97 數乙關於實數概念的考題
我向來比較喜歡『數乙』的考題。這裡說的是大學入學考試中心（大考中心）指 定科目考試（大學指考）的一個考試科目：數學乙。雖然新的大學入學制度（包 括考招分離和多元入學）已經和過去大不相同，大學指考仍然被許多人認為是大 學聯考的繼續，使得它的考題還是具有相當程度的指標性。所有大考中心舉辦的 考試學科當中，只有數學舉辦兩種考試：數學甲和數學乙。
傳統上，理工類的大學科系採計數學甲的成績，而商管法類的大學科系採計 數學乙的成績。至於文史藝術類，在制度設計的理想上，可以不採計指考的數學 成績，而採計學科能力測驗（學測）的數學成績，或者僅設定學測數學成績的門 檻。因為學測的考試範圍只涵蓋高中前兩年，僅採計學測的可能性，使得一部份 學生可以在高三不選修數學，減輕了他們的學習負擔。延後到 99 年實施的 98 高中數學課程綱要，特別呼應了施行這個制度的可能性，較大幅度地重新規劃了 高中前兩年的數學課程，使得它更恰當地符合所有高中學生在數學基礎方面的共 同需求。
我耳聞別人推測，對於數學與資訊能力的需求越來越高的財務金融類科系，
雖然屬於商或管理學院，現在已經招收了許多所謂跨組的考生，將來可能直接宣 布採計數甲成績，而非數乙。其實，現在的組別分類，歷經半個世紀的學科演化，
也許該開始調整了。在大學裡任教，也逐漸感到，通常歸類在理學院的化學系和 生命科學系，似乎不必跟其他理工學生學習同一種的微積分。用一個學系所屬的 學院來決定它的修課內容，就好像種姓制度一樣缺乏說服力。不過，最後的決策 仍依賴於這些科系的現任教師們，是否願意投入一些時間來考慮大學部學生的教 育問題。
順便一提：最近有種意見，認為英文也應該舉辦兩種版本的考試。主要原因 是英文科考試成績近年越來越嚴重的兩極化趨勢，使得設計一份具有鑑別度的英 文考卷越來越困難。因為缺乏經驗與資訊，我實在不應該對這個英文考試的議題 有何意見，但是忍不住想要問：為什麼不用全民英檢的成績就好了？英檢的費用 高於指考，沒錯，但這是一個有好幾種方法可以解決的技術性問題。
相對來說，數乙的考題有很多奇妙的創意，比較活潑有趣，比較接近生活經 驗，而數甲的考題很……數甲。絕不是說數甲的題目比較沒創意，而是，它總是 很專業、很嚴肅。我特別喜歡今年數乙的第 7 題。這是個多選題，題目是
請問對於下列哪些選項，可以找到實數 a，使得選項裡面所有的數都 同時滿足一元二次不等式x2 +(2−a)x−2a<0？
(1) -1, 0 (2) 1, 2, 3, …
(3) −3, −4, −5, … (4) 97, 2008
(5) − , π π
再度順便一提：我很不同意大考中心的數學排版。所有未知數符號或數字 之間，只用（英文的）逗點符號隔開，在逗點後面應該有空格，考卷上幾乎全部 漏了這些空格。逗點、句點和驚嘆號、問號等（英文的）標點符號之後，必定要 有空格，我很納悶為什麼有這麼多學生似乎從來沒聽說過這個基本規則？我們的 英文老師都沒留意這個小小的細節嗎？我發現平均每個星期我都要重複跟三個 不同的學生說這個規則。而大考中心是一個舉辦全國性評量的單位，更不應該犯 這種基本的排版錯誤。少了空格之後，選項 (4) 的兩個數（其實就是今年的西 元和民國年份）看起來像一個數：九十七萬兩千零八。想必是我多慮了，應該沒 有考生產生這種困擾。
這個問題頗需要語文能力。我讀了三遍，又從答案來推測，才明白了題目。
以前沒見過這種題目，也沒見過這種提問的方式，感到很有趣。看懂題目之後，
就知道要決定所問不等式的解區間。學生只要不慌張，就該知道求解二次不等式 的基本動作就是先做因式分解。這個題目顯然不想在這方面為難學生，其因式分 解是顯而易見的，用國中二年級學生都會做的交叉相乘法得到(x+2)(x−a)<0。 所以滿足不等式的數介於−2和 a 之間，不含兩端點，這是第一關。題目的選項 設計得很好，過了第一關的人想必已經會選 (1)，得 1.6 分。
解此題的第二關則需要理解，此時並不知道a<−2還是a>−2，所以滿足 不等式的數應該是從−2到 a 之間，或者是從 a 到−2之間，不含兩端點。所以 選項 (4) 裡面的所有數也都可以同時滿足對某個 a 所寫成的不等式，例如取
=3000
a 即為一例。而選項 (5) 則不能同時滿足任一個 a 所寫成的不等式，因為 π大約是 3.14（高中生必須知道這個數據），若a>4則π會在解區間裡，但是−π 就不在裡面（因為 −π <−2）；同理，若a<−4則− 會在解區間裡，但是π π就 不在裡面（因為 π >−2）。所以π和− 不能『同時』在解區間裡，也就是不能π
『同時』滿足不等式。所以選項 (4) 和 (5) 可以從正反兩面來測試考生是否過 了第二關。通過者可以再得 1.6 分。
這個題目的第三關是對於『實數』的一個基本觀念：無限大不是實數。如 果沒有經過細心地教導，學生在學會處理無窮等比級數或某些微積分課題之後，
會被攪糊塗了，誤以為 ∞（無限大符號）是一個可以像數一樣使用的符號。萬 一有這種錯誤概念，就會以為選項 (2) 裡面的數都滿足當 a=∞ 時的不等式，
而選項 (3) 裡面的數都滿足當 a=−∞ 時的不等式。這就是選項 (2) 和 (3) 的
『誘答力』之所在，而且它們還有『診斷迷思概念』的效用。每錯選一項，就會 被扣 1.6 分，兩項都誤選，就抵銷了通過前兩關所得的分數。
在數學書寫中，我們的確會寫像 + + + +...=∞ 4
1 3 1 2
1 1 這種式子。但是，
教師應該向初學者強調：『這並不是等式，這裡的＝也不是等於』。此處的等號是 被「借用」來表達『發散到無限大』的符號，圖個方便而已。前面那條式子的口 語表達，應該是『調和級數發散到無限大』。調和級數是發散的，所以即使式子
裡有一個等號，並不是說它的極限等於 ∞：其實它的極限是不存在的。無限大 並不是一個固定的對象，它表示某個操作的過程會產生沒有上界的結果。這是個 極為精微而基礎的概念，卻非常難測驗學生的理解，它可能在課堂中長期地被忽 略。
以上是我非常喜歡這個題目的原因。也希望這一道題目，可以引起中學教 師注意這個觀念，並且謹慎處理關於「無限大」的溝通方式。例如，在口語溝通 上，不要說『等於無限大』這種話，而要說『發散到無限大』。
