勾股定理證明-G038
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 從 K 點作 BC 的平行線交 AC 於 O 點，從 H 點作 AC 的平行線交 KO 於 N 點。
3. 從 A 點作 CB 的平行線交 HN 於 M 點。
4. 從 B 點作 CA 的平行線交 AM 於 L 點，且交 ON 於 P 點。
5. 從 C 點作 BA 的平行線交 AG 於 Q 點，從 Q 點作 AC 的平行線交 CF 於 S 點。
6. 將 HA 延長交 GF 於T 點。
7. 從T 點作 FS 的平行線交 QS 於 R 點。
A B
C
D E
G
H K
L M
N P Q
R S F T
O
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，先將正方形 AHKB 的面積視為 分割成四個三角形與一個正方形的面積區域，再透過全等區塊的轉換，將某一塊三角 形表示為較小的三角形與四邊形，最後拼合成正方形 CBDE 與正方形CAGF 的面積和，
推出畢氏定理的關係式。
1. 證明三角形 CAB 與三角形 HNK 全等：
因為 ABHK且 AB // HK ，又由 NK // CB 與 HN // AC 的平行關係，得到對應角 CBA NKH
與 CAB NHK，所以 CAB HNK
(ASA 全等).
2. 證明三角形 CAB 與三角形 MAH 、三角形 LBA 、三角形 PKB 皆全等：
同理，因為 ABAH KB，由平行關係得到對應角相等，所以 CAB MAH LBA PKB
(ASA 全等).
3. 證明三角形 CAB 與三角形 ACQ 、三角形 SQC 皆全等：
因為 CQ // BA ，得到 CAB ACQ，又ACB CAQ90﹐ AC AC，所以 CAB ACQ
(ASA 全等).
同理，因為 QS // AC ，四邊形 SQAC 為長方形，所以SQC ACQ. 因此
. CAB ACQ SQC
4. 證明四邊形 PLMN 與四邊形 FTRS 為全等的正方形：
因為 CAB MAH LBA PKB LBA，所以四邊形 PLMN 四角為直角且邊 長為 CA CB 的正方形。又因為
GAT MAH
,AGT AMH 90, AGAM ，所以 GAT MAH(ASA 全 等)，得到 GT MH CB，所以四邊形 FTRS 也是四角為直角且邊長為 CA CB 的 正方形，即
. FTRS PLMN
四邊形 四邊形
5. 證明四邊形 ALPO 與四邊形TGQR 為全等的長方形：
由證明結果知 GT ALCB且TRLPCA CB ，得到四邊形 ALPO 與四邊形 TGQR 為對應邊等長且四角為直角的長方形，即
. TGQR ALPO
長方形 長方形
6. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
討論區塊的轉換
4
( )
( )
( )
AHKB NHK PKB LBA MAH PLMN CAB PLMN
CAB LBA ACQ SQC FTRS
COPB ALPO SQAC FTRS
CBDE TGQR SQAC FTRS
CBDE CAGF
正方形 區域＝ ＋ ＋ ＋ ＋正方形
＝ ＋正方形
＝ ＋ ＋ ＋ ＋正方形
＝ 正方形 ＋長方形 ＋四邊形 ＋正方形
＝正方形 ＋ 四邊形 ＋四邊形 ＋四邊形
＝正方形 ＋正方形 .
得到
,
AHBK CBDE CAGF
正方形 面積＝正方形 面積＋正方形 面積
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明過程記載於
Heath’s Mathematical Monographs, 1900, No. 2, p. 33, proof XXI.
2. 心得：此證明輔助線的畫法皆與三角形 ABC 的邊成平行關係，使學生較容易看出 對應角的相等關係，再利用正方形邊長等長的關係，得到對應的全等的區 塊。此證明有特色之處在於透過全等的形狀，將某一塊三角形面積轉換成較 小的三角形與四邊形的組合，這過程有近於代數「 x y z」的概念。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 說明：此證明的輔助圖其實可更簡化，將以 BC 為邊，向內作的正方形 CBPO 取代 以 BC 為邊，向外作一正方形 CBDE 即可。
