第一節 學生教師數學教學知識的內涵

第五章 省思和討論

第一節 學生教師數學教學知識的內涵

一、學生教師知識的侷限性

許多研究顯示學生教師(或職前教師)的知識大多是不正確也不完整。例 如，Stevens & Wenner (1996)曾經設計 30 個數學問題以評定 67 名小學學生教 師對數學的概念性理解，內容包括數與運算、測量、幾何、數據分析、機率和 統計以及代數和函數，結果指出這些教師在數學方面的知識基礎相當的薄弱。

Cooney, Wilson, Albright & Chauvot (1998)研究 15 位職前中學教師對函數的理 解，當研究者問「什麼是函數？」職前教師的回答有「函數就是可以插入各種 項目的公式」以及「函數是一個方程式或圖形，對於每一個 x 沒有兩個 y」 ；當 問到學習函數的重要性時，大部分職前教師的理由是「因為以後要學」，對於 實際應用則是相當模糊。儘管職前中學教師在數學的訓練上是相當廣泛的，但 他們對學校數學(school mathematics)的經驗往往侷限於他們在中學學習數學的 不成熟經驗。Lee (1992；引自范良火，2003)調查 42 位中學學生教師的極限概 念，結果顯示他們的理解關注於過程方面，他們的極限概念定義與表徵之間並 不相稱，他們的困難和迷思與其他以學生為對象的研究發現很類似。

本研究曾以「無限概念問卷」調查 38 位學生教師的概念理解情形，結果

不同題目的通過率有很大差異。例如，有 65.8%的學生教師知道「

與 2.7

是相同的」，但是所寫的理由大部分都是程序性；有 39.5%的學生能瞭解「在

一線段上一直取中點，沒有辦法取到線上所有的點」；而完整回答出「直線與

線段是 1 對 1 對應」的只有 10.5%。若依照此問卷的通過標準(請見第三章第一

節)，34.2%只通過一個無限子概念，36.8%沒有通過任一個無限子概念，兩者

合計高達 7 成。若從無限子概念的難易度來分析，極限概念的通過率最高，其

次是無限可分割性，最低的是無限基數。這可能是由於高中課程有許多關於極 限運算的知識，對他們而言應該是比較熟悉的部分。研究者曾詢問八位個案「什 麼是無窮？」 ，答案不外乎是「很大很大」或「你說不出的大」 ，其中沒有一位 個案具備無限基數的概念。學生教師對數學概念的理解似乎僅停留在中學數學 的程度，這和 Cooney et al. (1998)的研究觀察很一致。

本研究的個案學生教師在教學活動中的數學知識同樣是不充分的。B3 曾 在黑板上寫下「 很多

很多

1 × 」來表示紙片的面積和為 1；B4 表示剪紙與計算機 活動背後的數學結構是「無窮等比級數」 ，可見她分不清楚級數與數列的概念；

B2 認為「小於等於 1 的等比數列會收斂」 ，她似乎不知道「公比等於-1 的數列 是發散的」。這些具體的資料都顯示，學生教師的數學理解有許多錯誤與不精 確的地方。若是從極限概念的發展史來看，數學家從直觀的接受，接者 Cauchy 以文字語言來定義，直到 Weierstrass 提出「ε-δ」的術語，極限概念的數學 嚴謹性才被確立。在這之前，微積分就常常受到許多人的質疑與批判，就是因 為缺乏穩固的理論基礎而導致數學的結果有模糊的空間。同樣的，如果教師本 身對數學概念的精確性理解不足，學生就可能產生模糊的概念或迷思概念。例 如 B5 面對學生詢問是不是

？ (B5，教學，940315)時，由於不瞭解無限概念的精確意義，他只能以「

」的含糊講法來向學生說明無限的概念。Ma (1999)將教師的數學理解分成深 度、廣度和完全性三個面向，個人則認為，一位具有 PUFM 的教師不僅僅能連 結到強而有力的概念、連結到相似的概念以及將概念編織成為一個整體，他(她) 應該對數學概念有正確而精準的認知，就像一棟建築物的地基，除了考慮深 度、廣度及結構的完整性外，它的紮實度也是同樣的重要，因此，「精確性」

應該可以作為這種深刻理解第四個面向。

雖然學生教師的知識普遍地不足，但是，若按照本研究中的數學層次知識

與教學層次知識來觀察，個案在這兩層次的知識內涵上就有相當的差異。有的

學生教師只展現出自己的數學推理，而缺乏轉換及運用各種教學表徵的知識；

有的學生教師雖然採用有助於學生理解的教師表徵，可是卻沒有深刻地理解其 隱含的數學結構，或是進一步擴展數學的內涵；有的學生教師沒有掌握好所要 傳達的數學概念，而使用的表徵方式也和數學概念有所落差。據此，個人將學 生教師的概念迷思分成「數學、教學以及數學與教學層次的迷思」三種。值得 注意的是，若從專業發展層次與循環理論的觀點(請參見第二章第一節)來思 考，高層次的發展是奠基在較低層次的知識基礎上，透過反思的過程而精練出 有用的概念。若按照 Wilson et al. (1987)的教學推理與行動模式來看，教師必須 先有對數學的理解，才能轉換成各種適合學生的教學表徵。Eisenhart, Borko, Unerhill, Brown, Jones & Agard (1993；引自范良火，2003)的研究發現，個案教 師對於課程中常見的內容無法給出完整的概念解釋，這種知識基礎上的侷限性 影響了教師進行概念教學的能力。而在本研究中，B5 因為沒有仔細考量直線 和線段在概念上的差異，以致於所選擇的表徵方式無法顯示這兩者的區別。所 以，數學層次的概念迷失可能導致教學層次的概念迷失，這代表著：數學教學 層次的知識應該不是彼此獨立而是相互關連的。不但如此，一個層次的不足經 常會侷限了另一層次的表現。

二、數學推理與教學推理

國內外的學校數學課程標準都強調學生的數學推理能力。例如，NCTM

(1989)的「學校數學的原則與標準」認為，數學學習應該加強解題、溝通、推

理與證明和連結四種能力，其中推理與證明能力包括：能察覺並應用歸納及演

繹推理；.能使用模式、已知事實、性質及關係解釋自己的思考；能解釋答案及

解答過程；能使用樣式和關係分析數學情境；以及能創造並評估數學臆測與數

學推論。美國國家研究院(National Research Council, 2001)指出，學生的數學能

力就如同五股相互交織的繩索，它包括概念的理解、流暢的運算能力、選擇策

略的能力、適當的推理能力與具生產力的數學性向。其中的推理能力指的就是

邏輯思維、反思、解釋及辯證的能力。Niss (2003)認為精熟數學就是有數學能

力，其中數學推理包含：能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效；

知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同；能從論證的條理中找 到基本的想法；以及能將直觀論證轉化成有效的證明。

既然學生應該具備有數學推理的能力，那麼教師是否也應該具備有同樣的 能力？也就是數學與數學教學推理的能力。Ball & Bass (2000)認為，教師不是 單純的傳授已知的數學概念而已，教師必須「解構」本身的知識成為較不精鍊 與非最終的形式，「分解」數學的工作以考慮制訂和參與數學工作的各種可能 軌跡，以及「鬆綁」本身高度壓縮的理解，讓自己能夠聽清楚學生的觀點。Ball

& Bass 以「寫出一連串的 8，把加號放在任何位置，使總和是 1000」這個數學 問題為例，說明一位老師在準備使用這個問題時，必需要考慮的有：這題有一 個解還是很多解？要如何求解？有哪些重要的概念或過程會涉及求解這個問 題？改掉 1000 或是 8 會有什麼結果？如果這個問題對你的學生太難了，你會 怎麼樣修改題目讓它更容易？相反的，如果對學生而言太容易了，你又會如何 讓題目更有挑戰性？這種分析與準備一個數學問題的教學面向與過程，顯示了 教學工作中數學推理是多麼的重要(ibid, p. 91)。而 Shulman (1987)的教學推理 指的是，教師將學科知識轉換成「對於不同能力與背景的學生有意義、有效且 合適的理解形式或表徵」的過程。而且，教學推理包含確認與選擇表徵關鍵概 念的策略以及調整這些策略以適應個別差異，具有教學專業領域的獨特性 (Brown & Borko, 1992)。綜合以上的觀點，數學推理與教學推理的能力對於數 學教師而言應該是必需而且重要的，如果再考慮到本研究所提出的架構，也正 好對應到教師在數學層次與教學層次知識中複雜而細膩的思維過程，這種從數 學推理到教學推理所拉出來的光譜，應該同時具有連續、互動及遞迴的特性。

第二節 學生教師數學教學知識的發展

本研究的場域是為期一年的數學教材教法課程，而這種師資培育課程是否

會引發學生教師知識的轉變？Lappan & Theule-Lubienski (1994；引自范良火，

2003)經過一年的介入，幫助 24 名學生教師建立一種不同於他們原有對數學的 學與教的新觀念，研究者有效地改變了學生教師對他們身為學習者的領悟，但 是，有近半數的學生教師對什麼數學對學生來說是重要的，以及如何教授學生 數學仍持原來比較傳統的觀念。Foss & Kleinsasser (1996)調查 22 名修習 16 週 小學數學教學課程學生教師的學習成果，定性和定量的資料均顯示，這些學生 教師的數學內容知識和教學內容知識並沒有發生什麼變化。林福來(1998)的研 究指出，學生教師相信個人學習經驗中的傳統教學典範，例如清楚地講述、解 題演示、適當的作業和小考等，雖然肯定某些培育活動如活動式教學、討論與 互動的價值，但是也質疑其在現實環境中的可行性，認為在進度與考試成績的 壓力下，這兩種教學典範是相互衝突的。陳松靖(2002)所研究的三位個案教師 中，除了其中一位因遭遇學習數學的受挫經驗而使教學概念發生轉變外，其他 兩位的教學概念都沒有太大的變化。

有一句古老的格言，「教師是根據他們所學的而教，而非他們所教而教」

(Cooney & Wiegel, 2003)。許多的研究都指出，師資培育課程對學生教師的知 識面影響似乎相當有限，因此，依據 TE 的培育活動設計，以下分別就案例教 學、反思與察覺以及學習 COP 三個方面，說明學生教師的在師資培育課程中 知識面的學習。

一、案例教學

在師資培育的課程中，TE 曾經讓學生教師欣賞與評析四位資深中學數學 教師數學歸納法的教學錄影帶，這種教學方式應該很接近「案例教學法」(case method)。案例教學法就是利用案例做為教學工具的一種教學法，教學者利用 案例做為教學的材料，結合教學的主題，經由討論、問答、角色扮演、辯論等 師生互動方式來探討案例事件的內容，發覺其中潛在的問題(張民杰，2001)。

張民杰認為，教學者在一開始扮演的是引導者的角色，引導學習者主動去探討

案例中爭議的問題；在討論過程中則必須協助學習者回答問題、傾聽、回應、

鼓勵學生發言、引導解決問題、預定假狀況，最後還必須做歸納及總結。在本 研究中，TE 會事先在影帶中找出足以引發討論的問題，然後在教學的關鍵點 或教學的一個段落結束時將影帶停格，提出問題給各小組討論後，再輪流發表 意見，例如，TE 在乙老師因為學生的回答而露出燦爛笑容的那個畫面停格，

讓學生教師思考乙老師微笑背後的意涵。林碧珍(2001)的研究指出，教學案例 可以幫助教師去注意學生的學習、有助於提昇教師的自覺、能提昇教師的數學 教學知識、讓教師更有能力處理學生學習數學的問題、提昇教師對教學進行批 判及對課程內容進行批判的能力。Robert (1991；引自 Lin, 2005)也認為，透過 觀察、分析與確認教學案例中的議題，可以幫助使用者開啟他們的心智、成為 批判的思考者以及聚焦在其他選擇的可能性。

在統整八位個案對四位資深數學教師的評析之後，個人發現有三點特別與 案例教學有關。首先，透過教學的四個案例似乎有助於學生教師主動連結教學 實務與學理。例如，甲老師的教學可以讓他們瞭解到何謂「高原式」與「尖峰 式」的對話，B7 就在教學評析問卷中表示，想要採用這兩者種對話方式在自 己的模擬教學中；B8 也曾說，甲老師的問話技巧是

在還沒有看過甲老師之前，我可能問一個問題，然後學生答對或錯，或是答到我要的 答案，我就不會繼續問下去了

(B8，訪談

，931231)。其次，學生教師面對同一 個教學片段也可能會產生不同的觀點。例如，在丙老師的手錶和電視機的概念 類比中，

就覺得

(B3，教學評析

，931214)；B5 也 認為

而不是就一句說過程不重要，直接到結果這邊就好了

(B5，訪談

，931228)；可是 B7 就覺得不錯，因為

(B7，訪談

2

，931228)。最後，教學案例也衝擊了部分個案既有的教學思維。例如，B2 在

省思報告中表示，

豪的教學方法被自己嚴重質疑

(B2，省思

，940111)；B3 在訪談中也透露，因為 觀看了四位教師的教學影帶後，而大幅的調整原本模擬教學的教案內容。整體 而言，這樣的案例教學應該對部分個案的知識內涵產生了一定程度的影響。

二、反思與察覺

關於教師的反思，Dewey (1993)的反省性思考 (reflective thinking)是指活 躍、持續、仔細地考量於任何信念或已提出的知識，這能夠支持更長遠的結論。

藉由這樣的反省性思考，一個人可以從經驗模糊、懷疑、衝突與擾動的情境轉 換到清晰、連貫、安定與協調的情境。Dewey 認為反省性思考有五個階段：第 一階段涉及到確認問題的可能解答；第二階段是將情境問題化；第三階段開始 產生可以解決問題的假設；在第四個階段，思考者使用推理去決定假設對於問 題解答是否是可行的；當在假設被充分的發展後，就要在第五階段被測試。

Jaworski &Watson (1994)所主張的反思實作(reflective practice)，就是教師要能 察覺教室中所發生的教學事件，描述並做批判性的分析，接著付諸實踐。教師 從對自己教學意圖與學生實際學習情形間的批判過程之中，可以發現教學問題 的癥結也會引動教學策略與實作的調整。Mason (1998)進一步說明教學中的察 覺包括選擇、識別、偵測和看到相似性與共通性的一般能力。陳松靖(2002, p. 79) 觀察其個案教師的轉變動力並非來自師資培育課程，也不是研究者的介入，而 是由於自我對數學學習經驗的察覺與反思。

綜合而言，大部分的學者並沒有特別區分教師的反思與察覺，有些學者(如

Dewey, 1993; Jaworski & Watson, 1994; Schön, 1983)則是將察覺視為反思的首

要步驟。如果將察覺從反思中獨立出來，則發現本研究中的學生教師可以區分

成三種型態。B5 曾透過兩個圖形來說明直線與線段的差異，可是，卻有學生

產了兩個圖都是線段的迷思概念。透過與學生的互動，B5 察覺到這樣的表徵

方式可能會讓學生誤解，而重新感受到在直線「加箭頭」的重要，他在省思報

告中提到，

該就可以帶出無限延伸的概念

(B5，省思

，940614)。可見，B5 感受到自己的教 學問題，並體認到應該用「潛無窮」來解釋直線的意義，這應該屬於「有察覺 有反思」的類型。B7 在教學上使用「鸛鵲樓」的類比似乎與數學概念有相當 的落差，研究者曾提問「假如你等一下要進行實際教學，你會繼續採用蓋房子 的表徵方式還是換一個？」他說，

應該是說人的臨場狀況不好，應該不是東西不太好

(B7，訪談

，940510)。可見，

B7 並沒有察覺這樣的教學表徵有問題，當然也就沒有進行反思，可以歸類為

「沒察覺沒反思」。在群組 X 的教學中，在提出無窮概念之後，其他的組員卻 沒有繼續的承接與發展這個概念之物胚。其中的 B2 雖然曾在教學後的訪談中 提到，

(B2，訪談

， 940506)，而且，可以讓其他小組成員直接使用無窮這個名詞，可是，她並沒 有進一步指出無窮概念的意涵以及無窮與操作性活動與例題的連結，僅僅表示 知道無窮概念在教學活動中是比較孤立的，可是缺乏思考相對應的策略來解決 教學問題。所以 B2 應該屬於「有察覺沒反思」的類型。由此可見，察覺和反 思這兩者似乎沒有絕對的因果關係，那麼， 「如何促發學生教師的察覺與反思」

應該是師資培育課程中同樣重要的議題。

三、學習 COP

Wenger et al. (2002)指出，COP 就像一個生命體，開始時和結束時的狀態 並不相同，同樣經歷了出生、成長和死亡的自然循環。社群的發展通常包含了 痛苦的探索、困難的轉型，還有從得來不易的經驗中學習。雖然 COP 持續地 演化，Wenger et al.觀察到 COP 的發展有以下五個階段：潛力期是一個潛在的 社群，包含了成熟社群的許多元素，主要的實務議題是確認共同的知識需求，

通常是在成員間找到足夠的共同基礎，讓他們覺得彼此連結而且瞭解與分享看

法、故事和技術的價值；結合期則藉由活動讓成員建立關係、信賴以及共同利

益與需求的感覺，並真誠地討論棘手的問題，主要的實務議題是發現應該分享

那些知識，又該如何分享；成熟期的議題從建立價值轉移到釐清 COP 的焦點、

角色和範疇，一旦 COP 顯示了生命力和價值，就會快速的成長，這時候的主 要實務議題單純分享點子和見解，轉移到整理社群的知識並認真管理；管理期 是成熟社群要維持動能以度過實務、成員、科技和組織關係的自然轉變，主要 的實務議題是讓社群保持在尖端；最後，轉型期的自然消失，失去了成員或能 量，也有可能是失去了實務方面的價值，但是還想維持成員間的社會關係，以 軟結束(soft ending)的方式來結束社群。

本研究中的學生教師以 6～8 人形成的一個學習教學的 COP，主要成員都 是自己平日熟悉的同學，應該是同質性高的小型 COP。他們從教材教法的第一 堂課起就有了相互聯繫的關係，因應課程的需求，他們必須在課餘時間經常的 聚會，共同尋求數學教學的相關知識。例如，在學期初的時候，他們必須一同 閱讀 TE 指定的書籍，相互討論並確認書中所傳達的數學教學的構念，加以分 析整理後與全班分享。這個 COP 的知識基礎主要來自於他們過去的學習經驗，

然而成員間不同的學習經驗就會激盪出相互討論與辯證的火花。例如，B2 曾 經在無窮類比成

一隻小螞蟻比較起來，牠的面積是非常小的

(B2，訪談

，940105)；但是該群組的 另一個成員就認為，

(B3，訪談

， 931231)。所以，社群成員間的關係不見得是平和、快樂和協調的，否定、挑 戰和競爭都是參與社群的一種形式(Wenger, 1998)。隨著師資培育課程的發展，

成員間必須藉由更密切的合作來完成 TE 所交代的任務，成員也更加瞭解彼此 的工作，看到彼此作法的差異，有更多分享個人看法的機會，結合期的特徵就 在於成員間充分信類、彼此徵詢以及站在同一陣線共同面對實務中的問題，就 像各小組成員間以團隊合作的方式來完成模擬教學的計畫與實作一樣。

然而，學生教師的 COP 並不像在職教師的 COP，一直會有新手教師加入，

同時也有資深教師退出。在職教師 COP 的新手會先以合法周邊參與(legitimate

peripheral participation)的方式，慢慢瞭解該社群的實務，當遇到實務上的困難

或瓶頸時，老手會適時提供相關知識協助新手成為一位能獨當一面的教師，這

種新手繼承老手的資產並逐漸成為老手的過程，會形成一種由周邊到核心的發 展軌跡。而學生教師的 COP 並不會有新成員的加入，也缺乏有教學經驗的核 心成員來釐清已知及必須的知識，不會經常性的審視與填補社群知識的空缺，

無法有系統地發展學習進程或知識管理，這種先天的限制讓學生教師的 COP 不具有 Wenger et al.所提出的成熟期特徵。這樣的 COP 也就會隨著師資培育課 程的結束而自然的消失。雖然，學生教師的 COP 不具有成熟社群的功能，但 是，它仍提供了學生教師獲取知識與創造知識的脈絡，例如，個人想瞭解群組 Z 中的「鸛鵲樓」表徵方式是如何產生的？B7 就表示，

然後蓋房子可以蓋很高。於是在大家同意下，就以蓋樓房做為我們的主線，後來我想 到「更上一層樓」，於是我提出鸛雀樓的背景故事

(B7，訪談

，940510)

所以，知 識並不是個體所獨有，而是在社群中由大家共同建構與分享而成，COP 提供了 脈絡讓成員瞭解到是知識怎麼發展而來的？又如何被修正及使用？或是被拒 絕。因此，以 COP 的觀點來看學生教師的學習應該仍有其存在的價值。

第三節 研究的困難與挑戰

讓學生教師透過 COP 來共同學習如何教數學是 TE 的培育策略，經過共同 閱讀資料、分析概念、研擬教案與進行教學，他們所展現的知識是在一次次的 小組會議中，經過不斷的討論與修正而來。但是，從這種共同建構而得知識的 角度，就很難瞭解個案之間知識的差異性。例如，如果想要瞭解個案對概念理 解的廣度，那麼就必須觀察他能連結到哪些相關的概念？然而，師資培育課程 的概念分析作業是以整組的方式協力完成，所以在同一群組的個案，他們對概 念理解的廣度就會非常接近，這就很難呈現出個案之間的個別差異，因此資料 分析的工作就要從個案之間的比對轉移到群組之間的比對才會比較有意義也 比較明顯。

TE 的教材教法課程有將近 50 位的學生教師修課，由於時空的限制，個案

所能分配的教學時間非常短暫，並不像大四下的試教或實習階段有一個完整的

試教單元可以觀察，場域的限制會造成理解個案知識的完整程度。例如，群組 Y 的教學單元所要傳達的主要概念是「二元一次方程式的圖形為一直線」 ，但 是在第一堂課的內容只是找出一些方程式的解，然後讓學生經由畫圖和描點來 猜測可能的圖形？可是，到底為什麼二元一次方程式的圖形就是一條直線？方 程式解的無窮與直線的無窮有什麼關連？教師又會採用怎麼樣的策略來連結 這兩者？可惜這些關鍵的教學片段並不能在模擬教學中呈現出來，只能透過訪 談的方式讓個案去描述下一堂課的教學情形，而無法從實際的教學中加以檢 驗，這種場域的限制就直接增加了資料分析的困難度。

無窮概念有許多跟原始直觀衝突的地方，例如

=1 以及偶數跟自然數一 樣多，若從無窮的歷史發展來看，實無窮又比潛無窮有更多的直觀衝突。然而 本研究中並沒有充分實徵資料呈現實無窮的概念，一方面可能因為中學課程並 不需要介紹到實無窮，另一方面也可能因為學生教師本身不具有實無窮的概 念，因為，教師所教的數學內容並不會超過他所理解的範圍。在潛無窮方面，

僅有兩處出現中學生的迷思概念，其中一個是在 B5 的教學中，B5 曾說

，可是學生卻認為

(B5，教學，940315)；另一個是在 B3 的教學中，學生的疑問 是，

(B3，教學，940308)

B3 以「 很多

1 x

」來說明「

」

他們兩位都沒有運用恰當的知

識來回應學生的迷思概念。無窮概念曾經困擾西方數學家兩千年之久，學生教

師要在第一次教學就清楚傳達這樣的概念也許不是一件容易的事，但是，關於

中學數學中無窮概念的教學，似乎仍然缺乏好的教學典範，這指出了一個可以

接續研究的方向。