dx x r r

dx r y

r dydx

r r r

r r

r r

r

x r r r

r x r

r

π π π

π π

π π

+

−

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

=

= ^{− −}

−

∫

∫

∫ ∫

第五部份：

令

u=y/r

, 所以

dy=rdu

r dx x r

x r r

x r r

dx u

u r u

ududx r

dydx r r

x

r

r r

r r

x r

r

r

r x r r

r x r

r

2 ) 3 cos 6

2 (

) 1 cos

2 ( 2 cos

2 ) ( cos

2 3

2 /

2 2 1 2 2 3

2 3

2 / 1/2

2 3

2

/ 2

1 2 1

3 1

3 2 3

2

/ /2

2 1

2 2

2 2 2

2

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

+

−

− −

= −

−

−

=

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

− −

−

− −

π

令

x=r

sin

t

, 所以

dx=r

cos

tdt

24 8

3 16 3 32 3 96

6 2

3 2 4

4 2 cos 2

2 sin 4 2

4

6 1 2

3 cos 1

) sin cos (

) sin ( 2

4 4 4

4 4

2

2 3

2 3

2 3

2 2 2 3 6 3

6 4

3 6 2 4

3 /

6 /

2 3

2 / 2

3

2 / 2

2 1 2 3 2

r r r

r r

r x r x

t t

t r t

r

dx r xdx

tdt r r

t r r r

t r r r

r r r

r

r

r r

r

π π

π

π

π

π π π

π π

π π π

+

− +

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

− ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

+

⎟ −

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − −

∫

⁻

∫ ∫

第六部份：

同樣的，我們可得：

24 8

3 16 3 32 3 96

2 ) ( cos

4 4 4

4 4

2 2 3

2

/ /2

2

2 1

2

r r r

r r

dydx r r

y

r

r x r

r

π π

π _{− + − +}

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∫ ∫

⁻

−

經以上計算，最後我們可得：

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛− + + − −

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ − + − +

− +

− +

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

6 2 3 12 5 4

3 3 24

19 1 3 3

24 8

3 16 3 32 3 2 96

16 3 16

3 3 16 16

3 48 7 1 32

3 3 4

1

2 2

4 4 4

4 4

2 4

4 4

2 4 4

4

31 2

π π π π

π π

π π

π π

ϕ π

r

r r r

r r

r r

r r

r r r

計算

ψ

³²：

設

Area

²(

x

,

y

)表示在情況二中之圓和矩形重疊的面積（如圖 3.6），因此 可得：

( )

2 1 1

2 2 2 2

2

2 1

1 2

2 2 2 2

)) ( cos ) ( (cos

2 ))

) ( cos 2 ) ( cos 2 ( 1 2 (

2 2 2

,

r r y r

r x y r y x r x

r r y r

x y

r x y

r y x

x Area

−

−

−

−

+

− +

− +

−

=

× +

− ×

− +

×

− +

×

=

π

π π

期望涵蓋面積為：

∫ ∫

−

−

− ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + − + − +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

−

= ^r

r r

x r

dydx r r

y r

r x y r y x r r x

r

2

2 1 1

2 2 2 2

2 2

32 2

2 2

)) ( cos ) ( (cos 1

3 3 4 4

1 π

φ π

同樣的，將上列式子分開計算：

第一部份：

( )

( )

8 3 64 9

4 ) 2

3(

4 4

2 / 4

2 / 2 2

2 / 2 / 3 2 2

2

/ /2

3 2

2 /

2 2

2 /

2 2 2

2

2 /

2 2 2 /

2 2

|

^{2 2}

2 2

r r

x x

x r r r

dx x xdx r dx x r rx

dx x r r x r x dx y

x r x

dydx x r x

r r r

r r

r r

r

r

r r

r

r

r r

r

r

x r r

r r

x r

+

−

=

+

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

= +

−

−

=

−

−

−

=

−

=

−

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

−

−

第二部份：

相同的計算方式可得：

8 3 64

9 ^{4 4}

2 /

2 2

2 2

r dydx r

y r y

r

r r

x r

+

−

=

∫ ∫

−

−

第三部份：

( )

8 3 6 2

2 sin 1

4 4

2 4

2 / 1 2 2 2 2

2 /

2 / 3 2

2 2

2 / 2 2 /

2

2 2 2 2

r r

r

r r x

x r x r x

r dx x r r r dx y

r

dydx r

r r r

r

r r r

r r

x r r

r r

x r

π π

π

π π

π π

π

+

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

−

=

−

−

=

= ₋ ⁻

−

∫

∫

∫ ∫

第四部份：

令

u=y/r

, 所以

dy=rdu