04 概數【教學說明】 1100829
單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 1
4 概數與科學記號數字〔教學說明〕
教學目標
本篇從實際數字範例介紹概數，解釋有效位數，並以概數觀念引進科學記號數字，讓學生明白
「科學記號」數字也會對應自然語言「數詞」的說法。
知
數字有普通記號和科學記號兩種寫法。大數可以分節以便閱讀。
行
能為大數分節並正確讀出數詞。學生能按照例如「以三位有效位數作答」這樣的指示寫下正 確答案。
識
有些數據沒必要全部寫／說出來，於是需要使用概數。科學記號數字是將語言上的概數用 特定的數字格式寫出來。如果文件中寫著科學記號數字，則它原則上就是一個概數。
主要設計理念
1. 配合中文數詞的規則，如果要讓一長串（阿拉伯）數字容易閱讀，應該要以四位一節標示逗 點，而這種逗點的後面不要空格。每四位一節時，從最右側算起，第一個逗點是「萬」，第 二個逗點是「億」，第三個逗點是「兆」，很方便閱讀。專業的會計與財務系統採用三位一 節的數字寫法，但是作者呼籲不要那樣教學生，原因請看後面「教學素養」。
2. 按課綱規劃，數學領域僅為概數的溝通需求而定義「有效位數」，並不觸及「準確值」與「估 計值」。而數學領域的「有效數字」教學目標是可以溝通，例如學生可以按照「以三位有效 位數作答」這樣的指示寫下正確答案。因此，並不要求學生「辨識」數字中的有效數字，也 不要求學生「判斷」有效位數。前述課題，應由自然領域教師，在實際操作測量儀器時，搭 配有意義的科學語境，來教導學生。教師們可以放心的是，數學領域和自然領域對於有效位 數的教學，是彼此相容的，請參閱後面的「教學素養」。本文依照課綱的理念而編寫。
3. 承上，本文並沒有「從一串數字中『指認』有效數字」的教學與練習。也建議教師不要添加 這項教學目標。
4. 按課綱規劃，7 年級的科學記號教學目標僅為「普通記號數字與科學記號數字的互換」。為 了教學上的趣味，可以搭配簡單的比大小，簡單的倍數或等分，例如科學記號數字乘以 2、
除以4 之類的。科學記號數字的實際操作，應由自然領域教師在適當的情境中教學，數學教 師不必越俎代庖。科學記號數字的一般性四則運算，課綱規劃在 10 年級教學。本文依照課 綱的理念而編寫。
5. 本篇《別冊》的目標如上述（知、行、識），主要是為學生建立連結。所以，礙於篇幅，並 沒有完整的科學記號教學。譬如，我們沒有明確列舉科學記號數字的規則，也沒有處理小於 1 的科學記號。我們假設「正課」一定會教這些。而考慮到本篇比較單純，或許值得在科學 記號的「正課」之前先講本篇，當作學生的先備知識。
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單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 2
教學備忘
1. 請確定學生能正確讀出大數，例如 2347,0663 應該讀作「二／兩千三百四十七萬零六百六十 三」，注意首位的2 可以讀作二也可以讀作兩；3994,0653 讀作「三千九百九十四萬零六百 五十三」；1,2642,7433 讀作「一億二千六百四十二萬七千四百三十三」。
2. 隨堂練習 1 第 3 題並沒有標準答案，請容許學生發揮。理論上，並沒有哪一種分節記法比較
「好」，而是倚賴於用哪種語言來讀它？如果用英語讀／寫，則三位一節比較方便。參閱「教 學素養」。
3. 請注意，本篇並沒有正式寫出「有效數字」，我們只寫「有效位數」。這是為了保持文字上 的精確，但是教師在口語上可以說「二位有效數字」，並無妨礙。數學課裡說的有效數字概 念雖然不涉及測量，但是與自然領域從測量而得的有效數字概念是相容的，所以教師可以自 由使用「有效數字」之語詞而不至於造成學生的迷思概念。
4. 如前述（設計理念），本篇所講的科學記號並不完整，請確認「正課」有完整教學。但是，
也請教師留意課綱規劃的教學目標，避免過度教學。「隨喜練習」補充了小於1 的科學記號 數字。
5. 本篇並沒有提到負數的科學記號，「正課」應該會講到。可是請教師理解，科學記號通常用 在科學或工程的測量值，它們很少很少是負數。科學記號的負數，重要的是負的指數，而不 是負的數值，請避免過度練習負的科學記號數字。
6. 本文不提 0 的科學記號。其實 0 的科學記號就是 0，不論設定幾位有效位數都是寫 0，而不 寫0.0 100或0.00 101之類的記號。請勿故意設計題目來評量0 的科學記號。
教學素養
數字的分節符號並不一定是逗點，這是各地文化自己決定的。我國跟隨美國的習慣，使用逗點分 節，而美國則承襲英國的習慣。但是德國就不一樣，德國用句點當作數字的分節符號，而用逗點 當作小數點，跟我們的習慣用法正好相反。
美國把大數寫成三位一節，原因是搭配他們的語言。在他們的語言裡，三位數（百十個）是 基本單位，然後用千（thousand 或 K）、百萬（million 或 M）、十億（billion 或 G）、兆（trillion 或T）這些位詞，把整個數字串起來。每三位一節，使得他們容易將逗點直接對應到位詞：從最 右側算起，第一個逗點是 thousand，第二個逗點是 million，第三個逗點是 billion，第四個是 trillion。例如 2347,0663 改寫成 23,470,663 比較方便用英語說出來：twenty-three million four hundred and seventy thousand and six hundred and sixty-three；同理，1,2642,7433 改寫成 126,427,433 比較方便用英語說出來：one hundred and twenty-six million four hundred and twenty-seven thousand and four hundred and thirty-three。
各國的國民教育顯然應該按照自己的語言習慣，決定大數的分節記法。在臺灣，不論講華 語、台語還是客語，都是四位一節才符合母語的習慣。英文數詞三位一節，中文數詞四位一節，
3 與 4 的最小公倍數是 12，所以要有 12 位數才能讓中文和英文的位詞恰好對上：英文的第四 位詞trillion 對應中文第三位詞「兆」。
相對地，我國的會計系統是從美國複製來的，所以財務報表習慣用三位一節的數字寫金額。
部份學生長大以後可以自己學習這種專業寫法，但是在國中小義務教育階段，應該根據母語的 數詞規則，採用四位一節的寫法，才是貼近生活經驗的學習，也是難度較低的學習。
04 概數【教學說明】 1100829
單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 3
在自然或工程領域，有效位數大多運用於測量上。測量值的有效位數由測量的工具精度決 定。例如使用普通的米達尺測量長度時，尺上的最小刻度是公釐，但能夠確定的測量單位是公 分。用這把尺測量長度時，不太可能恰好對準一個公釐的刻度，所以公釐的測量值具有估計的成 分；但是公分單位的測量值是可靠的。這就是為什麼自然領域會說有效數字由一串「準確值」再 加上一位「估計值」組成。
在實際操作測量工具的情境中，「準確值」和「估計值」是很清楚的概念，而操作者也會在 具體情境中溝通有效數字的相關語言。這些觀念，一旦進入數學課，常常變成失去脈絡而需要死 記得規則，而那些規則卻不見得有必要在進入實際測量情境之前就背起來。因此，在數學課裡多 出來的有效數字教學，不但幫不上自然領域的忙，反而有害數學領域自己的教學（因為增加不必 要的學習負擔），所以課綱把它們全部留給自然領域，不在數學課中處理。
數學領域所定義的有效位數，其實也有「準確值」和「估計值」的概念，而且「估計值」就 是最後一位數。這是因為
n 位有效數字的最後一位（第 n 位）是由它的下一位四捨五入而來的，
所以它並不準確。關於此點，文本中已有說明，但是沒有提出「準確值」和「估計值」這兩個名 詞，因為作者認為這些名詞無關學習的宏旨。
科學記號通常用在科學或工程的測量值，它們很少很少是負數。譬如我們講負數時，用攝氏 溫標當作切入點，看來溫度很可能出現負數。確實如此，但是科學家就是因為這樣才發明了另一 種「凱氏溫標」（Kelvin degree, K），又稱「絕對溫標」；用凱氏溫標來測量溫度所得的測量 值，必為正數或0。由此可見，科學和工程領域實在不愛用負數（雖然他們都會用）。因此，科 學記號的教學，重要的是負的指數，而不是負的數值，請避免過度練習負的科學記號數字。
