不僅僅是遊戲

(1)

不僅僅是遊戲

一一非記憶通訊系統的信息傳播

柳柏濂

一、改革「擊鼓傳花」遊戲

進過學堂的人都玩過擊鼓傳花的遊戲: 一群人圍坐成一個大圈, 隨著鼓聲響起, 一朵大紅花沿著反時針方向 (或順時針方向) 從一個人的手中, 傳到另一個人的手中。當鼓聲嘎然停止時, 花留在誰的手上, 誰就該表演一個節目, 至於是唱歌, 還是跳舞, 就請自便。

節目表演完後, 鼓聲繼續響起, 大紅花繼續前進, 從一個人的手中又傳到另一個人的手中, 如此繼續, 花仍是一朵, 但個人表演的節目可以無數, 足足可湊成一個晚會。

當今時代, 言必稱改革。讓我們也來改革一下「擊鼓傳花」。

讓這群人圍坐成兩個相連的圈 (圖 1) , 隨著鼓聲響起, 一朵大紅花仍沿著反時針方向從一個人的手中傳到另一個人的手中。

當傳到分岔點 (如圖 1中的 u 點) 往下傳時, 把一朵大紅花拆開成兩朵, 分別傳給兩個圈中的下一個人。若紅花在傳遞時, 恰好在某一個點匯合 (如圖 1中的 v 點) , 則把兩朵花合成一朵。按此規則往下傳遞, · · · , 當鼓聲嘎然而止, 手上拿著花的人 (可能是一位, 也可能是多位) 就該表演節目了。

圖1 改革後的擊鼓傳花的一大優點是, 隨著鼓聲不斷響起,

傳遞的花越來越多。不僅場面壯觀, 而且表演也可由獨唱

變成小組唱, 由獨舞變成集體舞。如果我們有意識地調整兩個圈的人數, 如圖 1中圈 xuyv, 和圈 xuzv 的人數分別說為 a 和 b 。若 a, b 互素, 簡記為 (a, b) = 1, 則當鼓聲響下去, 必然有一個時刻, 每一個人手中都拿著紅花。當鼓聲停止時, 全體參加都要合演一個節目, 想想看, 這是多麼完美的謝幕。

74

(2)

二、原來是一個通訊系統

我們手上的雜誌是 hh數學傳播ii 而不是 hh紅花傳播ii, 因此, 我們還應該走回正道, 從遊戲到數學。

我們有「閒心」去想到改革「擊鼓傳花」的遊戲, 完全是因為一個稱為非記憶通訊系統 (memoryless communication system) 的數學模型。一個通訊系統的模型就是一個網絡, 或帶 n 個頂點的有向圖 D (見文獻 [1])。假設在時間 t = 0 時, D 中的 k 個頂點 (1 ≤ k ≤ n) 掌握著各自不同的信息。當 t = 1 (即傳遞 1次) 時, 每個頂點把掌握的信息傳遞給相鄰的頂點, 而自己卻失掉 (忘記了) 這個信息。當然, 它可以同時接收來自鄰點的信息。這個系統用此方法運作, 稱為非記憶通訊系統 (MCS)。

回過頭來, 看看我們改革了的擊鼓傳花, 把圖 1 看成一個網絡。它就是一個 k = 1 的 M CS。

正如不是圖 1 的任何一種排圈方法都可以保證將來每人手中都有一朵花, (讀者可以嘗試, 當 a = 10, b = 6 時, 是不可能演全體大合唱的), 不是任何 MCS 網絡都可以使初始的 k 個信息傳遍每個頂點的。但是, 當 D 是本原有向圖時 (見文獻 [1]) 可以保證至某一個時刻, D 的每個頂點都可掌握原來的 k 個信息。

如文 [1] 所述, 本原有向圖就是一個強連通圖 (任兩點都有路到達) , 且不同的圈長的最大公約數為 1 的圖。

在圖 1 中, 我們令 (a, b) = 1, 就是保證 MCS 的本原性。

一個自然的問題接踵而來: 對於某個 MCS 的本原有向圖 D, 使每個頂點掌握原來的 k 個信息, 最短的時間是多少?

我們考慮簡單的 k = 1 的情況, 也就是:

在改革的擊鼓傳花遊戲中, 圖 1 的 D 中, 當第一聲鼓響起後, 至少經過多少步傳遞, 每個人手中都有一朵紅花?

我們知道一個網絡可以與一個 (0, 1) 矩陣一一對應 (見文獻 [1]) , 讓我們用矩陣刻劃上述問題的數學本質。

不失一般性, 把圖 1 的 D₁ 簡化為圖 2的一個 6階有向圖 D₂。 D₂ 的鄰接矩陣為

A =







0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0





 圖₂

(3)

在布爾運算下, 設 A^k= (a^(k)_ij ), 則 a^(k)_ij = 1 當且僅當從 i 到 j 有長為 k 的途徑 (walk), 於是上述問題便是求使 A^k 有一列全 1的最小的 k。(這裏, 我們定義矩陣的橫行為列)

試運算

A² =







0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0







A³ =







0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0







· · · A²⁰=







1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0







A²¹=







1 1 · · · 1

· · · · 0 0 · · · 0





 A²²=







1 1 · · · 1 1 1 · · · 1

· · · ·





 A²³, A²⁴,

A²⁵=







1 · · · 1

· · · · 1 · · · 1 0 · · · 0







A²⁶= J

從運算結果, 我們知道, A²¹ 第一次出現了一個全 1列 (第 1列)。而到 A²⁶ 每個列都是全 1 列。其實際意義是: 當第一次聲鼓響起後, 至少經過 21 次傳遞, 有可能 6 個人都手上拿著花, 但是, 要出現這種結果, 初始拿花的應是第 1 位置的人。而若把初始拿花者放在第 6 位置。即便經過 25次傳遞, 也不會出現人人手上均有花的場面。但是, 不論初始拿花位置如何, 傳遞 26次或以後, 鼓聲一停, 一定保證全體都要起立唱歌或跳舞。

用數學的語言表述, 圖 2中的 MCS 網絡 D2, 要使一個初始信息傳遍各點, 至少要傳遞 21 次。而要使兩個不同的初始信息傳遍各點, 至少要傳遞 22 次, . . . ., 使 5 個不同的初始信息傳遍各點, 至少要 25次。

三、矩陣的「點指數」

用網絡的鄰接矩陣的冪運算, 確實能直接算出結果。然而, 我們更需要用數學方法知道一個本原 MCS 網絡傳遍 k 個信息的最小步數。如果用 t 表示步數 (或稱時間) 的話, 即求 t 的最小值。

從矩陣的冪運算又回到有向圖模型。我們先討論 k = 1。

要知道, 矩陣 A^t 中有一列, 不妨第 i 列, 是全 1 列, 就意味著在有向圖 D 中頂點 i 到每個頂點, 都有長為 t 的途徑。求 t 的最小值, 即求第一次出現全 1 列的 A^t。

(4)

考慮一個有 n 個頂點 1, 2, . . . , n 的本原有向圖 D。為了使敘述更數字化, 我們定義 exp_D(i, j) 為這樣最小的整數 p, 使對於每一個整數 t ≥ p, 從點 i 到 j 都有長為 t 的途徑 (1 ≤ i, j ≤ n)。因為 D 是本原的, 因此 exp_D(i, j) 是有限的。我們定義頂點 i 的「點指數」為

exp(i) := max{exp_D(i, j)}, i= 1, . . . , n

於是, exp(i) 是這樣的最小整數 t, 使得從 i 到每一點 j 都有長不小於 t 的途徑。

為方便處理, 我們可以選擇 D 中頂點的次序滿足

exp_D(1) ≤ exp_D(2) ≤ · · · ≤ exp_D(n)

即 exp_D(1) 為在 D 中一個信息傳遍各個頂點所需的最小時間 (步數) t。換言之, exp_D(k) (1 ≤ k ≤ n) 是使 A^t 有 k 個全 1 列的最小的 t, 也即在 D 中, k 個不同的初始信息能傳遍各頂點的最小時間 t。易見, 這個最小時間與初始信息所在的位置是有關的。但 exp_D(n) 是本原 MCS 網絡 D 的 n 個不同的初始信息傳遍各點的最小時間。因而也是任意 k 個不同的信息 (與初始位置無關) 傳遍各點所需的最小時間。

現在我們看一個特殊的 n 階有向圖 D3 (圖 3)。

這是圖 2中的 D2 的一般化, 即僅含長為 n − 1 和 n 的兩個圈的圖。我們考察 k = 1 的情形。

直接驗證可知, 若初始信息放在頂點 1, 則經過至少 (n − 2)(n − 1) + 1 步。此點的信息可傳遍各個頂點。而若初始信息放在第 m 點 (2 ≤ m ≤ n), 要使各點都掌握此信息, 至少要 (n − 2)(n − 1) + m 步。

圖3

因此, exp_D₃(1) = (n − 1)(n − 2) + 1 = n²− 3n + 3 。從這個特殊的圖 D₃ 中, 也可以看出

exp_D₃(k) = (n − 1)(n − 2) + k = n²− 3n + k + 2, (1 ≤ k ≤ n)。

四、任意的本原 M CS 網絡

我們不限於討論特殊的兩圈網絡。用組合矩陣論的方法, 可以解決一般本原 MCS 網路的點指數問題。設 n 階本原有向 D。

我們定義 exp(n, k) := max

D {exp_D(k)}, k = 1, . . . , n 。此處, 求最大值 max 取遍所有的 n 階本原圖 D。

(5)

我們將用 D 的最短圈的長給出 exp_D(k) 的上確界, 從而導出 exp(n, k) 的值。

我們稱長為 1的圈為環。先看 exp_D(1) 的一個上界。

引理1: 設 D 是具有頂點集 1, 2, . . . , n 的本原圖, D 中 r 個頂點有環 (r ≥ 1), 則 exp_D(1) ≤ n − 1

證: 取 D 中的一個環點, 則此環點到 D 的每個頂點必有長為 n − 1 的途徑。

引理2: 設 s 是 n 階本原有向圖 D 的最短圈長, 則 exp_D(1) ≤ s(n − 1) 證: 設 A 是 D 的鄰接矩陣, 則 A^s 的對角線有 s 個 1 。

D 是強連通圖, A^s 所對應的有向圖 D^(s) 也是強連通圖。在 D^(s) 中, 點 i 到 j 有弧當且僅當在 D 中, 從點 i 到 j 有長為 s 的途徑。因此 D 中的長為 s 的圈對應於 D^(s) 有 s 個環。

由引理 1, exp_D(s)(1) ≤ (n − 1), 即 exp_D(1) ≤ s(n − 1) 。引理3: 若圖 D 含有子圖 D^′, 則 exp_D(1) ≤ exp_D′(1) 。

證: D^′ 的弧集也是 D 的弧集的子集, 由點指數定義, 引理 3得證。

另一方面, 從強連通圖的性質, 我們容易得到引理4: 對 n 階本原有向圖 D

exp_D(k) ≤ exp_D(k − 1) + 1, 2 ≤ k ≤ n 。

證: 因 D 是強連通圖, 故必存在一個頂點 j 與具有第 k − 1 個點指數的頂點相連, 便得引理 3結論。

現在我們可以得出 exp_D(n, k) 。定理: 若 k 是正整數, 1 ≤ k ≤ n, 則

exp_D(n, k) = n²− 3n + k + 2 證: 由引理 4, 有

exp_D(k) ≤ exp_D(1) + (k − 1) (1) 設 s 是 D 的最短圈長。若 s ≤ n − 2, 則由引理 2

exp_D(1) ≤ (n − 2)(n − 1) ≤ n²− 3n + 2 (2)

(6)

若 s = n − 1, 因 D 是本原圖, 故 D 必有另一個長為 n 的圈。

即 D 必含有圖 3 的 D3 作為子圖。由引理 3 及上節關於 D3 的討論

exp_D(1) ≤ exp_D₃(1) = n²− 3n + 3 。 (3) 比較式 (2) 和 (3) 便得

exp_D(1) ≤ n²− 3n + 3 於是由 (1)

exp_D(k) ≤ (n²− 3n + 3) + (k − 1) = n²− 3n + k + 2 。 (4) 但由第三節對 D₃ 的討論知

exp_D₃(k) = n²− 3n + k + 2

故 (4) 的界是 exp_D(k) 的上確界, 即 exp_D(n, k) = n²− 3n + k + 2 。

五、故事還可以繼續 · · · ·

上節的定理告訴我們: 對於任一個本原的 n 階 MCS 網絡, 可以選擇初始的 k 個位置發出 k 個不同信息, 從而使 n 個頂點在最短的時間 (步數) 都同時接受到這些信息。這個最短時間最多不超過 n² − 3n + k + 2 步。而當此 MCS 網絡形如圖 3 的 D3 時 (恰具有兩個長分別是 n − 1 和 n 的有向圈), 就需要耗費恰好 n²− 3n + k + 2 步。

從定理的證明, 我們不難看到, 這時, 初始信息所在的初始位置就是圖 D₃ 的 1, 2, 3, . . . , k 點

用定理的公式, 無須像第二節那樣借助於矩陣的冪運算, 我們可以直接得到圖 2中 D₂^′ 的 exp_D′

2(1) = 6²− 3 × 6 + 1 + 2 = 21, 而 exp_D′(6) = 6²− 3 × 6 + 6 + 2 = 26 。當然, 對於圖 1中的 13階 D1, 我們知道一個信息傳遍網絡所需時間的上界

exp_D₁(1) ≤ 13²− 3 × 13 + 1 + 2 = 133 。然而, 善於動腦筋的讀者還會有所作為, 故事還可以繼續。

一個進一步的問題會提出來: 如果 k 個初始的信息是相同的, 那麼要傳遍 n 個頂點, 所需的最小時間又是多少呢?

容易理解, 與此相聯繫的一個矩陣問題是: 給出一個 n 階 MCS 網絡的鄰接矩陣, 求出一個最小的 t, 使 A^t 出現有 k 列, 它們所成的子矩陣沒有全零行。

(7)

這個問題同樣可以用有向圖的模型解決, 不過與上述方法稍有不同而已。有興趣的讀者可參考文獻 [2] 。

「擊鼓傳花」是一個遊戲, 但不僅僅是一個遊戲。它與非記憶信息傳遞系統有著本質的聯繫。透過這個窗口, 我們可以看到 hh組合矩陣論ii 解決實踐問題的奧妙。

參考文獻

1. 柳柏濂, 尋尋冪冪· · · ——非負矩陣冪序列初探, 數學傳播, 32 卷 3 期, p.55。

2. 柳柏濂, 組合矩陣論, 科學出版社, 2005 年第二版。

—本文作者任教中國廣州華南師範大學數學科學學院—

中研院數學所研習員甄選簡章

本所為鼓勵有志研究數學領域之青年繼續深造, 特提供為期壹年之進修機會。

一、資格: 數學及其相關科系 (大學, 研究所) 畢業或應屆畢業者。

二、甄選:

(1) 凡具備上述資格並有志從事研究工作者, 請備齊下列文件:

a. 大學 (及研究所) 成績單各一份。

b. 教授推薦函兩封 (或兩封以上)。

c. 履歷表 (含 E-mail、電話、住址、照片)、(服役者, 請詳細記載退伍日期 )。

d. 研習計畫一份。

於民國 99年4月30日前寄達本所 (中央研究院數學研究所陳棟興先生收)。

(2) 經書面審核合格者, 擇期通知, 必要時得舉行面試。

三、研習:

(1) 壹年研習期自99年7月1日開始至100年6月30日止 99年7月以後退伍之男生可視個別情況延遲報到。

(2) 研習員期滿合格者, 由本所出具研習證明書。

四、待遇: 依本院業務費項下標準支薪。

地址: 台北市 10617 大安區羅斯福路四段1號 (天文數學館6樓)

電話:(02)23685999-332(陳棟興) 綱址:http://www.math.sinica.edu.tw

不僅僅是遊戲