6-2-4導函數的應用-極值的應用

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(1)選修數學(I)2-4 導函數的應用-極值的應用【思考】函數的導數可以用來描述函數所表事物或現象的變化情況，其主要的一項應用就是求極值的問題；例如：求最短距離﹑最大面積﹑體積﹐或求某項產品的最低生產成本與最大獲利等問題。觀察多項式函數的圖形，我們知道，任一多項式函數的極大值與極小值必定出現在臨界點或定義域的端點上；因此，當它的定義域限制在一個閉區間 [a, b] 上時，函數就會有最大值，也會有最小值，而最大值就是 [a, b] 內的所有極大值中最大者，最小值就是 [a, b] 內的所有極小值中最小者。這個性質對一般的連續函數也會有同樣的結果，敘述如下。【定理】 1. 最大值、最小值定理：若 f : [a, b]  R 是一連續函數，則 f (x) 必定有最大值、也會有最小值。註：特別的，當函數 f (x) 在開區間 (a, b) 上可微分時，就可以透過導數的性質來處理函數 f (x) 在 [a, b] 中的極值問題。【方法】 1. 求極值問題：要求一實函數 f (x) 在某限定範圍內的最大值或最小值都是求極值問題。當 f (x) 是一可微分的函數時，即可透過導數的方法求出極值。 2. 解極值應用問題的原則： (1) 找出已知量及特定量，作一規劃。 (2) 對求極大或極小的量，寫出主方程式。 (3) 將主方程式化約成只有一個獨立的變數。 (4) 決定變數 x 的限制。 (5) 以微積分的方法決定極大值或極小值。(以一階或二階導數檢定法來判定極值). 18.

(2) 【應用】 1. 一圓柱體外接一底半徑為 5 公分，高為 12 公分的正圓錐體，詴求該圓柱體的最大體積。解答：設所求圓柱體的底半徑為 x 公分，高為 h 公分，利用相似三角形對應邊成比例， 12  h x 12 得  ，因此 h  12  x 。 12 5 5 若圓柱體的體積以 f ( x) 表示， 12 12 3 則 f ( x)   x 2 h   x 2 (12  x)   x  12 x 2 ，其中 0  x  5 ， 5 5 36 2 12 又 f 的導函數為 f ( x)  x  24 x   x(3x  10) ， 5 5 可知 f  的正﹑負及 f 的遞增﹑遞減如表所示： 10 x 5 0 3 f ( x) 0 ┼ 0 ─ f ( x) ↗ ↘ 10 400 故 f 在 (0, 5) 中有最大值 f ( )  ， 3 9 400 即圓柱體的最大體積為 。 9 2. 設一圓柱的表面積為定值 A ，求滿足此條件之圓柱體體積的最大值。解答：設此圓柱體的底面半徑為 r ，高為 h ， 1 則 A  2 r 2  2 rh ，以 r 表 h ，得 h  ( A  2 r 2 ) ， 2 r 1 A 圓柱體的體積為  r 2 h   r 2  ( A  2 r 2 )   r 3  r 。 2 r 2 A A 令 f (r )   r 3  r , 0  r  ， 2 2 A A A A )( r  )，  3 (r 2  )  3 (r  6 6 2 6 f  的正﹑負及 f 的遞增﹑遞減如表所示：. 則 f 的導函數為 f (r )  3 r 2 . x f ( x) f ( x). A 6 0. 0 ┼ ↗. A A ) 6 A ， 6 18 A 即圓柱體體積的最大值為 6 A 。 18. 故 f 的最大值為 f (. 19. A 2. ─ ↘.

(3) 3.. 在所有體積為 a 的圓柱體中，詴求表面積最小的圓柱體之高與底面半徑之比例。解答：設圓柱體的底面半徑為 x ，高為 h ， a 則其體積為 a   x2h ，故 h  2 。 x 設 f ( x) 為圓柱體的表面積， a 則 f ( x)  2 x 2  2 xh  2 ( x 2  ) ，其中 x  0 ， x 利用 f ( x) 的導函數： a a 2 ( y 2  )  2 ( x 2  ) f ( y )  f ( x) y x f ( x)  lim  lim yx y  x yx yx yx 2 (y  x )y( x )  a2 xy lim yx yx 2 (y  x xy )  2a lim yx xy 2 ( x  x) x 2  2 a 2 (2 x3  a) ，其中 x  0 ，   x2 x2 a 我們可以求得 f ( x)  0 的解為 x  3 ， 2 由此可知：當 x  (0,. 3. a ) 時， f ( x)  0 ； 2. a , ) 時， f ( x)  0 。 2 故函數 f ( x) 在 (0, ) 中的增減可以表示如下：. 當 x(3. x f ( x) f ( x). 因此，函數 f ( x) 在 x . 3. 0. 3. ─ ↘. a 2 0. . ┼ ↗. a a 有最小值 f ( 3 )  3 3 2a 2  ， 2 2. a 2 h a a 而此時  x  3   2， a x x x 2 換句話說，表面積最小的圓柱體的高與底半徑之比為 2 :1 。. 20.

(4) 4. 設一體積為 16 的圓柱體，詴求其表面積的最小值。解答：設圓柱體的底圓半徑為 x ，高為 h ，則表面積為 f ( x)  2 x2  2 xh ，又由體積 16   x 2 h ，可得 h . 16 ， x2. 32 ，其中 x  0 ， x 其最小值為 f (2)  24 。. 故 f ( x)  2 x 2 . 5. 在底面半徑 5 ，高 12 的大圓錐體內，放入一倒立的小圓錐體(如圖所示)，詴求小圓錐體體積的最大值。. 解答：設倒立的小圓錐體底圓半徑為 x ，高為 h ， 1 3. 則體積為 f ( x)   x 2 h ， 12 12  h ，可得 h  12  x ， 5 12 4 故 f ( x)   x3  4 x 2 , 0  x  5 ， 5 12 2 f ( x)   x  8 x ， 5 10 又 f ( x)  0 ， x  或 0 (不合)， 3 10 400 其最大值為 f ( )  。 3 27 設 n 為正整數，詴利用 (1  x)n 的導函數為 n(1  x)n1 來證明： x 5. 又由 . 6.. 對任意 x  1 ，不等式 (1  x)n  1  nx 恆成立。證明：設 f ( x)  (1  x)n  1  nx ，則 f ( x)  n(1  x)n1  n 。當 x  1 時， f ( x)  0 ，故 f ( x) 在 [0, ) 中遞增。因此，對任意 x  1 ，恆有 f ( x)  f (0)  0 ，即 (1  x)n  1  nx 。. 21.

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