數學科試卷 單元: 2-3 多項方程式
班級: 座號:______ 姓名:__________
一、填充題:
1. 若 f x( )x202x12,則 f x( )除以[x (1 )]i 之餘式為________.
答案:1152 解析:r f(1 )i
20 12
(1 )i 2(1 )i
2 10 2 6
(1 2i i ) 2(1 2i i )
10 6
(1 2 1)i 2(1 2 1)i
10 6
( 2 )i 2( 2 )i
4 2 2 4 2
1024 ( )i i 128 i i
1024 128
1152
2. 設 a, b 為整數,若多項式 f x( )x3ax2bx7有三個相異的一次因式,則a b ________.
答案:6
解析:(x1),(x7)可能為 f x( )之一次有理因式 ( ) ( 1)( 1)( 7)
f x x x x (x2 1)(x 7)
3 7 2 7
x x x
∴a7, b 1 6
a b
3. 方程式x2 3 4i之解為________.
答案:2 i 或 2 i
解析:設x a bi ,a, b 為實數
2 ( )2
x a bi a22abi b i 2 2 (a2b2) 2 abi 3 4i
∴
2 2 3
2 4
a b
ab
,以 2
b a
代入得
2 2 2
( ) 3
a a
4 3 2 4 0
a a
2 2
(a 4)(a 1) 0
2 4,
a 1 (1不合)
∴a 2, 2 b 1,1 2
x i
或 2 i
4. 設 f x( )x4x3kx2 2kx3,k 為大於5的整數,且 f x( )有整係數一次因式,則k________.
答案:3
解析:(x1), (x3)可能為上式之一次有理因式
(1) 1 1 2 3 0 3
f k k k ( 1) 1 1 2 3 0 1
f k k k 3
(3) 81 27 9 6 3 0 17 f k k k
( 3) 81 27 9 6 3 0 7 f k k k
∵k 5,k 為整數
∴k 3
5. 設三次方程式x310x237x52 0 有兩複數根a2 ,i 3 bi ,其中 a, b 為非零實數,則此方程式之實根為________.
答案:4
解析:∵實係數方程式虛根成對
∴a3,b2
[x (3 2 )][i x (3 2 )]i x26x13
1 4 1 6 13 1 10 37 52
1 6 13 4 24 52 4 24 52 0
3 10 2 37 52 ( 2 6 13)( 4) 0
x x x x x x
∴x4
6. 設 x, y 為實數,若( 3 2 )( i x yi ) (2 y6 )xi 3 5i,則x______, y_______.
答案:1, 3
解析:( 3 2 )( i x yi ) (2 y6 )xi 3 5i 3x ( 3y 4 )x i 3 5i
1, 3
x y
∴
7. 方程式2x4x32x26x 5 0有一根 1 5 2
,則此方程式之所有的根為_____________.
答案:1 5 1 39 2 , 4
i
解析:設 1 5
x 2 ,則x2 x 1 0
4 3 2 2 2
2x x 2x 6x 5 (x x 1)(2x x 5)
∴方程式的根為1 5 1 39 2 , 4
i
8. 若 k 為實數,方程式 f x( )x3x24x k 0有純虛數的根,則k ________,另一實根為________.
答案:4, 1 解析:∵k 為實數
設 ,i ,i 為其根, , 為實數 ( ) (i i) 1 1
(1) 1 1 4 0
f k k 4
9. 方程式 2 26
1
x x
x x
之實數解為________.
答案:2, 1 解析:設x2 x t
則 2 26 1
x x
x x
1 6
t t
2 6 0
t t
(t 3)(t 2) 0
3, 2
t
∴x2 x 3 0或x2 x 2 0 1 11
2 x i
或
x2
x 1
0∴ 1 11 2
x i , 2, 1 又 x 為實數,∴x 2, 1
10. 若 a, b 為有理數,且2 3為 f x( )x4ax34x2bx 3 0之一根,則數對( , )a b ________, f x( ) 0 的其他三 個根為_______________.
答案:( 2, 10), 2 3, 1 2i
解析:由有理係數方程式無理根成對知,另一根為x 2 3
∴[x (2 3)][x (2 3)] 0 x2 4x 1 0
1 4 1 1 4 3 1 4 1 ( 4) 5
( 4) 4( 4) ( 4)
a b
a b
a a a
1 ( 4) 3
(4 11) ( 4) 3 3 12 3 (4 8) ( 8) 0
a
a a b
a a b
∴ 4 8 0 2
8 0 10
a a
a b b
( , ) (2, 10)a b
2 2
( ) ( 4 1)( 2 3) 0 f x x x x x
2 3,
x 2 4 12 2
2 3, 1 2
x i
11. 設 a, b 為實數,且 f x( )x4x3ax27x b 0有一根為1 2i ,則數對( , )a b ________,另外三根為________.
答案:(2, 5), 1 2 ,i 1 5 2
解析:由虛根成對我們知1 2i 亦為其根 [x (1 2 )][i x (1 2 )]i x22x5
1 1 1 1 2 5 1 1 7
1 2 5 1 ( 5) 7
1 2 5 ( 3) 2 1 2 5 0
a b
a
a b
3 1 2
5
a a
b
,∴( , ) (2, 5)a b
2 2
( ) ( 2 5)( 1) 0
f x x x x x x 1 2i, 1 5 2
12. 若 f x( )x4x32x240x55,則 f(1 3 ) i ________.
答案:3 6i 解析:令x 1 3i
1 3
x i
2 2 1 9 2 9
x x i
2 2 10 0
x x
1 3 6 1 2 10 1 1 2 40 55
1 2 10 3 12 40 3 6 30 6 10 55 6 12 60 2 5
2 2
( ) ( 2 10)( 3 6) 2 5 f x x x x x x
(1 3 ) 0 2(1 3 ) 5
f i i
3 6i
解析: 2 6 36 52
6 13 0 3 2
x x x 2 i
故 f x( ) ( x2 6x13) ( )Q x a x[ (3 2 )] 4 6i i (3 2 ) [(3 2 ) (3 2 )] 4 6 4 6 f i a i i i i
4ai 12i
3
a
∴r x( ) 3(x 3 2 ) 4 6i i 3x 13
14. 複數( 2 3 )i 4的實部為______,虛部為______
答案:( 2 3 )i 4 (4 4 3 i3)2 (1 4 3 )i 2 1 8 3i 48 47 8 3i
∴實部:47,虛部:8 3 15. 設 a,b 為實數,且2
4 3 a i
i
的共軛複數為 5 bi,則a b ______。
答案: 2 (2 )(4 3 ) (8 3) (4 6 )
4 3 25 25 5
a i a i i a a i
i bi
∴ 8 3 125 16
4 6 25 4
a a
a b b
∴a b 16 ( 4) 20 16. 設 y 為實數,若z 2 yi且1
z 之虛部為1
5,則z______.
答案:1 1 2 2
2 4
yi
z yi y
∴ 2 1 2
5 4 0 ( 1)( 4) 0
4 5
y y y y y
y
1
y 或4
∴z 2 i或2 4i
17. 設1 2i 是實係數方程式x2ax b 0之一根,則數對( , )a b __________。
答案:將1 2i 代入x2ax b 0得 (1 2 ) i 2 a(1 2 ) i b 0
1 4i 4 a 2ai b 0
( 4 2 )a i (a b 3) 0
∴ 4 2 0 2
3 0 5
a a
a b b
故( , ) ( 2,5)a b
18. 設 a 與a2為異號的兩實數,且均為方程式x2 x 3k0的解,則k_______.
答案:∵a 與a2為異號 a 0,a 2 0代入方程式得
2 3 0 2 3 0
a a k a a k ……
2 2
(a2) a 2 3k 0 (a2) (a 2) 3k0……
得(a2)2 (a 2) a2 a 0 6a 6 0 a 1代入
1 1 3 0 2
k k 3
19. 化簡 13 25 3 4 4 9
__________.
答案:7 i
解析: 13 25
(3 2 ) (4 3 ) 7
3 2 4 3 i i i
i i
20. 化簡 18 18 3
___________
2 3 4 1
.
答案: 3 6
( 8 2)
5 5 i
解析: 18 3 2 3 ( 3)(1 2 ) 9 2 2
3 2 1 5
2
i i
i i
i i
3 6 3 6
8 2 ( 8 2)
5 5 5 5
i i i
21. 設 x 為非零實數,若i x i(2 )2為實數,則x________.
答案: 1
2
解析:i x i(2 )2 i x(4 24xi 1) (4x2 1)i4x為實數,∴ 2 1 4 1 0
x x 2 22. 設 z 的虛部為 2,若1
z 之實部為 3
13,則 z 為_________或__________.
答案:3 2 ,i 4 32i
解析:設z a 2i,1 2 2 4 a i
z a
2
3 4 13 a
a
∴ 4
3 3
或a , 4
3 2 2 z i 3 i
∴或
23. 設 z 為複數,若z (1 )i 26 (1 )i 20,則z_________.
答案:1 8i
解析:(1 )i 2 2 , (1 )i i 2 2 , (2 )i z i 13 ( 2 )i 10
3 3
1 z 2
i , 1
z8i
∴
24. 設z2 8i,則z_________或__________.
答案:2 2 ,i 2 2i
解析:設z a bi 且z2 8i a2b2 0, 2ab8 2, 2 2, 2
a b a b
∴或
25. 設 a, b 為實數,且a b 10, ab21,則 a b __________.
答案:( 7 3)i
解析:a b 10, ab21 a 0, b0
( a b)2 a b 2 a b a b 2 ab 10 2 21 ( 7 3)
a b i
26. 設 a 為實數,若方程式x33x2 ax 9 0有純虛根,則a________, 又此虛根為何_________.
答案:3, 3i
解析:x33x2ax 9 0有純虛根i ()
3 2
( )i 3( )i a i( ) 9 0
∴ ( 32 9) i( 3a) 0 32 9 0 3
∴
3 a 0
,∴ a2 3 此虛根為 3i
27. 設 a 為實數,若2x2 (a i x ) (i a) 0 有一實根 ,另一虛根為 ,試求a________, ________, _____
____.
答案:1, 1, 1 2
i
解析:為實數,22(a i ) i a 0i( 1) (22aa) 0
1 0 1
,∴2 a a 0 a 1 2
a i, 1 1
2 1 2
i i
∴
28. 若(2i)為x2 (5 2 )i x a 0 之一根,則 a= _______,又另一根為________.
答案: 11 13 , 7 3i i
另一根為, 5 2i,∴ 7 3i
29. 方程式 f x( ) 2 x47x3x217x 6 0的有理根為__________.
答案: 3 2,2
解析:由牛頓定理知其若有有理根必為 1 3 1, 2, 3, 6, ,
2 2
2 + 7 1 1762
4 6 + 14 +6 2 + 3 7 3 +0
+ 3 + 9 + 33 2 2 + 6 + 2 + 0
∴有理根為2與3 2
30. 多項式 f x( ) 3 x4 x33x219x6的整係數一次因式有_________________.
答案:x2, 3x1
解析:由牛頓定理知若有整係數一次因式必為下列因式 (x1),(x2), (x3),(x6),(3x1),(3x2)
經檢驗得 1
(2) 0, ( ) 0
f f 3 ,∴其一次因式有(x2) (3與 x1)
31. 設 f x( ) 2 ax2 (2 5 )a ,a 為非零實數,若方程式 f x( ) 0 有一根在2與1之間,則 a 的範圍為_________或___
______.
答案: 2 2
3 3
a 或a
解析:∵ f( 2) ( 1) 0 f ,∴(3a2)( 2 3 ) 0 a
∴ 2 2
3 3
a 或a
32. 設 f x( )x100x501,則:(1) f i( )______. (2) 1
( )
2
f i ________.
答案:(1)f i( )i100i50 1 1 1 1 1 (2) 1 1 100 1 50
( ) ( ) ( ) 1
2 2 2
i i i
f
( )i 50( )i 251 1 i 1 i 33. 設 f x( )x5x410x310x2 x 5,試求 f(1 i) _________.
答案:18 3i
解析:x 1 i (x1)2 i2 x22x 2 0
2 3 2
( ) ( 2 2)( 3 6 8) 3 21 f x x x x x x x
∴ f(1 ) 0 ( 3)(1 ) 21 i i 18 3i
69. 若 為, , x33x24x 1 0之三個根,則 (1) 1 1 1
________. (2)( )( )( )________.
(3)222 ________. (4)333 ________.
答案:(1)4 (2)11 (3)1 (4)6
解析:
3 4 1
(1) 1 1 1 4 1 4
(2)( )( )( ) ( 3 )( 3 )( 3 )
27 ( ) 9 ( ) 3
27 ( 3) 9 4 3 ( 1)
11
(3)222 ( )22( ) ( 3)2 2 4 9 81 (4)3333 ( )( 222 )
3 3 3 3 ( 3)(1 4)
3 9 6
70. 設 f x( )x34, g x( )x33x24x2,若 為, , f x( ) 0 之三根,則g()g()g()________.
答案:18
解析:∵3 4,3 4,3 4且 0, 0, 4 ( ) ( ) ( )
g g g
3 3 3 2 2 2
( ) 3( ) 4( ) 6
12 3[( )2 2( )] 4 0 6
18 3(0 0)
18
75. 設 x, y, z 滿足 2 2 2 2
14 6
x y z
x y z
xyz
,以 x, y, z 為三次方程式t3at2 bt c 0的三根,則數對( , , )a b c ____________,
又若x y z,則數對( , , )x y z __________.
答案:(2, 5, 6), ( 3, 1, 2)
解析:(x y z )2 x2y2z22(xy yz zx ),∴ xy yz zx 5
由根與係數知
x y z a
xy yz zx b xyz c
2, 5, 6 a b c
∴ ,∴ t32t2 5t 6 0
由牛頓定理檢查可得(t1)(t3)(t2) 0 ,∴三根為1, 3, 2 x y z
∵