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數學科試卷 單元:2-3 多項方程式 班級:

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Academic year: 2023

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(1)

數學科試卷 單元: 2-3 多項方程式

班級: 座號:______ 姓名:__________

一、填充題:

1. 若 f x( )x202x12,則 f x( )除以[x (1 )]i 之餘式為________.

答案:1152 解析:rf(1 )i

20 12

(1 )i 2(1 )i

   

2 10 2 6

(1 2i i ) 2(1 2i i )

     

10 6

(1 2 1)i 2(1 2 1)i

     

10 6

( 2 )i 2( 2 )i

   

4 2 2 4 2

1024 ( )i i 128 i i

     

1024 128

  

 1152

2. 設 a, b 為整數,若多項式 f x( )x3ax2bx7有三個相異的一次因式,則a b ________.

答案:6

解析:(x1),(x7)可能為 f x( )之一次有理因式 ( ) ( 1)( 1)( 7)

f xxxx (x2 1)(x 7)

  

3 7 2 7

x x x

   

a7, b 1 6

  a b

3. 方程式x2  3 4i之解為________.

答案:2 i 或 2 i

解析:設x a bi  ,a, b 為實數

2 ( )2

xa bi a22abi b i2 2 (a2b2) 2 abi  3 4i

2 2 3

2 4

a b

ab

  

  

 ,以 2

b a

  代入得

2 2 2

( ) 3

a a

  

4 3 2 4 0

a a

   

2 2

(a 4)(a 1) 0

   

2 4,

a  1 (1不合)

a 2, 2  b 1,1 2

x i

   或 2 i

4. 設 f x( )x4x3kx2 2kx3,k 為大於5的整數,且 f x( )有整係數一次因式,則k________.

答案:3

解析:(x1), (x3)可能為上式之一次有理因式

(1) 1 1 2 3 0 3

f    k k    k ( 1) 1 1 2 3 0 1

f     k k   k 3

(3) 81 27 9 6 3 0 17 f    kk    k

( 3) 81 27 9 6 3 0 7 f     kk    k

k  5,k 為整數

k  3

5. 設三次方程式x310x237x52 0 有兩複數根a2 ,i 3 bi,其中 a, b 為非零實數,則此方程式之實根為________.

答案:4

解析:∵實係數方程式虛根成對

a3,b2

[x (3 2 )][i x (3 2 )]ix26x13

(2)

1 4 1 6 13 1 10 37 52

1 6 13 4 24 52 4 24 52 0

    

 

  

  

3 10 2 37 52 ( 2 6 13)( 4) 0

xxx  xxx 

x4

6. 設 x, y 為實數,若( 3 2 )(  i x yi ) (2 y6 )xi   3 5i,則x______, y_______.

答案:1, 3

解析:( 3 2 )(  i x yi ) (2 y6 )xi   3 5i 3x ( 3y 4 )x i 3 5i

        1, 3

xy 

7. 方程式2x4x32x26x 5 0有一根 1 5 2

 ,則此方程式之所有的根為_____________.

答案:1 5 1 39 2 , 4

   i

解析:設 1 5

x 2 ,則x2  x 1 0

4 3 2 2 2

2xx 2x 6x 5 (x  x 1)(2x  x 5)

∴方程式的根為1 5 1 39 2 , 4

   i

8. 若 k 為實數,方程式 f x( )x3x24x k 0有純虛數的根,則k ________,另一實根為________.

答案:4, 1 解析:∵k 為實數

設 ,i  ,i 為其根, , 為實數 ( ) (i  i)    1  1

(1) 1 1 4 0

f     k   k 4

9. 方程式 2 26

1

x x

x x

  

 之實數解為________.

答案:2, 1 解析:設x2 x t

2 26 1

x x

x x

  

 1 6

t t

  

2 6 0

t t

    (t 3)(t 2) 0

   

3, 2

  t

x2  x 3 0或x2  x 2 0 1 11

2 xi

  或

x2

 

x 1

0

∴ 1 11 2

x  i , 2, 1 又 x 為實數,∴x 2, 1

10. 若 a, b 為有理數,且2 3f x( )x4ax34x2bx 3 0之一根,則數對( , )a b ________, f x( ) 0 的其他三 個根為_______________.

答案:( 2, 10),  2 3, 1 2i

解析:由有理係數方程式無理根成對知,另一根為x 2 3

(3)

∴[x (2 3)][x (2 3)] 0 x2 4x 1 0

1 4 1 1 4 3 1 4 1 ( 4) 5

( 4) 4( 4) ( 4)

a b

a b

a a a

     

 

  

    

1 ( 4) 3

(4 11) ( 4) 3 3 12 3 (4 8) ( 8) 0

a

a a b

a a b

  

     

 

     

∴ 4 8 0 2

8 0 10

a a

a b b

   

 

      

 

( , ) (2, 10)a b  

2 2

( ) ( 4 1)( 2 3) 0 f xxxxx 

2 3,

  x 2 4 12 2

  

2 3, 1 2

x i

    

11. 設 a, b 為實數,且 f x( )x4x3ax27x b 0有一根為1 2i ,則數對( , )a b ________,另外三根為________.

答案:(2, 5), 1 2 ,i 1 5 2

 

解析:由虛根成對我們知1 2i 亦為其根 [x (1 2 )][i x (1 2 )]ix22x5

1 1 1 1 2 5 1 1 7

1 2 5 1 ( 5) 7

1 2 5 ( 3) 2 1 2 5 0

a b

a

a b

 

     

 

  

 

  

  

3 1 2

5

a a

b

    

  

 ,∴( , ) (2, 5)a b  

2 2

( ) ( 2 5)( 1) 0

f xxxx   x   x 1 2i, 1 5 2

 

12. 若 f x( )x4x32x240x55,則 f(1 3 ) i ________.

答案:3 6i 解析:令x 1 3i

1 3

x i

  

2 2 1 9 2 9

x x i

     

2 2 10 0

x x

   

1 3 6 1 2 10 1 1 2 40 55

1 2 10 3 12 40 3 6 30 6 10 55 6 12 60 2 5

      

 

 

 

  

  

 

2 2

( ) ( 2 10)( 3 6) 2 5 f xxxxx  x

(1 3 ) 0 2(1 3 ) 5

f i i

       3 6i

(4)

解析: 2 6 36 52

6 13 0 3 2

xx   x  2    i

f x( ) ( x2 6x13) ( )Q xa x[  (3 2 )] 4 6i   i (3 2 ) [(3 2 ) (3 2 )] 4 6 4 6 fiai   i    i i

4ai 12i

   3

  a

r x( ) 3(x 3 2 ) 4 6i   i   3x 13

14. 複數( 2  3 )i 4的實部為______,虛部為______

答案:( 2  3 )i 4 (4 4 3 i3)2  (1 4 3 )i 2 1 8 3i 48 47 8 3i

     

∴實部:47,虛部:8 3 15. 設 a,b 為實數,且2

4 3 a i

i

 的共軛複數為 5 bi,則a b ______。

答案: 2 (2 )(4 3 ) (8 3) (4 6 )

4 3 25 25 5

a i a i i a a i

i bi

          

∴ 8 3 125 16

4 6 25 4

a a

a b b

    

 

      

 

a b      16 ( 4) 20 16. 設 y 為實數,若z 2 yi且1

z 之虛部為1

5,則z______.

答案:1 1 2 2

2 4

yi

z yi y

  

 

2 1 2

5 4 0 ( 1)( 4) 0

4 5

y y y y y

y

         

1

  y 或4

z 2 i2 4i

17. 設1 2i 是實係數方程式x2ax b 0之一根,則數對( , )a b __________。

答案:將1 2i 代入x2ax b 0得 (1 2 ) i 2a(1 2 ) i  b 0

1 4i 4 a 2ai b 0

       ( 4 2 )a i (a b 3) 0

      

∴ 4 2 0 2

3 0 5

a a

a b b

    

 

     

 

故( , ) ( 2,5)a b  

18. 設 a 與a2為異號的兩實數,且均為方程式x2 x 3k0的解,則k_______.

答案:∵a 與a2為異號 a 0,a 2 0代入方程式得

2 3 0 2 3 0

a  a k a  a k  ……

2 2

(a2)   a 2 3k  0 (a2)   (a 2) 3k0……

 得(a2)2 (a 2) a2  a 0 6a    6 0 a 1代入

1 1 3 0 2

k k 3

     

19. 化簡 13 25 3 4 4 9 

    __________.

答案:7 i

解析: 13 25

(3 2 ) (4 3 ) 7

3 2 4 3 i i i

ii      

 

20. 化簡 18 18 3

___________

2 3 4 1

 

  

   .

答案: 3 6

( 8 2)

5 5 i

  

(5)

解析: 18 3 2 3 ( 3)(1 2 ) 9 2 2

3 2 1 5

2

i i

i i

i i

  

     

3 6 3 6

8 2 ( 8 2)

5 5 5 5

i i i

        21. 設 x 為非零實數,若i x i(2  )2為實數,則x________.

答案: 1

2

解析:i x i(2  )2i x(4 24xi 1) (4x2 1)i4x為實數,∴ 2 1 4 1 0

x     x 2 22. 設 z 的虛部為 2,若1

z 之實部為 3

13,則 z 為_________或__________.

答案:3 2 ,i 4 32i

解析:設z a 2i,1 2 2 4 a i

z a

 

2

3 4 13 a

a

∴  4

3 3

  或a , 4

3 2 2 z  i 3 i

∴或

23. 設 z 為複數,若z (1 )i 26  (1 )i 20,則z_________.

答案:1 8i

解析:(1 )i 2 2 , (1 )ii 2  2 , (2 )i zi 13 ( 2 )i 10

3 3

1 z 2

i , 1

z8i

24. 設z2 8i,則z_________或__________.

答案:2 2 ,i  2 2i

解析:設z a bi  且z2  8i a2b2 0, 2ab8 2, 2 2, 2

aba  b 

∴或

25. 設 a, b 為實數,且a b  10, ab21,則 a b __________.

答案:( 7 3)i

解析:a b  10, ab21 a 0, b0

( ab)2   a b 2 a b   a b 2 ab   10 2 21 ( 7 3)

a b i

    

26. 設 a 為實數,若方程式x33x2 ax 9 0有純虛根,則a________, 又此虛根為何_________.

答案:3,  3i

解析:x33x2ax 9 0有純虛根i ()

3 2

( )i 3( )ia i( ) 9 0  

∴  ( 32  9) i( 3a) 0 32 9 0  3

     

3 a 0

 

   ,∴ a23 此虛根為 3i

27. 設 a 為實數,若2x2 (a i x )  (i a) 0 有一實根 ,另一虛根為  ,試求a________,  ________,  _____

____.

答案:1, 1, 1 2

i

解析:為實數,22(a i )  i a 0i( 1) (22aa) 0

1 0 1

     ,∴2  a a 0 a 1 2

     a i, 1 1

2 1 2

i i

     

28. 若(2i)為x2 (5 2 )i x a 0 之一根,則 a= _______,又另一根為________.

答案: 11 13 , 7 3i   i

(6)

另一根為,    5 2i,∴    7 3i

29. 方程式 f x( ) 2 x47x3x217x 6 0的有理根為__________.

答案: 3 2,2

解析:由牛頓定理知其若有有理根必為 1 3 1, 2, 3, 6, ,

2 2

      2 + 7 1 1762

 4 6 + 14 +6 2 + 3 7 3 +0

+ 3 + 9 + 33 2 2 + 6 + 2 + 0

∴有理根為2與3 2

30. 多項式 f x( ) 3 x4x33x219x6的整係數一次因式有_________________.

答案:x2, 3x1

解析:由牛頓定理知若有整係數一次因式必為下列因式 (x1),(x2), (x3),(x6),(3x1),(3x2)

經檢驗得 1

(2) 0, ( ) 0

ff 3  ,∴其一次因式有(x2) (3與 x1)

31. 設 f x( ) 2 ax2 (2 5 )a ,a 為非零實數,若方程式 f x( ) 0 有一根在2與1之間,則 a 的範圍為_________或___

______.

答案: 2 2

3 3

a 或a 

解析:∵ f( 2) ( 1) 0 f   ,∴(3a2)( 2 3 ) 0  a

∴ 2 2

3 3

a 或a 

32. 設 f x( )x100x501,則:(1) f i( )______. (2) 1

( )

2

f  i  ________.

答案:(1)f i( )i100i50    1 1 1 1 1 (2) 1 1 100 1 50

( ) ( ) ( ) 1

2 2 2

i i i

f   

      ( )i 50( )i 251    1 i 1 i 33. 設 f x( )x5x410x310x2 x 5,試求 f(1 i) _________.

答案:18 3i

解析:x  1 i (x1)2  i2 x22x 2 0

2 3 2

( ) ( 2 2)( 3 6 8) 3 21 f xxxxxx  x

f(1 ) 0 ( 3)(1 ) 21   i  i 18 3i

 

(7)

69. 若   為, , x33x24x 1 0之三個根,則 (1) 1 1 1

     ________. (2)(      )(  )(  )________.

(3)222 ________. (4)333 ________.

答案:(1)4 (2)11 (3)1 (4)6

解析:

3 4 1

  

  



   

   

  

(1) 1 1 1 4 1 4

  

   

 

     

(2)(      )()() ( 3  )( 3 )( 3 )

27 (  ) 9 (  ) 3 

           27 ( 3) 9 4 3 ( 1)

        

 11

(3)222 (    )22(    )  ( 3)2 2 4 9 81 (4)3333 (     )( 222    )

3 3 3 3 ( 3)(1 4)

  

           3 9 6

70. 設 f x( )x34, g x( )x33x24x2,若   為, , f x( ) 0 之三根,則g()g()g()________.

答案:18

解析:∵3 4,3 4,3 4且    0,    0, 4 ( ) ( ) ( )

g  g  g

3 3 3 2 2 2

(   ) 3(   ) 4(  ) 6

         

12 3[(  )2 2(  )] 4 0 6

         

18 3(0 0)

  

18

75. 設 x, y, z 滿足 2 2 2 2

14 6

x y z

x y z

xyz

   

   

 

,以 x, y, z 為三次方程式t3at2  bt c 0的三根,則數對( , , )a b c  ____________,

又若x y z,則數對( , , )x y z  __________.

答案:(2, 5, 6), ( 3, 1, 2)   

解析:(x y z  )2x2y2z22(xy yz zx  ),∴ xy yz zx   5

由根與係數知

x y z a

xy yz zx b xyz c

   

   

  

 2, 5, 6 ab  c 

∴ , t32t2  5t 6 0

由牛頓定理檢查可得(t1)(t3)(t2) 0 ,∴三根為1, 3, 2 x y z 

,∴

( , , ) ( 1, 3, 2)x y z   

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