常系数非齐次线性微分方程 第九节

常系数非齐次线性微分方程 第九节

型 )

( )

(

x e P x f

x x

P e

x

f



型 ]

sin )

~ (

x x

P



 一、

二、

) (x f y

q y

p

y      ( p , q 为常数 )

根据解的结构定理 , 其通解为

Y

y   y *

非齐次方程特解 齐次方程通解

求特解的方法

根据

f (x)

,

*

给出特解 y

①

— 待定系数法

) ( [ Q x

e

  ( 2   p ) Q  ( x )  ( 

 p   q ) Q ( x ) ] )

(x P

e



一、

^{f ( x )  e}

^P

^{( x ) 型}

 为实数 ,

) (x P

设特解为

y *  e

Q ( x ) ,

) (x Q

] ) ( )

( [

* e Q x Q x

y  

  

] ) ( )

( 2

) ( [

* e

Q x Q x Q x

y  

     

代入原方程 , 得

)

(x Q 

(1) 若  不是特征方程的根 ,

,

2

 p   q  0

即 

), (x

Q

y *  e

Q

( x ) .

) ( )

2

(  p Q  x

  ^{ (} 

^{ p}  ^{ q ) Q ( x )}  P

(x )

.

Q (x)

m

式

(2) 若 是特征方程的单根

,



 p   q  0 , ₂  _{ p  0 ,} )

(x

则 Q

y *  x Q

( x ) e

,



 p   q  0 , 2   p  0 , )

(x

则 Q 

故特解形式为

y *  x

Q

( x ) e

) 2 , 1 , 0 (

) (

*  x Q x e k 

y

此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .

)

(x

Q   ( 2   p ) Q  ( x )  ( 

 p   q ) Q ( x ) ^{ P}

^{(x )}

即

当 是特征方程的

k

时 , 可设

特解

例 1.

求方程 y   2 y   3 y  3 x  1

r

 r 2  3  0 ,

不是特征方程的根

设所求特解为.

y *  b

x  b

,

1

3 2

3

3





 

 b x b b x

比较系数 , 得

 

  b 3

 3

1 3

2





 b b 3

, 1 1

0

  b  b

于是所求特解为

.

3

*  x   1 y

 0



,

 0



例 2.

求方程 y   5 y   6 y  x e

解 : 本题 特征方程为

r

 r 5  6  0 ,

对应齐次方程的通解为

Y  C

e

 C

e

y *  x ( b

x  b

) e

比较系数 , 得

 

  b 2

 1 0

2 b

 b

 , 1

2 1

1

0

  b   b

因此特解为

y *  x ( 

x  1 ) e

. 3

,

2

1

 r 

r

代入方程得

 2 b

x  b

 2 b

 x

所求通解为

y  C

e

 C

e

 (

x

 x ) e

. ,

 2



二、

f ( x )  e

 P

( x ) cos  x  P ~

( x ) sin  x  型



 P

x e

x

f ( ) ( )

P

( x ) e

x m

x e

P y

q y

p

y      ( )



 

  p y q y y

分析思路 :

第一步 将 f (x) 转化为

第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点

x m

x e

P ( )

第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形

 

 e

x

f ( )

 

  

 i

x P

x

P

2 )

~ ( 2

)

(

e

 

  

 i

x P

x

P

2 )

~ ( 2

)

(

e



 P

x e

x

f ( ) ( )

P

( x ) e



 P

( x ) e

P

( x ) e

  _则

令 m  max n , l , ) (x P

2

x i x

i

e

e



)

~ x ( P

 

 

i e

e

2





第二步 求如下两方程的特解



  i

k

, i x

k

Q

x e x

y

 ( )

( Q

( x ) 为m 次多项式 )

( y

)   p ( y

)   q y

 P

( x ) e

等式两边取共轭 :

x m

x e

P y

q y

p

y

 

 ( )

 

1

这说明 y

x m

x e

P y

q y

p

y      ( )

x m

x e

P y

q y

p

y      ( )

设 则 ②

特解 有 :

第三步 求原方程的特解

利用第二步的结果 , 根据叠加原理 , 原方程有特 解 :

y *  y

 y

 

x k

e x

 Q

e

 Q

e

原方程

y   p y   q y  ^e

 ^P

^{( x ) cos  x  P ~}

^{( x ) sin  x} 



x k

e x

 Q

(cos  x  i sin  x )



) sin

(cos x i x

Q

  



 

x k

e x

 R

cos  x  R ~

sin  x

m m

R R , ~

其中

m

第四步 分析

y

的特点

 ^{R x R x} 

e x

y y

y

m x m

k ^

cos  ~ sin 

1 1











因







 y

y

*

 y y

所以 因此 R

, R ~

^m

多项式 实 .







 y

 y

y

本质上为实函数 ,







 y

y

小 结 :

 ^{P x x P x x} 

e

( ) cos   ~

( ) sin 



y q y

p

y    

) ,

( p q 为常数

 ^{R x R x} 

e x

y * 

cos   ~

sin 

则可设特解 :

其中

为特征方程的

k



  i

 ^{n l} 

m  max ,

上述结论也可推广到高阶方程的情形 .

例 4.

求方程 y   y  x cos 2 x

特征方程

, 2 ,

0 

 



故设特解为

x d

x c x

b x

a

y *  (  ) cos 2  (  ) sin 2

i i   2

 



代入方程得

x x

x a

d x

c x

c b

x

a 3 4 ) cos 2 ( 3 3 4 ) sin 2 cos 2 3

(       

0

2

 1  r

, )

( x x

P

 P ~

( x )  0 ,

比较系数 , 得 ⁹

4 3

1

, 



 a

d

. 2 sin 2

cos

*

x x

x

y 



于是求得一个特解

1 3 

 a

0 4

3  

 b c

0 3 

 c 3  4  0

 d a b  c  0

例 5.

求方程 y   9 y  18 cos 3 x  30 sin 3 x

r

 9  0 ,

对应齐次方程的通解为

Y  C

cos 3 x  C

sin 3 x

) 3 sin 3

cos (

* x a x b x

y  

比较系数 , 得

a  5 , b  3 ,

因此特解为

y *  x ( 5 cos 3 x  3 sin 3 x )

i r

  3

代入方程 :

6 b cos 3 x  6 a sin 3 x

所求通解为

x C

x C

y 

cos 3 

sin 3

i

 3

) 3 sin 3

3 cos 5

( x x

x 



x x 30 sin 3 3

cos

18 



因此设非齐次方程特解为

内容小结

m

x e

P y

q y

p

y ( )

.

1     

 为特征方程的 k ( ＝ 0, 1, 2) 重根 ,

m x

k

Q x e x

y *  ( )

则设特解为

] sin

)

~ ( cos

) ( [

.

2 y   p y   q y  e

P

x  x  P

x  x



  i

x k

e x

y * 

则设特解为

]

sin )

~ ( cos

) (

[ R

x  x  R

x  x

 l n 

m  max ,

思考与练习

时可设特解为

x

x x

f ( ) cos )

1 当 

e

x x

x

f ( ) cos 2

)

2 当  



x

y *  ( a x  b ) cos x



*

y ( a x  b ) cos 2 x  ( c x  d ) sin 2 x  k e

)

(x f y

y   

时可设特解为

 ^{P x x P x x} 

e x

f ( ) 

( ) cos   ~

( ) sin 

x k

e x

y * 

 n l 

m  max ,



x d

cx ) sin ( 

 1 . (

] sin

)

~ ( cos

) (

[ R

x  x  R

x  x