微積分一:講義2-7

2.7高階導函數

當我們對一可微函數fx作微分, 可以得到函數fx的導函數f′_{x. 若導函數f}′_x依 然為可微函數, 則f′_{x的導函數記為f}′′_{x, 稱為函數fx的二階導函數. 由此觀念, 只要} 還具有可微的性質, 我們就可以將導函數這個微分過程繼續做下去而得到函數fx的 三階, 四階或更高階的導函數. 若函數y  fx具有n階的導函數, 則依次的導函數記為: 一階導函數 y′  dy dx  Dxfx  ddxfx  f′x. 二階導函數 y′′  d dx dy dx  d2_y dx2  Dx 2_fx  d2 dx2 fx  f′′x. 三階導函數 y′′′  d dx d2_y dx2  d3_y dx3  Dx 3_fx  d3 dx3 fx  f′′′x. 四階導函數 y4  d dx d3_y dx3  d4_y dx4  Dx 4_fx  d4 dx4 fx  f4x.  n階導函數 yn  dny dxn  Dxnfx  d n dxn fx  fnx. 例題47: 若f2  −3, f′_{2  2, 且f}′′_{2  4, 試求 d}2 dx2f 2x| x2. 解 因為 d2 dx2 f 2x  d2 dx2fx 2 _{ d} dx d dxfx 2  d dx2fxf′x  2f′_{x  f}′_{x  fxf}′′_x  2 f′_x2_{ fxf′′x .} 因此 d2 dx2 f 2_x| x2  2 f′22 f2f′′2  222  −3  4  −16. 例題48: 假設函數y  xn_{, n 為任意正整數. 試求y}n_. 解

y′  nxn−1_, y′′  nn − 1xn−2_, y′′′  nn − 1n − 2xn−3_, y4  nn − 1n − 2n − 3xn−4  依此類推, 可得 yn  nn − 1n − 221xn−n  n!. 例題49: 設 x2 _{− 2xy  y}2 _{ 1, 試求}d2y dx2 . 解 d dxx 2 − 3xy  y2  d dx1  2x − 3 y  xdy dx  2y dy dx  0  dy dx2y − 3x  3y − 2x 因此 dy dx  3y − 2x 2y − 3x. d2_y dx2  d_dx dy dx  ddx 3y− 2x 2y− 3x  2y − 3x 3 dy dx − 2 − 3y − 2x 2 dy dx − 3 2y − 3x2  6y dy dx − 4y − 9x dy dx  6x − 6y dy dx − 9y − 4x dy dx  6x 2y − 3x2  5y− 5x dy dx 2y − 3x2  5y− 5x 3y−2x 2y−3x 2y − 3x2  5y2y − 3x − 5x3y − 2x 2y − 3x3  10y2 − 30xy  10x2 2y − 3x3 .