扭擺與剛性係數

實驗六

扭擺與剛性係數

目的

研習扭擺的運動原理，及各項變因對其週期的影響，並利用扭擺測量鋼絲之 剛性係數（modulus of rigidity）。

原理

考慮一扭擺系統（如圖1所示）。物體為一鋼絲所 繫住，以此線為軸，當物體被扭轉一微小角度θ時，

鋼絲因為此角度扭轉而施予此物體一力矩，其大小 與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方 向。我們定義此比例常數為 K，則當此扭擺系統扭轉 角度θ時 回復力對圓心造成之力矩可寫為， τ =−^Kθ

）。若考慮彈性係數為k的彈簧系統中，一質 量為 的物體連結於此彈簧上，當彈簧壓縮量為

（ 類 似 彈 簧 系 統 中 力 與 壓 縮 位 移 成 正 比 關 係 kx

F = −

m x

時，物體所受的力為

2 2

dt x md x m kx ma

F = =− = &&= ，

圖1 這顯示此物體的位移滿足微分方程

　　定義　　 x

dt x d m

x k m

k dt

x

d 2

2 2 2

2

2 =− ω = ⇒ =−ω 。

同樣的推理方式與過程，此扭擺系統所滿足的運動方程可寫為 I dt K

K d dt

I d ₂ ² ; ² /

2 2

2

≡

−

=

⋅ ⇒

−

=

⋅

= θ θ θ ω θ ω

τ ^{其中 ， (1)}

I 為此系統對中心軸的轉動慣量，包括鋼絲與圓盤的轉動慣量之和，由於前者 比後者小得多，因此鋼絲的轉動慣量通常可以忽略。滿足此微分方程之解的一般 形式為

constant t

cos +

=θ ω

θ o ， (2)

其中θ_o為常數，必須由起始條件決定。總之， 是一個週期函數，我們可進一 步看出它的週期與頻率為

θ

I K f T

K T I

π π ωπ

2 1

; 1

2 =2 = =

= 　 。 (3)

在無其他外力（摩擦力或空氣阻力等皆可忽略）的狀況下，扭擺系統與彈簧系統 一樣都滿足力學能守恆的定律，亦即

彈簧系統 ¹kx² +¹mx&² =常數 ﹔扭擺系統 ^1Kθ² + ^1Iθ^&2 =常數 ⁽⁴⁾

造成扭擺系統呈週期運動的主要原因為鋼絲因形變所產生的恢復力，為進一 步探討此運動與鋼絲特性的關係，我們可自認識物體形變開始。通常物體受外力 作用時，都可能會發生形變。所謂形變，係指物體在大小或形狀方面的變化。對 一個完全彈性物體而言，一旦除去外力，它就會回復原來的形狀或位置，當然我 們必須限制外力的大小，否則會產生永久變形，甚至破裂。我們把不使物體發生 永久形變的最大外力，稱為「 彈性限度 」（elastic limit）。

形變的量通常用「 應變 」（strain）來表示。簡單地說，應變就是物體大小 或形狀上增減的量除以變化前的值。例如：用手拉原長 之彈簧，使其伸長

，則應變 ，在此可解釋為單位長度之伸長量。

∆l = ∆l l/ l

應變是物體受應力（stress）的結果，一般應力可分為三種，如圖2 所示，(1) 拉 伸應力（tensile stress），(2) 切應力（shear stress），(3) 流體應力（hydraulic stress）。 這些不同的應力作用於彈性體所產生不同的應變可由圖1 中清楚看出。應力大小 是用單位面積上的作用力表示，即 F A/ 。

圖2

彈性物體在彈性限度內有一個重要的性質，那就是無論彎曲、扭轉、壓縮或 伸長，力與形變的比值恆為常數。換句話說，也就是在彈性限度內，應力和應變 之比值為一定數 e，這就是虎克定律（Hooke's law）：

e stress strain

=

其中 e 稱為彈性係數（modulus of elasticity），它的值隨物體的性質而異。

本實驗所用到的是切應力(shear stress)與切應變(shear strain)的概念，這裡我們 略加介紹。

先考慮一個長方塊，假想它是由多層物質連續重疊組成，各層均受切線方向 的表面力而發生水平位移，見圖3。上表面受到切線方向的力 作用，下表面 受另一力 ，與 大小相等，方向相反。這時長方塊所受的切應力（沿切線 方向每單位面積所受到的力）可寫為

F

−F F

A

S ≡ F/

σ ⁽⁵⁾

長方塊上表面相對於下表面有一位移δ，故其單位長度所產生的側向形變量（亦 稱切應變）為

δ φ

εS ^{= =tan}

strain l

shear 　　

l φ

δ _F

F

⇒

A

圖3

其中φ 稱為切變角（angle of shear）。在彈性限度內，φ 通常很小，所以 φ

φ ≈

tan ，我們可以定義切變剛性係數(shear modulus) 為： n

φ φ

δ ε

σ ¹

tan / /

/ = ≈ ⋅

=

=

= A

F A F l A F strain

shear

stress shear

n modulus shear

S S

　 。 (6)

扭擺系統的形變可考慮一長為l半徑為R的均 勻圓柱體，上端固定，垂直懸掛，只在下端受一

外加力矩τ作用，使此圓柱扭轉，見圖4(a)。假

設未扭轉時圓柱上的鉛直線段 AB，在扭轉後移 至 AC，圓柱上的角 BAC為 φ，而底面上弧 BC 的圓心角為 ，則我們可以得到下列近似關係 式：

θ

lφ= Rθ= BC 弧＝δ＝圓柱扭轉形變量。

外加力矩τ的大小除了與單位長度的扭轉形變量 成正比（於彈性範圍內）外，也與被扭轉形變物 體的幾何形狀有關，因此我們可寫為

φ A

B C

O R θ

R r

d

(a) (b)

r l

圖4

nI_Pδl

τ =− (7)

式子中 n 為 shear modulus 而 I p為與物體的幾何形狀有關的特性（一般稱為 polar moment of inertia）。對實心的圓柱體而言，其 （詳細推導見本章附 錄），所以力矩大小可寫為

2

3/ R I_P =π

l R K n

l K R n l

R n R nI_P l

2 2

2

4 4

3 θ π θ θ π

π

τ =− δ =− =− 　=− 　⇒　　 = (8)

方法說明

在本實驗中，鋼絲下懸著一基座，另有一個圓環，可水平置於此基座上，或 鉛直懸於基座下，見圖5(a)、(b)。基座之轉動慣量為 I₀；圓環之質量 M，內徑 c，外徑 b，厚度 。

在下列三種情形下，分別使扭擺做扭轉的簡諧運動。（忽略鋼絲之轉動慣量）

a

(一)基座上不置圓環，週期 T I₀ 2

= π⋅ ^{。 (9)}

0 K

+I (二)將圓環放置如圖5(a)，週期 T I

⊥ =2π⋅ ⁰ K ⊥

I 為圓環以通過圓心且與圓環 的轉動慣量。由理論上的計

。 (10)

⊥

I

面垂直的軸轉動時 算，可得

(

)

2 b c

M +

⊥ = 。 (11)

(三)將圓環與鋼絲平行懸掛如圖5(b)。周期 T I I

/ / =2 ⋅ 0 K+ /

π ^{/ 。 (12)}

I_{/ /} 為此時圓環的轉動慣量，理論上為 b² +c² a²

 

I_{/ /} M

4 12

= ⋅ +



 。 (13)

從 (9)，(10)，(12) 式分別可得到 T_⊥² = K (I₀ +I_⊥)

4π2

， (14)

T_{/ /}² K I I

2

0 / /

= 4π +

( ) 。 (15)

(a) (b) 圖5

合併 (14)，(15) 消去 I₀ 可得

T T

K I I

⊥² − / / = ⊥ +

2

2

/ /

4π ( ) ，

又 K = n Rπ ⁴ 2l ， 故

n R

I I T T

= ⋅ −

−

⊥

⊥

8

4 / /

2 / /2

π_l

。 (16) 我們只要測知環的尺寸 a、b、c 及 T_⊥、T_{/ /}，即可由 (16) 式算出 值。 n

儀器

扭擺支架、扭擺底座、圓環、鋼線、游標尺、螺旋測微器、米尺、光電計時 器、光電閘、角度計。

鋼線 扭擺底座 圓環

遮光片

角度計

圖6 實驗裝置圖 步驟

注意事項：

a. 鋼線長度要為適宜（可使扭擺下垂下後，距地面約 20 公分），長度不夠

者，向老師請求更換。

b. 實驗後，將圓環取下置於實驗桌上，扭擺底座與鋼線仍置於牆壁上，勿私 自取下。

第一部份：測量最大扭角與最大角速度之關係 1. 如圖6 裝置，使圓環保持在水平面上。

2. 待扭擺靜止置平衡位置後，調整地上角度計之方向，使擺上凸出的遮光片指向 0°，並將光電閘對準遮光片。

3. 將光電計時器調在 Function 6 的模式，並設定次數為5，用以量測擺動在平衡 位置之瞬時角速度，亦即擺動過程中之最大角速度θ^&_max。

4. 將扭擺旋轉180°後放手，使其自由轉動。測量紀錄每次遮光片遮住光電閘的時 間∆t。並記錄下測量6次(即3個週期)所花的總時間，藉以計算平均週期T。

5. 逐次減少旋轉角度θ_max為150°、120°、90°、60°、30°，重覆步驟4。

6. 測量遮光片的寬度_∆x、光電閘到扭擺中心的距離 r。以此計算角速度θ^&_max。 7. 將實驗結果繪成θ^&_max²對θmax²關係圖。

第二部分：剛性係數之量測

1. 將光電計時器調在 Function 5 的模式，並設定次數為20，以測量轉動10次的 總時間，並算出平均週期。

2. 如圖5 (a) 裝置，使圓環保持在水平面上，以一小角度轉動，測其轉動10次的 時間，再除以 10，即為週期 T_⊥ 。重覆3次，取其平均值。

3. 如圖5 (b) 裝置，使圓環鉛直懸掛，仍以小角度動，量週期 T_{/ /}。重覆3次，

取其平均值。

4. 用游標尺分別量度圓環的厚、寬及兩倍內徑各五次，以求得 a、b、c 的數值。

5. 量圓環 M 之質量，再將 a、b、c 之值，一併代入 (11) 及 (13) 求 I_⊥ 及 I_{/ /}。

6. 用螺旋測微器量鋼線直徑，重覆在不同位置測量五次，取其平均值，並用米尺 量鋼線的長度 。 _l

7. 代入 (16) 式中求 n 值（即鋼線的剛性係數）。 8. 將實驗值與理論值比較，求百分誤差。

預習問題

1. I₀ 的已知與否對本實驗有無影響？ 你能從本實驗推算出 I₀ 嗎？

2. 預習（或複習）你物理課本中有關轉動慣量的部分，並推導出文中 (11) 及 (13) 式。

3. 寫出應力、應變和剛性係數的單位。

4. 扭擺的週期和扭動的最大角位移有關嗎？

記錄

第一部份：測量最大扭角與最大角速度之關係

1. 遮光片_∆x= cm；r = cm。

最大角位移

θmax ^∆t

平衡點角速度 θ^&max

總時間(sec) 平均週期(sec)

180°

平均

150°

平均

120°

平均

90°

平均

60°

平均

30°

平均

2. 以θ^&_max²為y軸，θmax²為x 軸，在方格紙上做圖，並算出迴歸直線。

第二部分：剛性係數之量測 1.測量週期

T^⊥ T^∥

次數 10 次時間 週期 10 次時間 週期 1

2 3 平均值

2. 用游標尺分別量度圓環的厚 a、寬 Δr 、兩倍內徑 2c 以及用螺旋測微器 量度鋼絲直徑2R 各五次。

次數 a Δr (= b-c) 2c 2R

1 2 3 4 5 平均值

a= cm﹔b= cm﹔c= cm﹔M = g。

I_⊥= ； I_{/ /} = 。 R = cm ﹔_l = cm。

3. 計算n = 。 思考問題

1. 利用扭擺可以用來測量不規則物體的轉動慣量嗎？ 有什麼要特別注意的？

2. 試著藉由理論推導，說明第一部份實驗中 - 關係圖的斜率代表什麼 意義。

2

θ^&max θmax²

3. 如果圓環的厚度（即 a）非常小，則 I_⊥ 和 I_{/ /} 之間有何關係？

4. 你所測得的 n 誤差多大？ 實驗中最大的誤差來源在那裡？

附錄：

下面我們考慮實驗中使用的扭擺。由於吊掛扭擺所用的鋼絲可視為長圓柱 狀，所以我們討論圓柱體的扭轉形變。假設一圓柱長 ，半徑 _l R，上端固定，

垂直懸掛，只在下端受一外加力矩作用，使此圓柱扭轉，見下圖(a)。假設未扭 轉時圓柱上的鉛直線段 AB，在扭轉後移至 AC，圓柱上的角 BAC為 φ，而底 面上弧 BC 的圓心角為θ，則我們可以得到下列近似關係式：lφ= Rθ= BC 弧。

現在考慮底端圓面的情形。我們可將這個 圓區域視為許多圓環組合而成，見左圖(b)。

任意取其中一環半徑為 r，環寬為 dr 的空心 圓柱，將之沿長軸方向切開後可展開為一長 方體。則此環被扭轉角度 時，相當於所展開 的長方體產生r

θ

θ 的側向形變。如果所受之應 力 為 dF ， 面 積 為 dA=₂π_r⋅dr ^{， 切 應 變 為}

l

r /θ ，則剛性係數 為： n

φ A

B C

O R θ

R r

d

(a) (b)

r l

dr dF r l l

r

r r n F

S

S θπ π θ

ε σ

2 2

/ d 2 /

d ⋅ =

=

= ，

即 F 2 n r²dr

d = π θl ，此力對圓心 O 造成之力矩為 ，積分可得所有 外力在整個圓面上對圓心 O 之力矩

dτ = ⋅r dF

τ=

∫

∫

nI l l n R l R n R l

R n R

l

P

δ δ

π θ θ π

τ π

πθτ _{⇒ = = = =}

= 2 2 2

2 ^{4 3 3}

4 　　 　　

n ，

由此可得對實心的圓柱體而言，其polar moment of inertia 。此時若圓 柱保持平衡不動，則必存在由回復力造成之力矩

2

3/ R I_P =π

− π θ 2 n R

l

4

。