《高等数学》图形演示 《高等数学》图形演示 系统系统

《高等数学》图形演示

《高等数学》图形演示

系统 系统

《

对教师来说，课程紧，内容多，一直存在黑板画图难的问题。

怎样才能加强这种能力的训练和培养，使典型空间形式的图 像成为学生头脑中的一种常识，确实是个很值得研究、解决 的问题。

CAI 课件《高等数学图形演示系统》《高等数学图形演示系统》就是为解决这个问题 而制作的。本课件演示的图形形象逼真、有较强的立体感 , 对 于复杂的空间几何关系，能够明确、清晰地用立体形象表达 出来；同时，每一个图形的演示都力图包括它的基本思想和

前 言 前 言

形成过程，并用动画体现出来。因此，它不仅可以加深印象，

在相当程度上起到甚至超过教具的作用，而且会引起学生对 数学的学习兴趣，有利于培养联想和创造力，也有利于自学。

本图形演示中各图的选题，以同济大学“高等数学”教

材为线索，以比较重要的概念、定理和空间图象较为典型而 又复杂的题目为主。内容包括一元函数微分学，一元函数积分 学，空间解析几何，多元函数微分学，二重积分，三重积分，

重积分应用，付立叶级数等八个部分。演示的图形共有 148 个。

演示的图形构成了《高等数学》比较完整的、与文字教材基本 配套的图形系统。

二重积分、三重积分涉及的立体区域画图是教与学中最大 的难点。本课件以此作为重点，给出了一系列曲面与曲面相 交的过程，交线的形状。力求清晰、逼真，突破这一难点，改 变讲到这儿时课堂上教师画不出、难讲清、用手比划的局面。^.

在三重积分部分，给出立体图形演示之前，先给出了“不画立 体图做三重积分”训练，以便学生再遇到三重积分某些问题时

，即使画不出立体图，也能识别曲顶柱体的上顶、下底和投 影区域，解决计算立体体积、表面积、重心等等问题。

本图库注重基础知识，并充分利用图形演示的优势改革传 统的教法。例如：各类极限定义的几何解释，导数、微分、

弧微分、偏导数、全微分、方向导数的几何意义等都是本图 库的内容。关于矢量积的分配律，证明很烦琐，略证或不证

，学生又常有疑问。在本课件中，利用图形的“一投一转”，形 象而又精练地完成了证明。再如：曲边梯形的面积，曲顶柱 体的体积，一般讲到这些，教师要写很多板书，而其中实质 性的思想—元素法却很难体现出来。这里用连续的图形演示 生动地表述了这个面积或体积的产生过程及其定义的实质，

加上教师画龙点睛的讲解，会收到很好的效果。 ^.

本图库与传统教材相比，适当地增大了信息量。例如：

常用曲线的生成、旋轮线的应用、直纹面、渐近面等。对学 生普遍感兴趣但一般教科书没有涉及的少数图形问题也做了 研究和尝试。比如，关于二重极限不存在的一个典型例题，

一般都必讲而且只讲计算，其曲面的形状历来是个谜。本课 件做出了该曲面的立体图形，给出了清晰的几何的分析。目 的是启发学生的创新思维，供读者选用。

希望同学们能利用形数结合的方法，从空间几何图形的 演示与它的分析表达式二者关系的反复联想琢磨中，认识变 量怎样刻画运动，进一步加深对高等数学重点和难点的理解；

同时得到对空间几何图形想象力的锻炼，逐步学会画图；提 高解题准确度和速度；并能理论联系实际，提高创新能力。

本图库主要用于辅助教师在课上讲课，没有配音。课件 中每个图都一步步用动画演示，公式和简要的计算也一步步

.

出现。每两步的时间间隔由讲课教师掌握，以便于教师的讲 解启发和学生的思考练习。

本课件研制了三年，在教学中使用了两年。期间得到天 津大学各级领导的大力支持，也得到了天津市教委的资助。

2000 年本课件荣获“天津市 CAI 课件评审”一等奖。本课件先 后在我校、天津市和清华大学演示了几次，受到教师们热烈 欢迎和鼓励。承蒙高等教育电子音像出版社的同志们大力协 助，使本课件得以正式出版。作者在此一并表示感谢！

由于研制者水平有限，错误和不足之处难免，希望读者 不吝指教 .

.

本课件是《高等数学》课程的图形演示库，主要为了辅 助教师在课上讲课（因此没有配音），解决高等数学教师黑 板画图难的问题，从而提高学生的空间想象能力。其中每个 图都一步步用动画演示，公式和计算也一步步出现。每两步 的时间间隔由讲课教师掌握，可以按鼠标左键，或键，或 者按空格键来控制，以便于教师的讲解启发和学生的思考。

本图库在 windows9x 下正常运行。图库分九个部分：前 言，总目录； §1 一元微分； §2 一元积分； §3 空间解 析； §4 多元微分； §5 二重积分； §6 三重积分； §7 重积分的应用； §8 付氏级数。每一部分各自设有主目录。

为便于检索，在每一部分的主目录中每一个图题后建立

说 明 书 说 明 书

了超级链接。比如： §1 中的 图

8

8.

为了检索快捷，每一页面的右下角都有返回本部分主目 录的按钮 ，读者若不想按顺序看下面的图，随时点击一 下这个按钮，就回到这一部分的主目录。再按照前述方法找 您需要的图即可。

若想选择组成某个图形的第几张幻灯片，请单击右键，

再指“定位”，在下拉菜单中指“按标题”，就可以找到您 需要的那张幻灯片，点击它即可。

.

§1

一元函数微分学

1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限 3 x 时的极限 4 x 趋于正无穷时的极限 5 数列的极限 6 无穷大 7 函数的连续性 8 数的几何意义 9 微分的几何意义 对函数进行全面讨论并画图：

§2

一元函数积分学

19 曲边梯形的面积

xe x

y  ^

1 1



  x y x

4 2

1 x

y  x  (1 x2)2

y x

 

2 2

1 arccos1

x y x



  y= x–2arctanx

x y x

cos

 cos2

11 12

13 14 15

16

总 目 录 总 目 录

17 弧微分 10

18 曲率

22 曲边扇形的面积 23 旋轮线 24 旋轮线也叫摆线

. 4

2 2 与 围成的面积

求曲线 y  x y  x 

形的面积 . 与其在点(0, )和点( ,0)处的 切线所围成图 求抛物线 y  x² 4x 3 3 3

20 21

面积. 共部分的

分别所围成的图形的公 cos

及 1

求曲线 r 3cosθ r   θ

公共部分的面积. 分别所围成的图形的

及 cos2 sin

求曲线 r  2 θ r²  θ

部分的面积。

分割为两部分，求这两 cos

1被心形线 1

圆ρ  ρ   θ

求由双纽线

( 2 )

(

2 2

2 2

2 2 2

2

2 a

y x y

x a y

x    )所围而且在圆周   内部的面积。

37 平行截面面积已知的立体体积

38 半径为 R 的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱 楔。求其体积。

39 求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体 的体积。

40 旋转体体积 (y =f (x) 绕 x 轴 ) 41 旋转体体积 (x =g(y) 绕 y 轴 )

42 旋转体体积（柱壳法） 43 旋转体的侧面积 33

34 35 36

25 旋轮线是最速降线 26 心形线 27 星形线 28 圆的渐伸线 29 笛卡儿叶形线 30 双纽线 31 阿基米德螺线 32 对数螺线

§3

空间解析几何

44 直角坐标系 45 两矢量和在轴上的投影 46 矢量积的分配律的证明 47 混合积的几何意义 48 一般柱面 F(x, y)=0 49 一般柱面 F(y, z)=0

50 椭圆柱面 51 双曲柱面 52 抛物柱面

53 旋转面 54 双叶旋转双曲面 55 单叶旋转双曲面 56 旋转锥面 57 旋转抛物面 58 环面

59 椭球面 60 椭圆抛物面 61 双曲抛物面

62 双曲面的渐近曲面 63 单叶双曲面是直纹面 64 双曲抛物面是直纹面 65 一般锥面 66 空间曲 线——圆柱螺线 67 空间曲线在坐标面上的投影 68 空间曲线 作为投影柱面的交线 (1) 69 空间曲线作为投影柱面的交线 (2)

70 作出平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6 所围成的立体图形

.

71 作出曲面x²  y²  a², x²  z²  a²,x  0, y  0,z  0所围立体图形 所围立体图形

和

作出曲面 z 1 x²  y² x²  y²  z 1

形 在第一卦限所围立体图

作出平面 2

3 a z

y a, x a, z

a, y

x      

73 72

的图形，该函数

81 







 





, x,y

,

, x,y

, y

x

y x

xy x,y

f

) 0 0 ( ) ( 0

) 0 0 ( ) ) (

( )

( ^{2 2}

2 2

1 (0,0) 

_y

fx f_yx(0,0)  1 . 二元函数

而

§4

§4 多元函数微分学

74 二重极限存在的例子 75 二重极限不存在的例子 76 偏导数的几何意义 77 全微分的几何意义 78 方向导数 79 七框图

80 多元函数的极值

.

85 二重积分的计算： D 是矩形区域 86 二重积分的计算： D 是曲线梯形区域 87 二重积分计算的两种积分顺序

§5 §5 二重积分

2 1) (

2) (

其中 : 的大小 ,

d ) 与 (

d )

比较 ^I₁ 





D D

84

多元函数积分学概况

82 83 曲顶柱体的体积

88 计算 d d 其中   1  3





I

D

_{2 2} ²

89 用两种顺序计算 xydxdy 其中 D : y x与 y x²所围区域

D





平面所围成的体积 与

求椭圆抛物面 xoy

b y a

z x ₂

2 2

2

1  90 

91 将二重积分化成二次积分 . D: x+y =1 , x–y =1 ， x= 0 所围 92 将二重积分化成二次积分

3x–2y+1 = 0 共同围成的区域

D: 由四条直线 : x =3 ， x = 5, 3x–2y+4 = 0,

93 将二重积分换序： ^  0¹d ^y ( , )d

y f x y x

y

I ^.

95 （练习）将二重积分化成二次积分 96 为什么引用极坐标计算二重积分

94 将二重积分换序： I ^

 

0 d ^{2 2} ( )d

97 利用极坐标计算二重积分

98 怎样用极坐标计算二重积分 (1) 极点位于区域 D 的外部

99 怎样用极坐标计算二重积分 (2) 极点位于区域 D 的内部

100

102 把 d ( , )d 变为极坐标形式

0² 0 ²

 

 ^R y ^{R y y} f x y x I

103 ^



D

y x x

I y d d

计算 arctan

0所围第一象限部分

1,

, 4

:x  y  x  y  y  x y 

D ^{2 2 2 2} ,

所围 ,

,

: x y x x y x x y, y x

D ²  ²  4 ²  ²  8   2

变为极坐标形式

d )d (

把 ^



D

y x x,y f I

所围区域 与 0

) (

其中 D : x  a ²  y²  a² y 

101 计算 ^



D

y x x,y f

I

106 将积分化为极坐标形式

 



 ^R  R R

x

R y

x f y x

2

2 2

1 d 0 ( )d

1 2





 ^{RR R} y x f y x

I 0 d 0 ( )d

105 将积分换序 ² d ( )d

0

2

2 ²

 

 ^{a ax}

x

ax f x,y y

x I

. d )d 计算 ^



D

y x x,y f

104 I D : x²  y²  4x ,x²  y²  8x, x  y, y  2x所围

§6 §6 三重积分

计算下列三重积分： I f (x,y,z)dxdydz





 =[a ,b ; c ,d ; e , g]

107 108  为曲顶柱体

109 : 平面 x=0, y=0 , z=0 ， x+2y+z =1 所围成的区域 .

110 : 平面 y=0 ,z=0 ， 3x+y=6, 3x+2y=12, 和 x+y+z=6 所围成的区域。

所围成的区域。

2 0, π

与平面 0, 抛物柱面

: y  x y  z  x  z  111 Ω

. z

y x xy

z 和平面 1, 0 所围成的区域

双曲抛物面 :

Ω    

112

区域. 4及三个坐标平面所围

1与平面 曲面

: z  x  y  x  y 

Ω ^{2 2}

113

所围区域。

0

和平面 1, 抛物柱面2

:

Ω ²

2 2

4    

 x y z z

x 114 y

117 柱面坐标 118 柱面坐标的坐标面 119 柱面坐标下的体积元素

z y x z

I d d d



 Ω : x²  y²  z²  1 , z  0 120

z y x

I 1 d d d



 Ω :锥面 x²  y²  z² , z 1 所围 121

计算 ^.

115 计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）

116 例，计算 _{Ω是由 1所围成的闭区域}

2 2 2

2 2

2   

c z b

y a

z x y x z

I d d d

Ω

 2



122 球面坐标 123 球面坐标的坐标面 124 球面坐标下的体积元素

成的区域。

0在第一卦限所围 0,

及平面 0, 球面

:

Ω x²  y²  z²  R² x  y  z  125

126 ^{Ω : x2  y2 ( z a)2  a2, x2  y2  z2} 127

在第一卦限的区域。

0所围的 1及

椭圆柱面 ,

0) 双曲抛物面 (

:

Ω     z 

b y a

c x xy

cz ₂

2 2

2

.

y x

a z

a az y

x 区域

所围 0)与圆锥面

旋转抛物面轉 (

: ^{2 2} 2 ^{2 2}

Ω      

128

129 Ω:球体 x²  y²  z²  2az 与x²  y²  z²  b² (a  b  0 )的公共部分^.

§7 §7 重积分的应用

域的体积 . 和三个坐标平面所围区

平面

求抛物柱面 z  4  x², 2x  y  4 131

130 求半径为 a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。

. a

z x

a y

x 和 所围立体的体积

求圆柱面 ²  ²  ^{2 2}  ²  ² 133

所围成的体积。

0) 与圆柱面 (

求球面x²  y² z² a² x²  y²  ax a 

132 ^.

z y x x,y,z f

I ( )d d d



计算下列三重积分： 

135

138

所围体积. 0)与圆锥面

旋转抛物面轉x²  y²  az (a  z  2a  x²  y²

公共部分的体积.

0)所围成的 与球面 (

求球面 x²  y²  z²  2az x²  y²  z²  b² a  b 

所围成的体积。

抛物柱面

求椭圆抛物面 3x²  y²  z , z 1 x² 137

134

所围成的体积。

0 0)与平面

( 圆柱面

求双曲抛物面  , x  y  ax a  z  a

z xy ^{2 2}

139 曲面面积

142 半球面 z  3a²  x²  y²与旋转抛物面 x²  y²  2az 所围成的全表面积。

143 求圆柱面 y²  z²  2z被圆锥面 y²  z²  x²所截的有限部分的面积. 140 锥面 z  x²  y²被圆柱面x²  y²  2x所割下部分的曲面面积 .

所割出部分的面积。

，求一柱面被另一柱面 直交，圆柱的底半径为

两相同正圆柱的轴互相 a

141

.

的体积.

所围立体 及平面 1

抛物柱面

求由旋转抛物面 x  y  z , y  x y  2

2 1 136

146 求由抛物面 z 1  x²  y²与平面 z 0 所围立体 的重心. 145 求均匀半球体 Ω : x²  y²  z²  a² , z 0 的重心.

§8 §8 付里叶级数

147 函数 y t t sin3t 的图形.

4 2 1

2sin

sin  1 



和的渐近值.

)及前四项 求级数的和函数 (

), (0

已知 x π S x

k

x k

π

k 2 1

) 1 2

sin(

4 ₁  









148

144 求位于圆 r=2sin 和圆 r=4sin 之间的均匀薄片的重心 .

谢 谢 使 谢用 谢 使 用

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.