遊戲與數學教學

遊戲與數學教學

黃毅英

遊戲與玩耍

鄭肇楨 (1983) 在 《遊戲與學習》 中 云:「以前的人常說:『勤有功, 戲無益。』 其實 這句話最少後半句是錯的。」 事實上, 關於玩 耍 (play) 與遊戲 (game) 的理論在不斷發 展中。 從英國 Spencer 的剩餘精力說與德國 Gross的生活準備說開始, 玩耍最初被看成與 工作對立, 乃為剩餘能量的消耗或鬆弛、 宣泄 和消遣。 它非受食物與性之驅動, 又不同於探 究, 所著重的為手段而非結果卻又與閑蕩不 同的行為。 玩耍乃超越生活所追求之自由活 動 (劉, 1988)。

近年, 研究者認為工作與玩耍間並不存 在不可逾越的鴻溝。 某項活動對於某人是工 作, 對於另一人可能則是玩耍。 例如 Csik- szentmichayli 便提出, 玩耍是一種主觀體 驗 (flow)。 在現代城市化的環境中, 缺乏 戶外的活動場地, 家庭結構之縮小令兒童少 了與兄弟姊妹玩耍的機會, 而玩具商精製的 玩具加上電視的普及鼓勵兒童獨自留在家中 玩耍, 故此有人提倡要 「教 (兒童懂得去) 玩」(teaching play) (Papalis 和 Olds, 1975)。

隨著普及教育之推行, 教師所面對的已 不是精英年代經過篩選的學生, 而是能力與

動機都參差不齊的一群學生。 更有不少是對 數學恐懼和厭惡者。 近人提倡多用遊戲於教 學中, 由於遊戲比傳統課堂學習更具吸引力, 也更能令學全心全意的投入 (鄭, 1983)。

再者, 普及教育的一個重要目的乃為未 來公民作準備。 在這觀點下, 學童熟練一大 堆公式未必為最重要者。 數學教學理應轉移 到解題、 自我發現、 搜索規律等 「過程能 力」(process ability)(黃, 1993) 。 從遊戲中 學習, 不只能涉及認知能力、 亦涉及情性、 官 能、 社群各區宇。 具勝負的遊戲如對奕性遊 戲等更能提高參與者的解決難題之能力及從 種種觀察與分析, 運用不同策略之能力 (鄭, 1983; 黃, 1992)。

田尼氏的遊戲學習的歷程

田尼氏 (Z. P. Dienes) 根據皮亞傑學 習心理學, 建立了一套數學學習歷程的理論。

他在 《數學的營造》(Dienes, 1981) 一書中 提出數學概念的建立可利用遊戲經過六個階 段逐步達成。 田尼氏更以邏輯的學習為例:

一. 自由玩耍(free play)。 學習者被安 排到一個經預先設計的理境中, 使他們能接 觸到特定的學習結構。 以上面談到的邏輯學

1

習為例, 設計者讓學習自由玩耍不同形狀、 顏 色、 大小與厚度的 「邏輯木塊」(圖一)。 學習 者經過了一段時期, 已能留意到其屬性。

圖一. 邏輯木塊

二. 有規律遊戲 (games)。 學習者在上 一階段受到環境剌激, 對具數學結構的事物 作出反應與適應。 漸漸, 他們發覺所需的這些 反應原來是有規律性的。 以上面邏輯學習之 例而言, 從讓學習者將木塊分類, 開始分野紅 色、 非紅色; 圓形、 非圓形等。 再進一步讓其 選出既是紅色又是圓形的木塊、 紅色又非圓 形木塊等等引入合取、 析取、 否定等觀念。

三. 找尋共同結構 (searching for commonality) 。 再以邏輯木塊為例, 以圓 形, 可有圓而紅、 圓而非紅、 紅而非圓、 既 非圓亦非紅四種情況 (圖二)。 反覆以三角形、

大的、 厚的、 方形· · ·等, 作分類活動, 學者即

能綜合推廣, 知道一般對於 x、y 兩條件, 恆 有 x 和 y、x 和非 y、 非 x 和 y 及非 x 和非 y 四種可能性了。

紅色 非紅色

圓形

I II

非圓形

III IV 圖二. 兩個條件分成四個可能性 四. 描述和圖示(representation)。 上 一階段成熟後, 學習者可以用一些圖畫或文 字描述上面分類的策略, 如圖三即已把先前 的活動綜合起來。

圖三. 分類策略的建立

五. 符號化(symbolization)。 再進一 步, 開始以符號整理上述描述, 如用 R 表紅 色, O 表圓形, 以 「R 和 O」 表 「紅和圓」 等。

六. 形式化(formalization)。 上面符號 的引入, 自然不盡完美。 此時可向學習者引入 正式的符號, 如∧和∼等。 此時, 數學的概念 經已建成 (鄭, 1982; Bell, 1978)。

《人 皆 在 乎》(National Research Council, 1989) 中指出 「學習數學在於尋

找規律」 (search for pattern)。 不少數學的 思維方式與解難策略, 如排序、 分類、 對稱之 察覺、 推廣等均不可以用學生記得定理的數 目來衡量。 遊戲帶來的利益往往在於其過程 中的經歷。 這也許並非光是記得定理的命題 而不瞭解其內涵意義可比擬的 (鄭, 1980)。

遊戲之運用策略及評鑑

Bell(1978) 中指出, 以遊戲用作教學時 最差勁者莫如毫無準備、 漫不經意; 利用遊戲 作充塞時間用 (如在下課前十分鐘不想開新 課題即倉卒跟學生玩遊戲) 或作獎勵用 (如 測驗成績好方有玩遊戲之機會)。 Bell續指出, 單靠遊戲, 不足以完成學習, 必須加上教師 的引導和安排。 所以教師準備一課遊戲課, 就 如準備一課普通課一樣, 不應認為可較隨便。

此外, 教學用之遊戲必要有明確之認知 (cog- nitive) 及情性 (affective) 目的。 以數學 遊戲而言則有特定的數學主題。 換言之, 遊 戲部份不能喧賓奪主。 否則由遊戲轉入認真 學習所形成的 「虎頭蛇尾」 (anticlimax) 的 現象會令學生在比對之下覺得學習枯燥乏味。

Bell更加指出, 有些人認為學生縱使不能達 成嚴謹的學習也可透過遊戲感到學習的愉快, 這種論點實為謬誤的; 因為學生不覺得愉快 是來自學習, 只是來自遊戲吧了。

遊戲本身是種工具, 自然亦有一定的限 制。 設計者若能注意這些限制, 即可善用這種 工具, 達到最佳的效果。 譬如太強調勝負會令 能力稍遜者怯於參與。 一些遊戲規則之複雜 程度學之比學習其數學內容更困難。 設計遊 戲規則若不夠清楚令參與者於中途花大量時

間爭議誰勝誰負 (或某一步是否合法) 而徒令 遊戲變得乏然無味。

Bell還指出, 阻礙遊戲學習之施行, 莫如 社會對遊戲的觀念。 若學生告訴家長課堂上 老是玩遊戲, 兩者都會覺得堂上並沒有進行 學習。 若加上課堂氣氛控制不好, 會導致情緒 散漫。 噪音滋擾了別班的上課程序亦會帶來 反感。 太過強調遊戲之好玩會令學生憎厭上 傳統課。

若要運用遊戲達至最佳的教學效果, 執 行者 (教師) 必須自己將遊戲玩一次, 保證程 度與所需時間合適, 規則明確合理 (例如會否 太多僥倖成份)。 教師亦須計劃如何講解遊戲 規則, 並保證參與者清楚規則, 方讓遊戲開始, 在進行的過程中, 亦須使每個同學均有同等 的參與機會,Bell 最後忠告為: 「若遊戲裡並 無明顯的數學學習目的, 不有趣和不好玩, 則 別用於你的數學課堂內」。 文內更舉出評鑑遊 戲的準則:

一. 學生清楚遊戲規則嗎?

二. 學生是否需要大量時間學習遊戲規則?

三. 遊戲規則會否過於複雜以拖慢進度?

四. 該遊戲會否太幼稚或太高深?

五. 是否每個學生都有平均的參與機會?

六. 是否每個學生都可參與整個遊戲的進 展(有否中途被淘汰)?

七. 學生對遊戲感興趣嗎?

八. 有否引起紀律性的問題?

九. 學生是否會因過於投入遊戲而忽略學習 目的?

十. 在整個遊戲的過程中數學部份有否突顯 出來?

十一. 學生能否達至數學認知目的?

十二. 最重要者, 學生在經過遊戲後, 數學 表現(後試 — post-assessment) 是否 有改進?

常見的數學遊戲甚多, 如 《數學遊戲》 一 書 (鄭, 1980) 即舉出讓梨、 秤量、 幻方與魔 陣、 拓撲、 劃鬼腳、 火柴、 棋盤上的包圍戰、

節牌、 獨子棋、 多方垛片、 七巧與十五巧、 拉 丁方陣和數學歸納等十三大類。 本文即欲舉 出四類較有特色的數學遊戲以闡示利用遊戲 學習之策略。

個例一 : 數學歸納

談到數學歸納遊戲, 不少人都會想到河 內塔 (Tower of Hanoi) 或梵天塔 (Tower of Brahma)。 梵天乃印度教主宰天地萬物之 神。 雖然這遊戲經常被用於教學用途, 但未必 留意到這遊戲在得出F (n) = 2ⁿ− 1外能帶 給學習者的學習目的仍多。

梵天塔變為 Edouard Lucas 之創作故 事, 其中謂 「梵天創造天地之初, 於世界中心 之貝拿勒斯 (Benares) 廟裡, 安放了一個黃 銅板, 板上插著三根寶石針, 每根針高約一腕 尺, 像虀菜葉那樣細。 在其中一根針上從下到 上放了由大到小的六十四片金片, 是謂梵天 塔 (圖四)。 無論日夜, 都有一值班僧人按梵 天所定法則, 將金片移動。 法則為: 一次只能 移動一片, 小片永遠在大片上面, 若當所有六

十四片都被移到另一根針上時, 世界就會在 一聲霹靂中消滅, 梵塔、 大廟和眾生都會同歸 於盡。」(Ball, 1928)。

圖四. 梵天塔

設n個 金 片 所 需 步 驟 為F (n), 故 有F (1) = 1。 今考慮一般n的情況, 我們首先 用F (n − 1)步將頭n − 1片移到第二根針 (圖 五 a), 再用一步將最大一片移到第三針 (圖 五 b), 然後再用F (n − 1)將頭n − 1 片移到 最大一片之上 (圖五 c), 於是得出

F(n) = F (n − 1) + 1 + F (n − 1)

= 2F (n − 1) + 1

的循環關係 (recurrance relation)。 於是 F(n) = 2F (n − 1) + 1

= 2(2F (n − 2) + 1) + 1

= 2²F(n − 2) + 2 + 1

= · · ·

= 2ⁿ⁻¹+ 2ⁿ⁻²+ · · · + 2²+ 2 + 1

= 2ⁿ− 1 2 − 1

= 2ⁿ− 1。

圖五. 梵天塔之解

一些人很著重再將上式 [F (n) = 2ⁿ− 1)] 利用循環關係以數學歸納法嚴格的證一 次。 其實在這 「結果」(product) 之外,「過 程」(process) 更為重要。 首先, 上面從循環 關係得出 F (n) = 2ⁿ − 1 一式, 裡面實已 蘊含數學歸納的精神, 亦即從找 F (n) 的問 題轉而找 F (n) 與先前一步 [F (n − 1)] 之 關係。 再嚴謹的證一次只是欲保證沒有誤失

吧了。 數學歸納中有很多此類例子。 例如求 n 不兩兩平行亦無三條共點的真線製造出幾個 交點 (又或將平面成多少份) 之問題, 在已有 n 條線上加上一條, 此第 n 條將交原先 n−1 條於 n − 1 點, 故有 (圖六)

F(n) = F (n − 1) + (n − 1)

= F (n − 2) + (n − 2) + (n − 1)

= · · ·

= 1 + 2 + · · · + (n − 2) + (n − 1)

= n(n − 1) 2

(又或n條中任取兩條均成一交點, 故為C₂ⁿ=

n(n−1)

2 。) 數學歸納法之原理不待證明已隱藏 其中了。

圖六. n條直線之交點

故 此, 有人 提 出 學 歸 納 的 思維方 式 (thinking by mathematical induc- tion)(黃, 1990a)。 若以上面的梵天塔為例, 最重要的可能是學習者透過低數目 (n = 3, 4之類) 之探索, 瞭解到移動n金片之過程 中完全包括了移動n − 1金片的程序; 由此即 可動手探求F (n)和F (n − 1)的關係。

學習者更可探索出一些規律。 如圖七所 示以四片為例, 假若第一步將第一片 (最小一 片) 往順時針方向移動 (圖七 a), 第二步則為 往逆時針移動 (圖七 b)· · ·單數步 (以不故意 反覆循環移動而言) 必為順時針, 而雙數步逆 時針。 依據這種規律即能導致問題之解決。 再 者, 每一片均依同一方向移動。 以下面第一片 向順時針移動為例, 下次再移動第一片時, 亦 是往順時針移的 (圖七 c)。

圖七. 梵天塔解答的規律

至於世界末日的問題, Gamow (1961) 指出, 若以每秒鐘作一次移動, 移動六十四片 共需約 58 萬億年。 按現代宇宙進化論, 恆星、

太陽、 行星乃約在三十億年前形成的, 而給太

陽提供能量的原子燃料還能維持 100-150 億 年, 因此整個宇宙早在金片移動完成之前已 毀滅了。

隨著個人電腦之普及化, 市面已有電腦 梵天塔遊戲軟件之發售 (圖八)。

Score : 1

Move 2) From?1 To?

圖八. 梵天塔電腦軟體

梵天塔的解決方法, 在某個意義底下, 是 容易的。 除了它的步驟不斷的自我重覆 (n個 金片的程序完全包含了整個n −1個金片的程 序) 外, 只要不徘徊循環, 它的解答是唯一的。

換言之, 其中沒有岔路 (倪和朱,1986)。

另一個極為類似的遊戲是九子連環 (圖 九)。 它據稱是孔明之發明, 又名為 「留客具」。

它的任務是從圖十 a 套柄套上各環弄到圖 十 b 的解開只套著最後一環。 事實上, 倪和 朱 (1986) 指出九子連環和梵天塔遊戲是同 構的。

圖九. 九子連環

(a)

(b)

圖十. 九子連環任務

近 來 市 面 上 流 行 一 個 名 為 「扭 出」(SPIN OUT) 的遊戲, 玩法類似九子 連環而較之簡易, 故先以之作探討。

它的構造是由一塊板與一個套組成。 板 上有七個近似圓形的子, 在不被板套或鄰子 所阻擋的情況下, 各子可以圓心為定點扭動 (圖十一), 現時的任務是由圖十一 a 的情況 扭至圖十一 b, 以致整塊板可從套中拉出來。

(a)

(b)

圖十一. 扭出

我們分別以 0 及 1 表示各子的橫直情 況。 在反覆玩耍後, 我們發覺:

一. 在任何情況下, 最右子只可透過一 步 (圖十二 a — c) 在 0、1之間互換, 故可不 必理會最右子。

二. 若從右向左數, N 為第一個非 0 子, 我們可以用一步將第 N+1 子在 0、1 間互換。

圖十二. 將最右子由 1 變 0

整個解答亦是沒有岔路的。 每次均是把 板塊拉出至最右, 轉動最左可以轉動的子, 再 拉入; 只要不徘徊循環就自然得到解答了, 如 下:

步 狀態 (最右子不寫) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 3 1 1 1 1 0 0 4 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 1 0 1 6 1 1 0 1 1 1 7 1 1 0 1 1 0 8 1 1 0 0 1 0 9 1 1 0 0 1 1 10 1 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 12 0 1 0 0 0 0 13 0 1 0 0 0 1 14 0 1 0 0 1 1 15 0 1 0 0 1 0 16 0 1 0 1 1 0 17 0 1 0 1 1 1 18 0 1 0 1 0 1 19 0 1 0 1 0 0 20 0 1 1 1 0 0 21 0 1 1 1 0 1 22 0 1 1 1 1 1 23 0 1 1 1 1 0 24 0 1 1 0 1 0 25 0 1 1 0 1 1 26 0 1 1 0 0 1 27 0 1 1 0 0 0 28 0 0 1 0 0 0 29 0 0 1 0 0 1 30 0 0 1 0 1 1 31 0 0 1 0 1 0

32 0 0 1 1 1 0 33 0 0 1 1 1 1 34 0 0 1 1 0 1 35 0 0 1 1 0 0 36 0 0 0 1 0 0 37 0 0 0 1 0 1 38 0 0 0 1 1 1 39 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 1 0 41 0 0 0 0 1 1 42 0 0 0 0 0 1 43 0 0 0 0 0 0 從上面的解答, 我們可看到幾個現像。

首先, 某些步是倒回走的。 若把上面 43 個數 字看成二位數, 若沒有倒回走的話, 是應該由 最大的 111111 單調下降到 000000 的, 事實 卻非如此。

第4步按上面第二性質令至左3位轉成0 後 (由 111100 變 110100), 接著數步是倒回 走的:

此外, 解答中不少是程序是重覆的, 例如 我們從 111111 開始, 到第 4 步得出第一次第 左 3 位為 0, 我們又要將上位的右面設法還原 為 1...., 即第 6步 110111。

於是大致重覆上面的程序使得第左 1 位 第一次得 0(第12步), 然後又把其右各位變成 1, 即第 22 步 011111 等等。 九子連環的情況 類似而稍為複雜。 下表即為其解決程序:

步 狀 態 備 註 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 把 2-4 步倒回走 8 0 0 1 0 0 0 0 0 0

9 0 0 1 1 0 0 0 0 0 把 2-8 步倒回走 16 0 0 0 1 0 0 0 0 0

17 0 0 0 1 1 0 0 0 0 把 2-16 步倒回走 32 0 0 0 0 1 0 0 0 0

33 0 0 0 0 1 1 0 0 0 把 2-32 步倒回走 64 0 0 0 0 0 1 0 0 0

65 0 0 0 0 0 1 1 0 0 把 2-64 步倒回走 28 0 0 0 0 0 0 1 0 0

129 0 0 0 0 0 0 1 1 0 把 2-128 步倒回走 256 0 0 0 0 0 0 0 1 0

257 0 0 0 0 0 0 0 1 1 把 2-256 步倒回走 512 0 0 0 0 0 0 0 0 1

個例二 : 二進制與十進制互換

以下是一個協助學生熟習二進位數與十 進位數互換遊戲之教案。

《預備知識》

學生已懂得如何將二進位數轉成十進位 數及如何將十進位數轉成二進位數。

《遊戲目的》

一. 學生能運用二進位數轉十進位數於特定 的遊戲情境中。

二. 學生透過上面的應用使上述技巧更熟 練。

三. 學生運用十進位數轉二進位數瞭解遊戲 的設計原理。

四. 學生透過上面的運用使上述技巧更熟 練。

五. 提高學生對二進位數與十進位數互換的 興趣與信心。

《預備材料》

六張預先寫上特定數字 (圖十三) 的卡 紙。

圖十三. 遊戲所用的六張卡紙

《運用遊戲的教學策略》

《教程》

時間 課堂互動。

(引入)

5 分鐘 教師請各同學在心中定出一幸運 數字。

教師說能猜出各心中的幸運數字, 但 需要一些工具。

教師將預先準備好的六張卡紙張貼在 黑板上 (圖十三)。

教師先請一位同學說出哪幾張有他心 目中的幸運數字。 教師在有幸運數字 的卡紙下面畫上 「√」, 在沒有的下面 畫上 「×」, 於是成功地猜中學生的幸 運數字 (圖十四)。

32 40 48 56 33 41 49 57 34 42 50 58 35 43 51 59 36 44 52 60 37 45 53 61 38 46 54 62 39 47 55 63

16 24 48 56 17 25 49 57 18 26 50 58 19 27 51 59 20 28 52 60 21 29 53 61 22 30 54 62 23 31 55 63

8 24 40 56 9 25 41 57 10 26 42 58 11 27 43 59 12 28 44 60 13 29 45 61 14 30 46 62 15 31 47 63

√ × ×

4 20 36 52 5 21 37 53 6 22 38 54 7 23 39 55 12 28 44 60 13 29 45 61 14 30 46 62 15 31 47 63

2 18 34 50 3 19 35 51 6 22 38 54 7 23 39 55 10 26 42 58 11 27 43 59 14 30 46 62 15 31 47 63

1 17 33 49 3 19 35 51 5 21 37 53 7 23 39 55 9 25 41 57 11 27 43 59 13 29 45 61 15 31 47 63

√ √

×(38)

圖十四. 用 「√

」、「×」 引入二進制 教師再成功地猜中另二位同學幸運數 字。

教師用 「何以如此呢?」、「用甚麼方法 呢?」 等說話提高 「懸疑性」。

教師再邀請一位同學對他猜幸運數字。

(發展)

5分鐘 教師引導同學觀察猜測的過程中全靠

「√」 與 「×」 的符號而促使同學聯想與 二進位數的關係, 於是先與同學溫習十 進位數轉二進位數的技巧。

教師先以第一位同學的幸運數字為例, 將已猜出的十進位數化成二進數。

一位同學於黑板, 以另一幸運數字為例 化成二進數。

5 分鐘 老師將上面得出的答案中之 0、1 與原 先的 「×」、 「√」 比較, 引導同學發現從

「√」、 「×」 得出幸運數字實二進位數及 十進位數的互換過程。

再讓同學 (各自在座位上) 將另一個幸 運數化成二進位數再比較, 並藉此再將 十進位數轉二進位數的技巧熟習, 此時 更將 「√」、 「×」 形式化為 「1」、「0」。

5 分鐘 上面所作是將十進位數化成二進位。

按上面的觀察, 從 「√

」、 「×」 猜出幸運 數字實為上面的還原過程, 即將二進位 數轉換成十進位數的技巧。

既然如此, 教師此時協助學習溫習數題 二進位數轉十進位數的例題。 此時, 教 師總結一下整個猜幸運數字的方法。

5 分鐘 然而此並不足以完全掌握整個遊戲, 因為仍要知道如何製造所需的六張卡 紙。

教師解釋每張卡紙上安放哪些數字的原 則。

5 分鐘 教師說他自己亦有一個幸運數字, 讓 同學去猜。

教師讓同學們互相猜對方的幸運數字。

5分鐘 不少同學希望教師讓他們將每張卡的 數字抄下, 於是教師再講解製造各卡的 辦法。

教師抽起卡紙, 給出一些數字作例, 問 該數字應在哪張卡上, 以保證同學知道 卡紙的製造方法。

(閉合)

5 分鐘 教師總結全課。

《註釋與評論》

一. 以上為一初一級的課堂實錄, 班內學生 超過四十人, 學生成績升中學時被評估 為該區的最差20%。 這些資料可能消除 一些人認為 「差學生用遊戲教學無法控 制」 的顧慮。

二. 此遊戲實包含兩個元素: 遊戲元素與教 學元素。 本課所定之目標只為一般性目 標而非行為目標(behavioural objec- tive)。 關於 遊戲部份, 一般而言是透過 遊戲策略之學習, 學習者會比前 「玩得 更好」, 即有較大之取勝機會。 此即為行 為目的。 後試 (post-assessment) 則要

透過重覆玩若干次, 比較前後之獲勝頻 率而成。 在本遊戲而言, 行為目標可寫 成 (在此課之後), 只要對方指出其心中 的數字存在於哪些卡紙上 (而此數字須 在 64以下), 學生必能猜出一數字。

三. 至於數學部份, 要注意本課不是學習過 程而是溫習過程。 換言之, 學生並非透 過本課從不懂得位制互換到學會互換技 巧。 我們只能比較學生在本課前後做此 類數題之意欲和成功率。

四. 本課的教學策略是將互相猜測數字作為 高潮放在整課的末後。 這是合符推動集 體遊戲 「由熱身逐漸發展到高潮即收」

的原則。 但由於製作卡紙的方法較複雜, 亦可考慮先讓學生熟習了猜字的技巧再 談製作之方法, 以免將幾個技巧的引入 放得太近。

五. 在過程中, 教師應注意各項帶領活動的 細節。 例如在實例中, 教師說明幸運數 字必須在 64 以下; 教師又確定同學已 決定哪個數字 (有時學生三心兩意會費 時), 並著令其不要說出和不要再改才進 下一步。 教師又將六張卡紙用六種不同 顏色以便易於稱呼。

六. 在溫習位制互換過程中多讓學生在 黑板上做, 容易探察出常見毛病以便糾 正。 到後來即會發覺學生掌握猜數技巧 之快。

七. 其實上述遊戲與二進位數無必然關係。

因為對每張卡紙有 「含」 與 「不含」 兩

個可能; 六張卡紙共有2⁶ = 64個可能 (減去 「全無」, 成 63)。 每一個可能性配 一個數字 (甚或其他東西) 即可出現每 一組含與不含的答案足以決定出唯一的 答案, 故 63 個數字大可對調; 不過如此 排列則會計算容易。 故此遊戲亦可改作 猜歲數 (因教師一般約知同學歲數, 可 改成猜父親歲數之類)、 猜喜愛歌曲、 姓 氏 (因知同學姓名, 故可猜其母親姓氏 之類) 等。

個例三 : 立體數學遊戲

空間想像力為數學教育中重要目的之 一, 透過立體數學遊戲可促進這方面的訓練 (丁, 1984; 黃,1990b)。 很多立體數學遊戲 如索瑪立方等均能把玩在手, 故更增加了趣 味。 不少立體數學遊戲亦涉及甚多的解難策 略 (黃,1992)。 以下一例便是市面近期甚流行 的種立體遊戲。 其任務是要將六塊有駁位的 平面塊, 砌成一個中空的正立方體 (圖十五)。

圖十五. 從六個面砌回立體

我們首先將六塊命名為A至F, 其方向 以 1, 2, 3, 4 表示。 再者, 每一塊都可反過 來, 名之為 A^′至 F^′(圖十六)。 然而F是對稱 的, 故 F=F^′。

圖十六. 各塊命名

我們當然可窮舉各組合, 但這可能要用 上千個猜測。 假使選取任一塊出發, 以 A3為 例, 由於頂點 (Vertex) 乃由三塊共有, 而 A3 沒有佔據角位, 接駁 A3的方塊就會有很多可 能性 (圖十七)。 為了縮小可能性的範圍, 於 是先選一些佔據了角位的方塊出發, 那就只 有 C3、D3、D4、E4四塊。 今隨意選出了 D3。

圖十七. 搜索各可能性

以後的步驟就可簡單地用一個樹形圖表 示了。

配合 1D3 的有兩個可能: 2E4 和 1B3。

一. 假若選取 1B3:

(1) 若選 4F2:

(2) 若選 1F3:

二. 若選 2E4:

(圖十八)。 以上, 我們利用了各種可能的考慮 (窮舉), 逐步縮窄直至得到答案, 其中利用平 面解決立體問題、 考慮對稱性、 給以適當的命 名、 將問題分成細步與排除不可能的情況, 均 是導致問題解決之策略。 讓學生自己動動手 亦可使其尋覓到各種規律來。

圖十八. 完成圖

個例四 : 另類數學遊戲

不少如以上的遊戲, 都是有明顯的特定 數學內容者 (趙, 1981a, 1981b)。 參與者透 過這些數學物體, 就能探索出數學的性質。 然 而另一類數學遊戲也是經常被運用的。

兩個人輪流從 1至9挑出數字, 誰先得到 三個總和為 15 者勝, 這就相對於幻方 (圖十 九) 上玩井棋; 又數人玩康樂棋 (圖二十), 行 至某位置須解答一些數學問題才能過關。 有 人指出, 上面所玩的並非是數學遊戲, 前者實 在是玩井棋, 後者玩康樂棋, 不過是將一些數 學的元素 (主菜上的調味品) 放進這些遊戲吧 了。

2 9 4 7 5 3 6 1 8 圖十九. 幻方

圖二十. 康樂棋 從另一角度, 學生既然喜愛玩這些井

棋與康樂棋, 在玩之過程中就不知不覺間 做了很多數學的練習, 也達到學習之目的。

大部份的電腦數學遊戲軟體均屬此類 (黃, 1991a,1991b )。 而這類遊戲的特色在於變化 多端, 故此設計者也就可以隨意剪裁以適合 參與者的性向與程度。 圖廿一中所見便是不 同的迷宮遊戲, 足見此遊戲的靈活性。

接龍 (domino) 遊戲的玩法每人抽得一 些兩端各有點數的接龍牌 (圖廿二), 輪流打 出。 每一打出的牌必須有一端的點數與檯面 上尾端點數相同。 最快打完自己分得的所有 牌為勝。 我們可製造一些 「因數卡片」(圖廿 三) 玩接龍遊戲, 相接的兩個數中其一必須為 另一個數的因數, 這樣的變化是作為練習法 與因數之用。 我們又可將接龍牌改成寫上不

同公式的卡片 (圖廿四) 以讓學生熟習該等公

式。

圖廿一. 各類迷宮

圖廿二. 接龍遊戲

圖廿三. 因數卡片

圖廿四. 公式接龍

為了練習四則運算, 我們以4為例 (餘類 推), 製造了寫上 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 80, 81, 84, 88, 90, 100 的卡紙亦作輪流出牌, 每 一張牌須為上一張牌的+4、−4、×4或÷4 (圖 廿五)。 這亦可變化成 「接樹枝」(圖廿六)。 近 市面推出之 「數學砌字遊戲」(Mathable) 仿 效砌字遊戲 (Scrabble), 與 「接樹枝」 亦甚 相近, 不過沒有規限於一個特定的數字 (4)。

這些都是接龍遊戲的變化。

圖廿六. 接樹枝

智慧數學盤基本上是一個智力棋遊戲 (master mind), 不過現時要猜的不是四只 棋的顏色與位置, 而是四個數字 a,b,x,y。 一 方給出二位數 a, b 加另一二位數 x, y 的答 案 (「加」 可改為 「減」、「乘」、「除」 等), 由另一 方猜出 a,b,x,y 四字來 (圖廿七)。 猜的一方 若猜中任一數字或同時猜中位置, 對方都要 有一定的顯示。 這便是智慧數學盤的玩法。

圖廿七. 智慧數學盤 以上便是另類數學遊戲的介紹。

參考書目

1. 丁一 (譯) (1984) (高木茂男)。《立體數學遊 戲》 。 科學普及出版社。

2. 倪進、 朱明書 (1986)。《智力游戲中的數學方 法》。 江蘇教育出版社。

3. 黃毅英 (1990a)。 解題與數學教育, 《數學傳 播》, 54 期, 71-81。

4. 黃毅英 (1990b)。 立體數學遊戲與空間想像 力之訓練, 《數學傳播》, 56 期, 78-96。

5. 黃毅英 (1991a)。 高科技對學校數學教學的 衝擊 (上), 《數學傳播》, 59 期, 103-110。

6. 黃毅英 (1991b)。 高科技對學校數學教學的 衝擊 (下), 《數學傳播》, 60 期, 112-118。

7. 黃毅英 (1992)。 立體遊戲中的解難策略, Datum, 32, 1-5。

8. 黃毅英 (1993)。 數學教育目的性之轉移, 《數 學傳播》(待刊)。

9. 趙文敏 (1981a)。《寓數學於遊戲》 第一輯。 九 章出版社。

10. 趙文敏 (1981b)。《寓數學於遊戲》 第二輯。

九章出版社。

11. 鄭肇楨 (1980)。《數學遊戲》。 商務印書館。

12. 鄭肇楨 (1982)。 應用田尼氏數學學習歷程於 數學教學, 《數學教學》, 5 期, 6-9。

13. 鄭肇楨 (1983)。《教育途徑的拓展》。 廣角鏡 出版社。

14. 劉焱 (1988)。《兒童遊戲的當代理論與研究》。

四川教育出版社。

15. Ball, W. W. R. (1928). Mathemati- cal Recreations and Essays. Macmillan Publishers Company.

16. Bell, F. H. (1978). Teaching and Learn- ing Mathematics in Secondary Schools.

Wm. C. Brown Company.

17. vanDelft, P., and Botermans, J. (1978).

Creative Puzzles of the World. Harry N. Abrams.

18. Gamow, G. (1961). One, two, three, · · ·

infinity: facts and speculations of sci- ence. Viking Press.

19. National Research Council (1989). Ev- erybody Counts. National Academy Press.

20. Papalis, E. E., and Olds, S. W. (1975).

A Child’s World-Infancy through Ado- lescence. McGraw Hill Book Co.

—本文作者為香港中文大學教育學院課程與 教學學系講師_—