交流串聯共振實驗

實驗十

交流串聯共振實驗

目的

研究 RCL 線路的電荷振盪現象。

原理

將訊號產生器輸出的正弦波與 RCL 串聯，如圖 1，

依環路定理可得到

L dI

dt IR q

C t

+ + = ε₀cosω ，

定義β ≡ R L2 ， ω₀ ≡1 LC ， A≡ ε₀

L

dt

dq

dt q A t

2

2 +2β +ω0 = cosω 。 (1) 在線路接好相當長一段時間之後，電荷已呈穩定狀況，此時(1)式的解為

q t

q

t

δ ωβ

ω ω

= −



 

 tan−¹

0

2 2

2 ， (2)

q A

A =

− +

(ω₀² ω²)² 4β ω^{2 2} ， (3)

q t

電荷的振幅和驅動電壓源的頻率ω 有關；電荷與電壓之間的相位差δ 也和驅動 電壓源頻率有關，如圖 2。

圖２ (a.)振盪的相位與驅動電壓頻率；(b.)振幅與驅動電壓頻率的關係圖。

1.

ε0 cosωt L R

C

圖１

0 ω0 ω

δπ

π 2

(a.) (b.)

qＡ

qR

ω ω

R

1.

2.

當ω從零漸增時，相位差亦由零開始增加，到ω = ω₀時，δ = π 2；如果ω 繼 續增加至無窮大，δ 會增加到π 。在δ 接近自然頻率ω₀時，振幅 q_A達到最大 值 ， 這 個 頻 率 稱 為 共 振 頻 率ω_R。 共 振 頻 率 可 由

dq

d

A

R

ω _{ω ω=} = 0 求 得 ， 即 ω_R =(ω₀²−2β²)¹²。如果β² <<ω₀²，則ω ω≅ ₀，由(2)式可得在共振頻率時的振幅 為

q A

A R, =

2ω β₀ 。 (4)

由(4)式可知： β 愈小，振幅的極大值愈大； β 趨近於零時，q_{A R,} 越接近於無限 大。

一般要描述一個振盪線路受阻尼的程度，常使用參數 Q 值來表示，或稱品質 因數（quality factor），定義為

Q

2 ， (5)

當β² ≅ω₀²時，Ｑ值很小；而β² <<ω₀²時，ω_R² ≅ω₀²，Ｑ值變大。

振盪線路對頻率選擇的靈敏度常以頻寬

（bandwidth）來表示。假設ω⁺及ω⁻分別為 振 幅 q_A由q_{A R,} 向 兩 側 降 至q_{A R,} 2 時的頻 率 ， 而ω⁻ <ω_R <ω⁺ ， 則ω⁺與ω⁻的 差 距

∆ω就稱為頻寬，如圖 3 所示。由(3)及(4) 式可得到

2 2⋅ ω β₀ = (ω₀²−ω²_±)+4ω β²_± ² ，

故 8ω β₀^{2 2} =(ω₀² −ω²_±)² +4ω β²_±⋅ ²。 (6) 若β² <<ω₀²，則ω_± ≅ω₀，由(6)式得：

(ω₀² −ω²_±)² =4β ω² ₀²，

∴ =  ±

 

 ≅  ±

 



ω± ω β

ω ω β

ω

0

0 1 2

0

0

1 2

1 ，

∴ ∆ω ω= ₊−ω₋ ≅2 。 β 因此，Ｑ值與頻寬的關係式變為

圖３

q qA,R

ω_ ω+ ω

q 2 A,R

∆ω

Q

∆ω。 (7)

Ｑ值大時，振盪線路對正弦波（強迫振盪源）頻率的選擇很靈敏，也就線路的共 振頻率範圍（∆ω）很窄。在廣播電台很多，彼此的頻率相當靠近的地區，收音 機就須採用Ｑ值較大的諧振電路。否則在收聽某台廣播時，會同時收到頻率相 近的電台之訊號，這些訊號互相干擾，人們就無法聆聽了。

電容器上的電荷量與電壓的關係為 q_c =

CV

儀器

示波器（內容詳見附錄 B），訊號產生器（頻率範圍 100Hz ~ 10KHz，內容詳 見附錄 A），電阻器（100Ω 、1k Ω 及 10k Ω ），電容器（0.01 µF 、0.1 µF 及 0.47µF ），電感器（10 mH 及 20 mH ），麵包板，自備方格紙。

圖４ 儀器裝置圖 步驟

1. 將電阻、電容、電感與訊號產生器和示波 器 連接，如圖 5 所示。

2. 固定電容值 0.01µF 與電感值 10 mH ，以電 阻值最小的電阻器（100 Ω ），改變正弦波 的週期，由最小慢慢增大，記錄示波器上 振

幅，找到最大振幅之正弦波頻率ν_R，並用 方

格紙畫出在ω_R(= 2πν_R)附近的振幅大小。

3. 由圖上求得頻寬∆ω並和預測值 2β 比較。將 ω_R和∆ω代入(1)式，求出此線路 的 Q 值。

εo cosωt R L

C

圖５

示波器

訊號產生器

示波器

麵包板及電路

4. 改變電阻值，在β² <<ω₀²的範圍內，重複步驟 1~3。

5. 改變電容值，在β² <<ω₀²的範圍內，重複步驟 1~3。

6. 改變電感值，在β² <<ω₀²的範圍內，重複步驟 1~3。

預習問題

1. 根據步驟 1~6 所使用的電阻值、電容值及電感值，分別求出β 值。

2. 試說明 RC 乘積的單位為時間。

實驗記錄

A. 固定電容、電感值，改變電阻值 1.

電容值＝0.01µF ；電感值＝10 mH 。

次數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a.電阻值 頻率(Hz)

= 100 Ω ^振幅(V)

次數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b.電阻值 頻率(Hz)

= Ω ^振幅(V)

2. ν_R值= Hz；∆ω= Hz；Ｑ值= 。 B. 改變電容值

1. 電容值＝ µF ； 2.

電阻值＝100Ω ；電感值＝10 mH 。

次數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

頻率(Hz) 振幅(V)

3. ν_R值= Hz；∆ω= Hz；Ｑ值= 。 C. 改變電感值

1. 電感值＝ mH ； 2.

電阻值＝100Ω ；電容值＝0.01 µF 。

次數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

頻率(Hz) 振幅(V)

3. ν_R值= Hz；∆ω= Hz；Ｑ值= 。 思考問題

1. 將記錄 A、B、C 的頻率對振幅關係圖在方格紙上繪製成圖，求振幅與頻率 的關係，並比較所得振幅軌跡的圖形。