10.1 參數方程式

第 10 章

參數方程與極座標 (Parametric Equations and Polar Coordinates)

目錄

10.1 參數方程式 . . . . 98

10.2 參數式之切線 . . . . 100

10.3 參數式之面積 . . . . 101

10.4 參數式之弧長 . . . . 101

10.5 參數式之表面積 . . . . 101

10.6 極座標 . . . . 102

10.7 極座標之圖形 . . . . 103

10.8 極座標下的切線 . . . . 104

10.9 極座標下的面積 . . . . 105

10.10極座標下之曲線弧長 . . . . 105

10.11極座標下之旋轉體表面積 . . . . 106

10.12極座標下之圓錐曲線 . . . . 106

(1) 介紹平面曲線的參數化 (2) 介紹平面上的極座標 (3) 介紹它們的微積分

10.1 參數方程式

定義 10.1.1. (1) (

x = f (t)

y = g (t) 稱為參數 t 的參數方程 (parametric equation)。

(2) 若 x = f(t), y = g(t), t ∈ I, 則點集合 {(x, y) = (f(t), g(t))|t ∈ I} 稱為參數曲線 (parametric curve), 該方程式稱為此曲線的參數式。

(3) t稱為參數, I 稱為曲線區間, 若 I = [a, b], 則 (f(a), g(a)) 為 起點 (initial point), (f(b), g(b)) 為終點 (terminal point)。

(4) 給任一曲線, 若我們寫出其參數式及其參數區間, 則稱將其參數化 (parametrized)。

第 10 章 參數方程與極座標 10.1 參數方程式

註 10.1.2. 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t)。 則其反函數可參數化為 x = f (t), y = t。

例 10.1.3. 討論以下曲線:

(a) x = a cos t, y = a sin t, t∈ [0, 2π]。

(b) x = a cos t, y = a sin t, t∈ [0, π]。

(c) x = a cos t, y = a sin t, t 從 π 到 0。

(d) x = sin 2t, y = cos 2t、t ∈ [0, 2π]。

例 10.1.4. 討論以下曲線:

(1)

½ x = sec t

y = tan t, t ∈ (−^π₂,^π₂), (2) (a) x = t, y = t², t∈ R,

(b) x =√

t, y = t, t≥ 0, (c) x = sin t, y = sin²t。 例 10.1.5. 作圖:

(1) x = t²− 2t, y = t + 1, t ∈ R。

(2) x = cos t, y = sin 2t, t∈ [0, 2π]。

例 10.1.6. 作圖 x = y⁴− 3y²。

例 10.1.7. (1) 一圓以 (h, k) 為圓心, r 為半徑, 求參數方程。

(2) 將起點為 (−2, 1), 終點為 (3, 5) 之線段參數化。

例 10.1.8. 擺線 (cycloid): 一圓沿著直線滾動, 圓周上固定一點 P , 其軌跡線稱為擺線。 寫出其參 數式。

註 10.1.9. Brachistochrone (最短時間性) 及 Tautochrone (等時性): 將上例之擺線

½ x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), 倒置後之曲線, 滿足以下兩個特性: 令 B(aπ, 2a) 為最低點。

1. 有一無阻力的珠子只受重力影響, 延著任何平滑曲線, 從原點 O 到 B。 則時間最短的曲線即 為擺線。

2. 在擺線上, C 為 O, B 間任一點, 從 C 到 B 的時間均為等值。

例 10.1.10. 作圖:

(1) (

x = t + 2 sin 2t y = t + 2 cos 2t,

(2) (

x = 1.5 cos t− cos 30t y = 1.5 sin t− sin 30t,

第 10 章 參數方程與極座標 10.2 參數式之切線

(3) (

x = sin (t + cos 100t) y = cos (t + sin 100t)。 例 10.1.11. 作圖:

(1) (

x = sin t + ¹₂cos 5t + ¹₄sin 13t y = cos t + ¹₂sin 5t + ¹₄cos 13t,

(2) (

x = sin t− sin 2.3t y = cos t,

(3) (

x = sin t + ¹₂sin 5t + ¹₄cos 2.3t y = cos t + ¹₂cos 5t + ¹₄sin 2.3t。

例 10.1.12. 給定 P0(x₀, y₀)、P1(x₁, y₁)、P2(x₂, y₂)、P3(x₃, y₃), (

x = x₀(1− t)³+ 3x₁t (1− t)²+ 3x₂t²(1− t) + x3t³

y = y₀(1− t)³+ 3y₁t (1− t)²+ 3y₂t²(1− t) + y3t³, t∈ [0, 1]

為 Bezier curves。

例 10.1.13. 討論曲線族 (

x = a + cos t

y = a tan t + sin t, t ∈ [−^π₂,^π₂]。

10.2 參數式之切線

定理 10.2.1. 令

½ x = f (t)

y = g(t) 為一參數曲線。 假設此曲線可微, 即 f(t) 及 g(t) 均可微。 並假設

dx

dt 6= 0, 則 ^dy_dx = ^dy/dt_dx/dt。

例 10.2.2. 若 x = 2t + 3, y = t²− 1, 求 ^dy_dx¯¯

t=6。 例 10.2.3. 橢圓 ^x_a²2 + ^y_b²2 = 1, 可寫成

½ x = a cos t

y = b sin t, 0≤ t ≤ 2π。 求在 ³

√a 2,^√b₂

´ 的切線方程

式 (a, b > 0)。

例 10.2.4. 一擺線之參數式為

½ x = r(θ− sin θ)

y = r(1− cos θ), (r 為一固定值)。

(a) 求它在 θ = ^π₃ 的切線方程式;

(b) 求它的水平及垂直切線。

例 10.2.5. 若

½ x = t− t² y = t− t³, 求

d²y dx²。

例 10.2.6. 紅十字會飛機拋擲救災物資。 它在 700 公尺長的空曠區域投出, 物品掉落的軌跡是

½ x = 120t

y =−16t²+ 500, t≥ 0。 問:

(a) 物品是否會掉落在該區域內?

(b) 物體落地時的速度若干?

第 10 章 參數方程與極座標 10.3 參數式之面積

10.3 參數式之面積

定理 10.3.1. 令曲線為

½ x = f (t)

y = g(t), t∈ [a, b], 且當 t 從 a 增加到 b 時, 其軌跡恰在曲線上繞過 一次, 則曲線與 x-軸所圍的面積為 A =R_b

a |g(t)f⁰(t)|dt。

例 10.3.2. 求擺線

½ x = r(θ− sin θ)

y = r(1− cos θ) 在一拱 (one arch)之下的面積。

例 10.3.3. 一隻牛綁在半徑為 r 的圓桶形倉庫上, 繩子長 πr, 則牛可吃草的面積如何?

10.4 參數式之弧長

定義 10.4.1. 令 C 為參數曲線

½ x = f (t)

y = g(t), t∈ [a, b]。 假設 f⁰ 及 g⁰ 在 [a, b] 均為連續, 且不同 時為零, 又當 t 從 a 增加到 b 時, (x, y) 恰繞過 C 一次, 則 C 的弧長為

L = Z

C

ds = Z

C

p(dx)² + (dy)² = Z _b

a

pf⁰(t)²+ g⁰(t)²dt。

例 10.4.2. 求圓周長。

例 10.4.3. 求擺線

½ x = r(θ− sin θ)

y = r(1− cos θ) 一拱的長。

例 10.4.4. 求星狀線 (astroid) x = cos³t, y = sin³t, 0≤ t ≤ 2π 的全長。

例 10.4.5. 參數曲線為 x =Rt 1

cos u

u du, y =Rt 1

sin u

u du, 從原點到有垂直切線的最近點, 其間的弧 長為何?

10.5 參數式之表面積

定理 10.5.1. 令 C 為參數曲線

½ x = f (t)

y = g(t), t ∈ [a, b], 且當 t 從 a 增加到 b 時, (x, y) 恰繞過 C 一次, 則

(1) 將 C 繞 x-軸旋轉, 其表面積為 S =R

C2πy ds =R_b

a 2πy q

(^dx_dt)²+ (^dy_dt)²dt,

(2) 將 C 繞 y-軸旋轉, 其表面積為 S =R

C2πx ds = R_b

a 2πx q

(^dx_dt)²+ (^dy_dt)²dt。 其一般形式為 S =R

C2π(半徑長)(細帶寬)=R

C2πρ ds。 例 10.5.2. 求半徑 r 的球面表面積。

例 10.5.3. 將圓

½ x = cos t

y = 1 + sin t, t∈ [0, 2π] 繞 x-軸旋轉, 求其表面積。

例 10.5.4. 曲線 C 為 x²⁵ + y²⁵ = 1。 求

第 10 章 參數方程與極座標 10.6 極座標

(a) C 之全長,

(b) C 所包圍的區域 R 之面積, (c) 將 R 繞 x-軸旋轉之旋轉體體績, (d) 將 C 繞 x-軸旋轉之旋轉面表面積。

例 10.5.5. 一曲線的參數式為

½ x = t²

y = ¹₃t³− t, t∈ R。

(a) 求曲線上自我相交的點。

(b) 求過該交點的切線。

(c) 求曲線的水平切線及垂直切線。

(d) 求 C 的昇降範圍;

(e) 求 C 的凹向上及凹向下範圍;

(f) 作圖。

(g) 設曲線所圍的區域為 R, 求其周長。

(h) 求 R 所圍的面積。

(i) 將 R 繞 x-軸旋轉, 求其體積。

(j) 將 R 繞 y-軸旋轉, 求其體積。

(k) 將 R 繞 x-軸旋轉, 求其表面積。

(l) 求 R 的形心座標。

10.6 極座標

定義 10.6.1. (1) 在平面上取一點 O 為極點 (pole), 以 O 為起點之射線為極軸 (polar axis)。 對 平面上其他任意點 P , r 是 −→

OP 的有向距離, θ 為極軸旋轉到−→

OP 的有向角, 則 (r, θ) 稱為 P 的 極座標 (polar coordinate)。

(2) 原點的座標為 (0, θ), 其中 θ 為任意實數。

(3) 對任意的 r, θ 而言, (r, θ), (r, θ + 2nπ), (−r, θ + (2n + 1)π) 均表示同一點 (n ∈ Z)。

例 10.6.2. 以下是各點的極座標, 試描繪這些點。

(a) ¡ 1,^5π₄ ¢

, (b) (2, 3π),

(c) ¡

2,−^2π₃ ¢ , (d) ¡

−3,^3π₄ ¢ ,

第 10 章 參數方程與極座標 10.7 極座標之圖形 例 10.6.3. 求 P¡

2,^π₆¢

的所有極座標表示法。

性質 10.6.4. (直角座標與極座標之關係) (1) x = r cos θ, y = r sin θ。

(2) x²+ y² = r², tan θ = _x^y。 例 10.6.5. (a) 將極座標 ¡

2,^π₃¢

改為直角座標。

(b) 將直角座標 (1, −1) 改為極座標。

例 10.6.6. 將 x²+ y² = 9 改為極座標。

例 10.6.7. 將以下各方程式改為直角座標:

(a) r cos θ = 4, (b) r = _{2 cos θ}⁴_{−sin θ},

(c) r = 1 + 2r cos θ, (d) r = 1− cos θ。

10.7 極座標之圖形

定義 10.7.1. 極座標方程 r = f(θ), 或 F (r, θ) = 0。 考慮所有平面上的點 P , 其中 P 的某一個 座標滿足此方程, 則這些 P 點所構成的集合稱為此方程的圖形。

性質 10.7.2. (對稱性)

(1) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 (r, −θ) 或 (−r, π − θ) 在該圖形上 ⇔ 圖形對 x-軸對稱。

(2) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 (r, π − θ) 或 (−r, −θ) 在該圖形上 ⇔ 圖形對 y-軸對稱。

(3) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 (−r, θ) 或 (r, π + θ) 在該圖形上 ⇔ 圖形對原點對稱。

例 10.7.3. 作以下方程式的圖形:

(a) r = a, (b) θ = θ₀,

(c) 1≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ ^π₂, (d) −3 ≤ r ≤ 2, θ = ^π₄,

(e) r≤ 0, θ = ^π₄, (f) ^2π₃ ≤ θ ≤ ^5π₆ 。

例 10.7.4. 作以下極座標方程式之圖形:

(1) r = 1− cos θ ,

第 10 章 參數方程與極座標 10.8 極座標下的切線

(2) r = 1− 2 sin θ , (3) r = 2 + cos θ 。

例 10.7.5. 討論心臟線 (limacons) r = 1 + c sin θ 之圖形。

例 10.7.6. 作以下極座標方程式之圖形:

(1) r = cos θ , (2) r = sin 2θ , (3) r = cos 3θ 。

例 10.7.7. 作以下極座標方程式之圖形:

(1) r² = 4 cos θ , (2) r² = sin 2θ 。

例 10.7.8. 作圖 r = sin^8θ₅。

例 10.7.9. 作以下極座標方程式之圖形:

(1) r = sin²2.4θ + cos⁴2.4θ。 (2) r = sin²1.2θ + cos³6θ。

例 10.7.10. 證明點 (2,^π₂) 在曲線 r = 2 cos 2θ 上。

例 10.7.11. (1) 求 r = cos 2θ 及 r = ¹₂ 之交點。

(2) 求 r² = 4 cos θ 及 r = 1 − cos θ 之交點。

10.8 極座標下的切線

定理 10.8.1. (1) r = f (θ) 之斜率為 _dx^dy|(r,θ) = ^f0(θ) sin θ+f (θ) cos θ

f⁰(θ) cos θ−f(θ) sin θ , 若 ^dx_dθ 6= 0。

(2) 若 r = f(θ) 在 θ = θ0 通過原點 , 則 ^dy_dx|θ=θ0 = tan θ₀。 例 10.8.2. 考慮 r = 1 + cos θ。

(a) 求過 (³₂,^π₆) 之切線。

(b) 求其垂直切線。

(c) 求過原點之切線。

例 10.8.3. (a) 求 r = 1 + sin θ 在 θ = ^π₃ 的切線斜率。

(b) 求水平及垂直的切線。

第 10 章 參數方程與極座標 10.9 極座標下的面積

10.9 極座標下的面積

定理 10.9.1. 極曲線 r = f (θ) 及射線 θ = α、θ = β 所圍的區域面積為 A = Rβ α

1

2r²dθ, 其中 f (θ)為正值連續函數, 且 0 ≤ β − α ≤ 2π。

例 10.9.2. (1) 求 r = 2(1 + cos θ) 所圍的面積。

(2) 求玫瑰線 r = cos 2θ 之一圈所圍的面積。

(3) 求 r = 2 cos θ + 1 之圖形中小圈的面積。

例 10.9.3. (1) 求在 r = 1 之內 , 且在 r = 1 − cos θ 之外的面積。

(2) 求在 r = sin θ 之內, 且在 r = sin 2θ 之外的區域面積。

例 10.9.4. (a) 求 r = 3 sin θ 及 r = 1 + sin θ之交點。

(b) 求在圓 r = 3 sin θ 之內, 且在心臟線 r = 1 + sin θ 之外的面積。

例 10.9.5. 求兩橢圓 ^x₃² + y² = 1 及 x²+^y₃² = 1 之內部共同部份的面積。

例 10.9.6. 笛卡兒葉形線 (the folium of Descartes) 為參數曲線 x = _1+t^3t3, y = _1+t^3t23 。 (a) 證明此曲線對 x = y 對稱。

(b) 求垂直及水平切線。

(c) 證明: y = −x − 1 為斜漸近線。

(d) 求其直角座標方程式。

(e) 求其極座標方程式。

(f) 求一線圈的面積。

(g) 證明: 漸近線與曲線間所夾面積等於線圈面積。

10.10 極座標下之曲線弧長

定理 10.10.1. 設 r = f(θ), α ≤ θ ≤ β, 其導函數為連續, 且當 θ 從 α 到 β, P (r, θ) 恰繞曲線 一次, 則曲線長為 L =Rβ

α

q

r²+ (^dr_dθ)²dθ。 例 10.10.2. 求心臟線 r = 1 − cos θ 之全長。

例 10.10.3. 曲線 r = |θ|, −2π ≤ θ ≤ 2π。

(a) 求內圈弧長,

(b) 求內圈與外圈之間的面積。

例 10.10.4. 有一邊長為 a 之正方形, 有四隻蟲分別在四頂點上。 這些蟲以逆時針方向, 以相同的 速度往前爬, 且其方向固定指向 下一隻蟲, 直到它們在正方形中心會面。

(a) 牠們會面時的反應如何? 欣喜若狂, 遙遙無期, 暈頭轉向, 精疲力盡?

(b) 某隻蟲爬行的軌跡為何?

(c) 一隻蟲直到會面需爬行多遠?

第 10 章 參數方程與極座標 10.11 極座標下之旋轉體表面積

10.11 極座標下之旋轉體表面積

定理 10.11.1. 假設 r = f(θ), α ≤ θ ≤ β, 之導函數為連續, 且當 θ 從 α 到 β , P (r, θ) 恰繞曲 線一次。 將該曲線或 x 軸 (或 y 軸) 旋轉得一旋轉面, 其表面積為:

(1) 繞 x-軸: S =Rβ

α 2πr sin θ q

r²+ (^dr_dθ)²dθ, (2) 繞 y-軸: S =R_β

α 2πr cos θ q

r²+ (^dr_dθ)²dθ。

例 10.11.2. 將 r² = cos 2θ 之右圈繞 y-軸旋轉, 求旋轉面表面積。

例 10.11.3. 設 R 為在 r² = 6 cos 2θ 及 r =√

3內部, 且在第一象限內的區域, 求:

(a) R 的面積,

(b) R 繞 x-軸旋轉的表面積。

例 10.11.4. (a) 求曲線 r² = cos θ 與 r = 1 + 2 cos θ 之交點。

(b) 令 R 為曲線 r² = cos θ 之內部且在 r = 1 + 2 cos θ 之外部區域, 求 R 之面積。

例 10.11.5. (a) 求曲線 r² = 2 cos θ 與 r = 2 + 2 cos θ 之交點。

(b) 令 R 為曲線 r² = 2 cos θ 之內部且在 r = 2 + 2 cos θ 之外部區域, 求 R 之面積。

(c) 將 R 繞 x-軸旋轉, 求其表面積。

例 10.11.6. (a) 給定 φ, 求曲線 r = e^θ, θ≤ φ, 的形心 Pφ, (b) 求 Pφ, φ∈ R, 的軌跡。

10.12 極座標下之圓錐曲線

定理 10.12.1. 在平面上有一固定點 F 為焦點 (focus), 有一固定直線 ` 為準線 (directrix)。 一個 固定正數 e 為離心率 (eccentricity)。 則平面上所有滿足 <sup>|P F |</sup><sub>|P `|</sub> = e 之點所成的集合為一 圓錐曲線 (conic section)。

若 e < 1, 此曲線為橢圓 (ellipse); 若 e = 1, 此曲線為拋物線 (parabola); 若 e > 1, 此曲線為雙 曲線 (hyperbola)。

定理 10.12.2. 形如 r = _{1±e cos θ}^ed 或 r = _{1±e sin θ}^ed 之極方程式表示一圓錐曲線。

定理 10.12.3. 一橢圓之焦點位於原點, 主軸長 (major axis) 為 2a, 離心率為 e, 準線為 x = d, 則其極方程式可表為 r = _{1+e cos θ}^a(1−e2) 。

例 10.12.4. 一拋物線焦點在原點, 準線為 y = −6, 求其極方程式 。

例 10.12.5. 一圓錐曲線的方程式為 r = _{3−2 cos θ}¹⁰ , 求其離心率, 焦點, 準線, 判斷是何種曲線? 並 作其圖。

例 10.12.6. (a) 描繪曲線 r = _{2+4 sin θ}¹² 。

第 10 章 參數方程與極座標 10.12 極座標下之圓錐曲線

(b) 將 (a) 之曲線繞原點旋轉 ^π₄, 求其方程式。

定義 10.12.7. 行星繞太陽運行的軌道是一個以太陽為焦點的橢圓 。 行星距太陽最近處稱為近日 點 (perihelion), 它與太陽的距離稱為近日距離 (perihelion distance); 距太陽最遠處稱為遠日點 (aphelion),它與太陽的距離稱為遠日距離 (aphelion distance)。

定理 10.12.8. 行星到太陽的近日距離為 a(1 − e); 遠日距離為 a(1 + e)。

例 10.12.9. (a) 地球繞太陽運行的離心率為 0.017, 主軸長為 2.99 × 10⁸ 公里, 求軌道的極方程 式。

(b) 求近日距離及遠日距離。