FG AG AC FG FG AC FG AG FG BC

(1)

高雄市明誠中學高一數學複習測驗日期：96.04.11 班級普一班

範

圍 2-1、2 三角函數

座號

姓名一、選擇題( 每題 5 分)

1. (複選)設 θ 是一個銳角，則下列何者為真？

(A) tanθ = θ θ cos

sin (B) tanθ = θ θ sin

cos (C) sinθ = θ θ cot

tan (D) cosθ = θ θ csc

cot (E) secθ = θ θ sin tan

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】商數關係：tan

θ

= θ θ cos

sin ，cot

θ

= θ

θ sin cos

2. (複選)下列各式何者成立？

(A) sin²10°+ cos²10°= 1 (B) sin²20°+ cos²20°= 1 (C) tan²30°+ cot²30°= 1 (D) sec²40°+ csc²40°= 1 (E) tan²50°+ sec²50°= 1

【解答】(A)(B)

【詳解】

平方關係：sin²

θ

+ cos²

θ

= 1，tan²

θ

+ 1 = sec²

θ

，cot²

θ

+ 1 = csc²

θ

3. (複選)下列各式何者成立？ (A) sin20°= cos70° (B) cos40°= sin60°

(C) tan25°= cot35° (D) sec33°= csc67° (E) csc50°= sin40°

【解答】(A)

【詳解】

(B)cos40° = sin50° (C)tan25° = cot65° (D)sec33° = csc57° (E)csc50° = sec40°

4. (複選)設 θ 是一個銳角，則下列何者為真？

(A) sinθ．cosθ = 1 (B) tanθ．cotθ = 1 (C) secθ．cscθ = 1 (D) sinθ．secθ = 1 (E) cosθ．secθ = 1

【解答】(B)(E)

【詳解】

倒數關係：sin

θ

．csc

θ

= 1，cos

θ

．sec

θ

= 1，tan

θ

．cot

θ

= 1

5. (複選)如圖，以 A 為圓心，1 為半徑作一個圓，此圓過 D，B，F 三點，若

BC ，

ED，FA 都垂直AT，

FG

⊥ FA，∠BAC =

θ

，則下列敘述何者正確？

(A) AC= cos

θ

(B)DE= tan

θ

(C)AE= sec

θ

(D) FG= cot

θ

(E) AG= csc

θ

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

∵ FA⊥ AT ，

FG

⊥ FA ∴

FG //

AT ∴ ∠FGA = ∠GAT =

θ

(A) cos

θ

=

AB

AC

⇒

AC =

ABcos

θ

= cos

θ

(B) tan

θ

=

DE = AD

DE =

1 DE

θ

=

AE =

AE

θ

=

FG = FG (E) csc θ

=

AG = AG

(2)

6. (複選)設 0° <

θ

< 90°，tan

θ

= k，則下列敘述何者正確？

(A) sec

θ

=

k

² +1 (B) csc

θ

= k² + 1 (C) cot

θ

= k

1 (D) sin

θ

=

2 +1

k

(E) cos

θ

=

1 1

2 +

k

【解答】(A)(C)(D)(E)

【詳解】

tan²

θ

= k² ⇒ sec²

θ

= 1 + k² ⇒ sec

θ

= 1 k+ ²

∴ cos

θ

= 1 2

1

+k ∴ sin

θ

= tan

θ

．cos

θ

= k．

1 1

2 +

k

=

2 +1

k

⇒ csc

θ

=

k k

² +1

二、填充題(每題 10 分) 1. 設

θ

為銳角且sec

θ

=

5

13，則sin

θ

= ，而tan

θ

+ cot

θ

= 。

【解答】 60

169 13 12，

【詳解】

如上圖：作一△ABC使得∠C = 90°， AC = 5，AB= 13，而∠BAC =

θ

由畢氏定理可得

BC = 12，故由銳角三角函數定義知sin θ

=

13

12，tan

θ

= 5

12及cot

θ

= 12

5

故可得tan

θ

+ cot

θ

=

60 169 12

5 5

12+ = 2. 求下列各式的值：

(1) 1 − sin²45° − tan30°cot60° + sin²38° + sin²52° = 。 (2)1 sinθ

1

+ +

θ cos 1

1

− +

θ sec 1

1

− +

θ csc 1

1

+ = 。

【解答】(1) 6

7 (2) 2

【詳解】

(1)原式 = 1 − ( 2 1 )² −

3 1 ．

1 + (sin3 ²38° + cos² 38°) = 1 − 2 1−

3 1+ 1 =

6 7

(2)原式 =

θ sin 1

1

+ +

θ cos 1

1

− +

θ

cos 1 1

1

−

+

θ

sin 1 1

1 +

= (1 sinθ 1

+ +

θ θ sin 1

sin

+ ) +

(3)

(1 cosθ 1

− +

1 cos

cos ϑ−

θ ) = 1 + 1 = 2

3. △ABC 中，AD垂直

BC 於 D，已知

AB= 25，sinB = 5

3，sinC = 17

15 ，則下列敘述何者正

確？(1)AD= ______________；(2) AC = _____________ ；(3) sinA =_____________

【解答】(1)15 (2)17 (3) 17 15

【詳解】

(1) sinB =

AD = AB

AD =

25 5

3 ⇒ AD=15 (2) sinC =

17

15 ⇒ tanC = 8 15=

CD

AD

⇒

CD

= 8

(3) cosB =

BD =

25

5

4 ∴ BD= 20 ⇒

BC

= 28 (4) sinC =

AC AD =

17

15 ⇒

AC

= 17 (5)作 CH ⊥ AB

∵ △ABC = 2

1

BC ．

AD =

21 AB．

CH

⇒

CH

= 5

84 ∴ sinA =

CH = AC

85 84

4. 如下圖： AC= BC ，AD：

DC

= 3：2，則tan

θ

= 。

【解答】7 3

【詳解】

設AD= 3， DC = 2， BC = 5，AE= 5t，DE= 2t

⇒ t = 29

3 ⇒ tan

θ

= BE AE=

29 29 6

29 15

+

=35 15=

7 3

(4)

【解答】1

【詳解】原式 = 1 + tan38° − tan38° = 1

6. sin30°．cos45°．tan60°．cot45° = 。

【解答】 4 6

【詳解】原式 = 2 1．

2

1 ． 3 ．1 = 4

6

7. △ABC中，AB= 5， BC = 3，CA = 4，∠B的分角線交 AC 於D，則 (1) cosB = 。 (2) tan∠DBC = 。

5 3 (2)

2

【解答】(1) 1

【詳解】

(1)△ABC 中，BC²+CA²= 9 + 16 = 25 =

AB ∴

² ∠C = 90° ⇒ cosB = AB BC=

5 3

(2)∵ BD為∠B 之分角線 ∴ AD：

DC

=AB：

BC

= 5：3 ⇒ CD = 4 ×

8 3=

2

3，故 tan∠DBC =

CD = BC

3 2 3

=2 1

8. sin15°．cos15°．tan15°．cot15°．sec15°．csc15°之值為。

【解答】1

【詳解】

由倒數關係得知 sin15°．cos15°．tan15°．cot15°．sec15°．csc15°

= (sin15°．csc15°)(cos15°．sec15°)(tan15°．cot15°) = 1．1．1 = 1 9. △ABC中，若cosB =

5

4，cosC = 5

1 ，

BC 邊上之高

AH，中線AM，若MH = 5，則AH

= ，△ABC的面積 = ，AB = 。

【解答】12；132；20

【詳解】

由已知條件得 cosB =

5

4 ⇒ sinB = 5

3，tanB = 4

3，cosC = 5

1 ⇒ sinC = 5

2 ，tanC = 2

(5)

tanB = 4 3=

+5 BM

AH ，tanC = 1 2=

−5 MC

AH ⇒ 8 3=

5 5 +

− BM

MC ⇒ BM= MC = 11

隨之，代回得AH= 12，又 BC = 22，故△ABC 的面積 = 2

1× BC ×AH= 2

1× 22 × 12 = 132 又由AB× sinB =AH ⇒ AB=AH×

3 5= 20

10.(1) tan15° = 。 (2) cot15° = 。

【解答】(1) 2 − 3 (2) 2 + 3

【詳解】

作直角三角形

ABC，使∠C = 90°，∠A = 15°，又作∠BAD = ∠B，D 在 BC 上，則∠ADC =

30°

令

AC = 1，則

AD= 2 =BD，

CD = 3

∴ tan15° = BC AC =

3 2

1

+ = 2 − 3 ，cot15° = AC BC =

1 3

2+ = 2 + 3

11. ° °− ° °

° +

°

−

°

30 tan 45 cos 60 cos 30 sin

45 tan 60 tan 45 sin 30 cos 60 sin 2

2 2

之值為。

【解答】12

【詳解】

°

−

°

° +

°

−

°

30 tan 45 cos 60 cos 30 sin

45 tan 60 tan 45 sin 30 cos 60 sin 2

2 2

=

2 2

3 ) ( 3 2 ) ( 2 2 1 2 1

1 ) 3 ( 2 ) ( 2 2 3 2 3 2

．

−

+

− =

6 1 4 1

1

−

= 12

12.求cos²10°+ cos²20°+ cos²30°+ cos²40°+ cos²50°+ cos²60°+ cos²70°+ cos²80° = 。

【解答】4

【詳解】

cos²10°+ cos²20°+ cos²30°+ cos²40°+ cos²50° + cos²60° + cos²70° + cos²80°

= (cos²10°+ cos²80°) + (cos²20°+ cos²70°) + (cos²30° + cos²60°) + (cos²40°+ cos²50°)

= (sin²80°+ cos²80°) + (sin²70°+ cos²70°) + (sin²60°+ cos²60°) + (sin²50°+ cos²50°)

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

13.如下圖，等腰直角△ABC中，BD為∠B之角平分線，BM為

AC 之中線，若∠CBM = θ

，則cot

θ

= 。

(6)

【詳解】

△ABM～△HCM

⇒ AB：BM：MA= HC ：CM ：MH ⇒ 1：

2 5：

2

1=CH ： 2

1：MH

⇒ 2： 5：1 = 2CH ：1：2MH= 2 5 CH ： 5：2 5 MH ⇒ CH = 5

1 ，MH= 5 2

1

∴ BH= 2

5+ 5 21 =

5 5

3 ∴ cot

θ

= CH BH =

5 5 5

5 3

= 3

14.設tanθ = 3 1，則

θ θ

sin cos

2 +

4 +

3 之值為。

【解答】 5 13

【詳解】

θ θ

sin 2 cos

sin 4 cos 3

+

+ =

θ θ θ

θ θ

θ

cos

sin 2 cos cos

cos sin 4 cos

cos 3

+

+ =

θ θ tan 2 1

tan 4 3

+

+ =

3 2 1 1

3 4 1 3

．

． +

+ =

5 13

15.設∠

A為銳角，且 0°

< 4 ∠ A < 90°，若tan4A = cot2A，則sin2A + cos3A之值為。

【解答】 2

2 + 1

【詳解】

因為 0°< 4 ∠ A < 90°，所以 0°< 90°

− 2

∠ A < 90°

又由餘角公式，則tan4A = cot2A = tan(90°

− 2A)，故得 4A = 90° − 2A

6A = 90°

∴

A = 15°，因此sin2A + cos3A = sin30°

⇔ + cos45° =

2 1+

2 2 =

2 2 1+ 16.

θ

為銳角，設方程式x² − (tan

θ

+ cot

θ ) x − 2 = 0 有一根為 3 + 7 ，則

(1)sin

θ

cos

θ 之值為。(2) (sin θ

+ cos

θ

)²

之值為

【解答】(1) 14

7 (2)⁷ ⁷ 7 +

【詳解】

設x² − (tan

θ

+ cot

θ ) x − 2 = 0 之二根為 3 + 7 ， β

二根之積(3 + 7 )

β

= − 2，

β

=

7 3

2 +

− = 7 − 3

則(1)二根之和(3 + 7 ) + ( 7 − 3) = tan

θ

+ cot

θ

=

θ θcos sin

1 ，∴ sin

θ

cos

θ

= 7 21 =

14 7

(7)

(2)( sin

θ

+ cos

θ )

² = sin²

θ

+2sin

θ

cos

θ + cos

²

θ =1 +2sin θ

cos

θ =1+2×

14

7 =⁷ ⁷ 7 +