6-1-4多項式函數的極限與導數-導數與切線斜率

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(1)選修數學(I)1-4 多項式函數的極限與導數-導數與切線斜率【定義】 1. f (x) 在 x  x0 的導數：. f ( x0  h)  f ( x0 ) 存在， h 0 h 則稱 f (x) 在 x  x0 點可微分，而此極限值稱為 f (x) 在 x  x0 的導數，以 f ( x0 ) 表示。對實函數 f (x) ，若極限 lim. 函數 f (x) 在 x  x0 的導數也可以表成 f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0 ) 。 x x0. x  x0. 註：為了符號方便，我們常以變數 h 取代  x ，於是導數 f ( x0 ) 可以定義為 f ( x0 )  lim h 0. f ( x0  h)  f ( x0 ) 。 h. f (x) 在 I 可微分： f (x) 在 I 上每一點都可微分時，則稱 f (x) 在 I 上可微分。【性質】 1. 函數 f (x) 在點 x  a 連續時，未必在點 x  a 可微分。但 f (x) 在點 x  a 可微分時，就必定在點 x  a 連續。證明： 2.. 因為導數 f (a)  lim xa. f ( x)  f ( a ) 及極限 lim( x  a)  0 均存在， xa xa. 故由極限的加法及乘法運算性質可得 lim f ( x) xa.  f ( x)  f (a)   lim  ( x  a)  f (a)  xa x  a   f ( x)  f (a)  lim  lim( x  a)  lim f (a) f (a)  0  f (a) xa xa xa xa.  f (a) ，因此， f (x) 在點 x  a 連續。. 19.

(2) 【定義】 1. 切線方程式、法線方程式：曲線 y  f (x) ，若 x  x0 時， f ( x0 ) 存在，此時 f ( x0 ) 表示以 ( x0 , f ( x0 )) 為切點的切線斜率， (1) 當 f ' ( x0 )  0 時，切線方程式為 y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) ，而法線方程式為 y  f ( x0 ) . 1 ( x  x0 ) ， f ' ( x0 ). (2) 當 f ' ( x0 )  0 時，切線方程式為 y  f ( x0 ) ， 2.. 而法線方程式為 x  x0 。導函數：對於一實函數 f ( x) ，當 f ( x) 在點 x  x0 可微分時，我們用 f ( x0 ) 表示 f ( x) 在點 x  x0 的導數，當 x0 可以看成一個變數 x 時， f ( x) 也是一個函數，稱為 f ( x) 的導函數，其定義域可視為 { c | f ( x) 在點 x  c 可微分} 。除了 f ( x) 外，我們也常用. 3.. d f ( x) 來表示 f ( x) 的導函數。 dx. 第一階導函數、第二階導函數：若 f ' ( x) 的導函數存在，則此導函數記為 f ' ' ( x) ，. d d2 d2 也可記為 f ' ( x) 或 2 f ( x) 或 y ' ' 或 2 y ， dx dx dx 此時 f (x) 及 f (x) 分別稱為 f (x) 的第一階導函數及第二階導函數。註：仿此，我們可以定義函數 f ( x) 的第三階導函數 f ( x) ，或一般的 n 階導函數 f ( n ) ( x) 。. 20.

(3) 【應用】 1. 設函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d ，則第一階導函數為 f ( x)  3ax2  2bx  c，第二階導函數為 f ( x)  6ax  2b 。證明： f ( x0 )  lim. x  x0. f ( x)  f ( x0 ) (ax3  bx 2  cx  d )  (ax0  bx0  cx0  d )  lim x  x0 x  x0 x  x0 3. 2. a( x3  x0 )  b( x 2  x0 )  c( x  x0 ) 2  lim(a( x 2  x0 x  x0 )  b( x  x0 )  c) x  x0 x  x 0 x  x0 3. 2.  lim.  a  3 x0  b  2 x0  c  3ax0  2bx0  c ， 2. 2. 因此， f ( x) 的導函數為 f ( x)  3ax2  2bx  c ，而第二階導函數為 f ( x)  2  3ax  2b  6ax  2b 。 2.. 求函數 f ( x)  x , x  0 的導函數。解答：當 x0  0 時， f ( x0 )  lim. x  x0.  lim. x  x0.  lim x  x0. ( x  x0 )( x  x0 ) ( x  x0 )( x  x0 ). 1 x  x0. . 1 x0  x0. 因此，導函數 f ( x)  3.. f ( x)  f ( x0 )  lim x  x0 x  x0. 1 2 x.  lim x  x0. . x  x0 x  x0. x  x0 ( x  x0 )( x  x0 ). 1 2 x0. 。. , x  0。. 1 x. 求函數 g ( x)  , x  0 函數的導函數。解答：當 x  0 時， 1 1  g ( x  h)  g ( x ) x  ( x  h) 1 1 g ( x)  lim  lim x  h x  lim  lim  2。 h 0 h  0 h  0 h  0 h h h  x  ( x  h) x ( x  h) x. 21.

(4) 4.. 1 ， x  1 ，求 f ( x) ， f ( x) ， x 1 並求 f ( x) 的 n 階導函數 f ( n ) ( x ) ， n 為任意正整數。解答： (1) 對任意 a  1 ， 1 1  f ( x)  f (a) ( a  x) 1 f (a)  lim  lim x  1 a  1  lim ，  xa x  a x a ( x  a)( x  1)(a  1) xa xa (a  1)2 1 因此， f ( x)  。 ( x  1)2 (2) 對任意 a  1 ， 1 1  2 f ( x)  f (a ) ( x  1) (a  1) 2 f (a)  lim  lim x a xa xa xa (a  x)[(a  1)  ( x  1)] 2(a  1) 2 ，   lim   2 2 2 2 x a ( x  a)( x  1) (a  1) (a  1) (a  1) (a  1)3 2 因此， f ( x)  。 ( x  1)3 (1) n (n!) (3) 可歸納得： n 為正整數時， f ( n ) ( x)  。 ( x  1) n 1 證明： (a) 當 n  1 時，由(1)已證。 (1) k (k !) (k ) f ( x )  (b) 假設 n  k 時，此命題成立，即， x  1； ( x  1) k 1 則當 n  k  1 時，對任意 a  1 ， (1) k (k !) (1) k ( k !)  f ( k 1) ( a ) k 1 ( x  1) (a  1) k 1 (k ) (k )  lim f ( x )  f ( a ) x a xa  lim xa xa (a  1) k 1  ( x  1) k 1 ( x  1) k 1 (a  1) k 1  (1) k (k !) lim x a xa (a  x)[(a  1) k  (a  1) k 1 ( x  1)   ( x  1) k ]  (1) k (k !) lim xa ( x  a)( x  1) k 1 (a  1) k 1 設 f ( x) . [(a  1) k  (a  1) k 1 ( x  1)   ( x  1) k ] xa ( x  1) k 1 (a  1) k 1.  (1) k (k !) lim.  (k  1)(a  1) k 1 ，  (1)k 1 (k  1)!  k 1 k 1 (a  1) (a  1) (a  1)k  2 即 n  k  1 時，命題亦成立。 (1) n (n !) (n) 由數學歸納法可知，此命題成立，即 f ( x)  ， x  1。 ( x  1) n 1  (1) k (k !) . 22.

(5) 【定義】 1. 平均速度、平均加速度：若 f (x) 表示運動質點的位置函數，則在運動學上， f ( x)  f ( x0 ) 的意義是質點在 x  x0 時的平均速度， x  x0   而 f ( x)  f ( x0 ) 表示質點在 x  x0 時的平均加速度。 x  x0. 2.. 瞬時速度、瞬時加速度：若 f (x) 表示運動質點的位置函數，則在運動學上，第一階導數 f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0 ) 的意義是質點在 x  x0 時的瞬時速度，. x  x0   而第二階導數 f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0 ) 表示質點在 x  x0 時的瞬時加速度。 x x0 x  x0 x x0. 註：這就是科學家牛頓(Newton)為了要探討運動質點的瞬時速度及瞬時加速度而引進導數的原因之一。. 23.

(6) 【性質】由函數 f ( x) 求導函數 f ( x) 的計算過程，我們稱之為將函數 f ( x) 微分。 1. 微分公式(一)：若函數 f (x) 與 g (x) 在開區間 I 內部可微分，且 h( x)  f ( x)  g ( x) ，則 h(x) 在 I 內也可微分，且 h( x)  f ( x)  g( x) 。證明：對任意 x0  I ，由極限的加法運算性質可得， ( f ( x)  g ( x))  ( f ( x0 )  g ( x0 )) h(x)  lim x  x0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) g ( x)  g ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) g ( x)  g ( x0 )  lim (  )  lim  lim x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0  f ( x)  g ( x) ，因此， h(x) 在 x  x0 可微分，且 h( x)  f ( x)  g( x) 。 2. 微分公式(二)：若函數 f (x) 與 g (x) 在開區間 I 內部可微分，且 h( x)  f ( x) g ( x) ，則 h(x) 在 I 內也可微分，且 h( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g( x) 。證明：對任意 x0  I ，由極限的加法運算性質可得， f ( x) g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 ) h(x)  lim x  x0 x  x0.  f ( x) g ( x)  f ( x0 ) g ( x) f ( x0 ) g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 )    lim   x  x0 x  x0 x  x0    f ( x)  f ( x0 )   g ( x)  g ( x0 )    lim   g ( x)   lim  f ( x0 )  x  x0 x  x 0 x  x0 x  x0     f ( x)  f ( x0 ) g ( x)  g ( x0 )  lim  lim g ( x)  lim f ( x0 )  lim x  x0 x  x x  x x  x 0 0 0 x  x0 x  x0  f ( x) g ( x)  f ( x) g( x) ，其中 lim g ( x)  g ( x0 ) 是因為 g (x) 在 x  x0 連續， x  x0. 3.. 因此， h(x) 在 x  x0 可微分，且 h( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g( x) 。微分公式(線性組合)：若 f1 ( x), f 2 ( x),, f n ( x) 在開區間 I 內部可微分，且 c1 , c2 ,, cn 是實數，則函數 h( x)  c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)    cn f n ( x) 在 I 內也可微分，且 h( x)  c1 f1 ' ( x)  c2 f 2 ' ( x)    cn f n ' ( x) 。. 24.

(7) 4.. 微分公式(三)：設 f ( x) 與 g ( x) 在開區間 I 內部可微分， g ( x)  0 ，且 h( x)  則 h(x) 在 I 內也可微分，且 h( x) . f ( x) ， g ( x). g ( x) f ( x)  f ( x) g ( x) 。 ( g ( x))2. 解答：. f ( x) ，因為 f ( x) 與 g ( x) 在點 x  a 可微，且 g (a)  0 ， g ( x) 所以 lim g ( x)  g (a) ，令 h( x )  x a. f ( x) f (a )  h( x )  h( a ) g ( x) g (a ) h(a)  lim  lim x a x a xa xa g ( a ) f ( x)  f ( a ) g ( x)  lim x a ( x  a ) g ( x) g ( a ) g (a)( f ( x)  f (a))  f (a)( g ( x)  g (a))  lim x a ( x  a ) g (a ) g ( x ) 1 f ( x)  f ( a ) g ( x)  g ( a )  lim ( g ( a)   f (a)  ) x a g ( a ) g ( x ) xa xa 1 f ( x)  f ( a ) g ( x)  g ( a )  lim  lim( g (a)   f ( a)  ) x a g ( a ) g ( x ) x a xa xa 1 f ( x)  f ( a ) g ( x)  g ( a )   ( g (a) lim  f (a) lim ) x a x a g (a) g (a) xa xa g (a) f (a)  f (a) g (a) ，  ( g (a))2 ∴ h( x) 在 x  a 可微分，又 a 可為 h( x) 的定義域內的任意數， f ( x) 故 h( x )  為可微分函數， g ( x) d d g ( x)( f ( x))  f ( x)( g ( x)) d f ( x) dx dx 且。 ( ) 2 d x g ( x) ( g ( x)). 25.

(8) 【應用】 1.. 2.. 3.. 設 n 為正整數，則. d n x  nxn 1 。 dx. 證明：利用數學歸納法，證明如下：當 n  1 時，顯然成立。 d 當 n  k 時，假設 x k  nxk 1 成立。 dx 則當 n  k  1 時，由微分公式可得 d k 1 d k d d x  ( x  x)  ( x k )  x  x k  x  kxk 1  x  xk 1  (k  1) x k ， dx dx dx dx d 故由數學歸納法得知：對每一正整數 n ， x n  nxn 1 皆成立。 dx n n 1 實係數多項式函數 f ( x)  an x  an 1x    a2 x 2  a1x  a0 在每一點都可微分，且導函數為 f ( x)  nan x n1  (n  1)an1 x n2    2a2 x  a1 。證明： d d d d d f (x)  (an x n )  (an 1 x n 1 )    (a2 x 2 )  (a1 x)  a0 dx dx dx dx dx d d d d d  an x n  an 1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0 dx dx dx dx dx n1 n 2 。  nan x  (n  1)an1 x    2a2 x  a1 d 若函數 f (x) 可微分，則對任意正整數 n ，恆有 ( f ( x))n  n( f ( x))n 1 f ' ( x) 。 dx 註： (1) 利用數學歸納法可以證明。 d (2) 特別的，對任意的實數 a, b ， (ax  b)n  na(ax  b)n 1 。 dx. 26.

(9) 4.. 設 n 為正整數，則. d n 1 ，x0。 x dx n n x n 1. 證明：令 f ( x)  n x ， x  0 ，則任意正數 a ，使得. f (a)  lim x a.  lim x a.  lim. n xna f ( x)  f (a )  lim x a xa xa n n x a. ( n x  n a )( n x n 1  n ax n  2  1.  n a n 1 1 因為任意正數 a ， f (a)  ， n n 1 n a 1 因此， f ( x) 的導函數 f ( x)  ， n n 1 n x d n 1 即。 x n dx n x n1 x a n. 5.. x n 1  n ax n  2 .  n a n 1 ) 1 ，  n n 1 n a. 設 r 為正有理數，證明：. d r x  rx r 1 。 dx. 證明：. n 的形式， m n 其中 m ， n 為正整數，此時 r  ， m 因為 r 為正有理數，則 r 可表成. 1. 令 f ( x)  x m  m x ， d 1 則知：， f ( x)  dx m m x m1 n. 1. 又 xr  x m  ( x m )n  ( f ( x))n ，則由乘積微分公式可得 d r d d x  ( f ( x)n )  n( f ( x))n 1  f ( x) dx dx dx.  n x 即. n 1 m. . 1 m m x m1. . n nm1 m1 1 n mn 1  x  x   x  r  x r 1 ， m m. d r x  r  x r 1 。 dx. 27.

(10) 6.. 7.. 設 f (x) 是一實係數多項式且 a 為實數，則 ( x  a) 2 是 f (x) 的因式之充要條件是 f (a)  f (a)  0 。證明： (1) 若 ( x  a) 2 是 f (x) 的因式，則可令 f ( x)  ( x  a) 2 g ( x) ，其中 g (x) 是一實係數多項式，顯然， f (a)  (a  a) 2 g (a)  0 。又由微分公式可得 d f (x)  ( ( x  a)2 )  g ( x)  ( x  a)2  g ( x) dx  2( x  a) g ( x)  ( x  a) 2 g ( x) 。因此， f (a)  2(a  a) g (a )  (a  a) 2 g (a)  0 。 (2) 若 f (a)  f (a)  0 ，則由因式定理可知 x  a 是 f (x) 的因式；於是，可令 f ( x)  ( x  a)h( x) ，其中 h(x) 是一實係數多項式，利用微分公式可得 d f (x)  ( ( x  a))  h( x)  ( x  a)  h( x)  h( x)  ( x  a)h( x) ， dx 因此 f (a)  h(a)  (a  a)h(a)  h(a) 。因 f (a)  0 ，即 h(a)  0 ，可知 x  a 也是 h(x) 的因式；故可令 h( x)  ( x  a)k ( x) ，其中 k (x) 也是一實係數多項式。由此可得 f ( x)  ( x  a)h( x)  ( x  a ) 2 k ( x) 有 ( x  a ) 2 的因式。已知函數 f ( x)  ( x  a)( x  2a)2 滿足 f (0) 及 f (0) 都是整數，其中 a 為實數，試證： a 必為有理數。證明：由 f ( x)  ( x  a)( x  2a)2 ，得 f ( x)  ( x  2a)2  2( x  a)( x  2a) ，因此， f (0)  4a3 ， f (0)  8a 2 。 (1) 若 a  0 ，則 a 是有理數。 (2) 若 a  0 ，則 a . 8.. 2 f (0) 也是有理數(已知 f (0) 及 f (0) 都是整數)。 f (0). 已知 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 是一實係數三次多項式函數，且 f (1), f (1), f (1) 及 f (1) 都是有理數，試證： a, b, c, d 也都是有理數。由 f (1)  a  b  c  d , f (1)  3a  2b  c , f (1)  6a  2b , f (1)  6a 都是有理數，可依序推得 a, b, c, d 也都是有理數。. 28.

(11) 9.. 正弦函數的導函數： (sin x)  cos x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式. f ( x)  f ( a ) sin x  sin a  lim lim  lim x a x a x a xa xa. 2 cos. xa xa sin 2 2. xa. xa. sin xa  lim cos lim x  a2 x a 2 x a 2.  cosa 。 10. 餘弦函數的導函數： (cos x)   sin x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式 f ( x)  f ( a ) cos x  cos a  lim lim  lim xa x a x  a xa xa 11.. 12.. 13.. 14..  2 sin. xa xa sin 2 2. xa. xa.   lim sin x a. sin xa lim x a2 2 x a 2.   sin a 。正切函數的導函數： (tan x)  sec2 x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式 f ( x)  f ( a ) tan x  tan a 1 sin( x  a) lim  lim   lim  sec2 a 。 2 x a x  a x a ( x  a) cos x cos a xa xa cos a 2 餘切函數的導函數： (cot x)   csc x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式 f ( x)  f ( a ) cot x  cot a 1  sin( x  a) lim  lim   lim   csc2 a 。 2 x a x  a x  a xa xa ( x  a) sin x sin a sin a  正割函數的導函數： (sec x)  sec x tan x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式 f ( x)  f ( a ) sec x  sec a  ( sin a) cos a  cos x lim  lim   lim x a x  a x  a xa xa ( x  a) cos x cos a cos2 a  sec a tan a 。餘割函數的導函數： (csc x)   csc x cot x 。證明：先證明在 x  a 點的導數，再寫成一般型式 f ( x)  f ( a ) csc x  csc a  (cos a) sin a  sin x lim  lim   lim x a x  a x  a xa xa ( x  a) sin x sin a sin 2 a   cos a cot a 。. 29.

(12) 【起源】在本附錄中，我們要介紹以牛頓法求 k ( k 為正整數)的近似值；早在公元 1671 年，牛頓在他的微分法一書中，就率先提出函數的實數根之近似值求法，其方法原理介紹如下。【方法】以牛頓法求整數開平方根的近似值。 1. 牛頓法：考慮實函數 f ( x) 在閉區間 [a, b] 上是連續且在開區間 (a, b) 內可微分，在 f (a) 與 f (b) 異號的情形下，則由連續函數的中間值性質，可知 f ( x)  0 在 (a, b) 內至少有一個根。假設先估計這個根 x  c 的近似值 x  x1 ，如圖(c)所示；若過 ( x1 , f ( x1 )) 的切線在 (a, b) 內與 x 軸相交，此時，可利用切線方程式求得此切線與 x 軸相交的位置 x  x2 ： y  f ( x1 )  f ( x1 )( x  x1 )  y  f ( x1 )( x  x1 )  f ( x1 ) ，令 y  0 得 x  x1  於是得 x2  x1 . f ( x1 ) ( f ( x1 )  0 )， f ( x1 ). f ( x1 ) ，如圖(d)。 f ( x1 ). 繼續以 x  x2 作新的估計值，依此法求得第 3 個估計值 x3  x2 . f ( x2 ) ( f ( x2 )  0 )， f ( x2 ). 重複以上的過程，利用這樣的方式求得 f ( x)  0 的近似根之方法，就稱作牛頓法。. 30.

(13) 2.. 假設 f (c)  0 且 f 在包含 c 點的開區間 (a, b) 可微分， f (a)  f (b)  0 ，則可以利用下列步驟來求得 c 的近似值：第 1 步：先取一個接近 c 的近似估計 x1 ，第 2 步：求得下一個近似值 xn 1  xn . f ( xn ) ， f ( xn )  0, n  1, 2, 3, f ( xn ). ，. 第 3 步：若 | xn  xn1 | 已達到所預定準確的範圍，則取 xn 1 為最後所求的近似值；否則再繼續第 2 步計算新的估計值。註：這個過程的每一次操作，稱為一個迭代。【範例】 1. 下面舉例說明如何利用牛頓法求得 2 的近似值。為此，取 f ( x)  x2  2 ，先計算 f ( x)  2 x ，. 第 1 步：因 f (0)  2, f (2)  2 ，故 f ( x)  0 在 0,2 之間有一根，取 x1  1 ， f ( xn ) x 2  xn  n , n  1, 2, 3, f ( xn ) 2 xn 2. 第 2 步： xn1  xn . ，. 計算 3 次的迭代列表如下： f ( xn ). n. xn. f ( xn ). 1 2 3 4. 1.000000 1.500000 1.416667 1.414216.  1.000000 0.2500000 0.006945. 2.000000  0.500000 3.000000 0.083333 2.833334 0.002451. 依此，我們得到 2 的近似值 1.414216與 2  1.414213 若想求 k 的近似值，可假設 f ( x)  x2  k ，用上述步驟如法炮製，均可求得 k 很好的近似值。. 31. f ( xn ) f ( xn ). xn . f ( xn ) f ( xn ). 1.500000 1.416667 1.414216. 已經準確到小數第 5 位！.

(14)