三角函數 01

三角函數

第 章

01

圖1-1

三角函數

1-1 角度的基本性質

重點一 有向角與角的單位 1. 有向角

(1)若OA為平面上之一線段，將_OA繞定點_O依順時針方向 或逆時針方向旋轉至_OB的位置，所成的角稱為有向角；

記作_AOB，如圖1-1 所示。

其中_OA稱為_AOB的始邊，_OB稱為_AOB的終邊，

O稱為此有向角的頂點。

(2)依逆時針方向旋轉的有向角，稱為正角，如圖1-1(a)。

(3)依順時針方向旋轉的有向角，稱為負角，如圖1-1(b)。

2. 角的單位

(1)六十分制（度）

將一圓周分為360 等分，每一等分所對應的圓心角稱為一度，記作1 。 1 周角360，一平角_180，一直角_90。

(2)弧度制（弳度制）

一圓的弧長等於半徑時，稱此弧所對的圓心角稱為一弧度，或稱為一弳。

一周角2弧度，一平角 弧度，一直角 2

 弧度。 

(3)度與弧度制之換算

1 周角360 2弧度。 1 平角180  弧度。

1 180

   弧度。 1 弧度 180

57.2958



 

   。

小叮嚀

習慣上用弧度制時，單位「弧度」這兩字可省略。

用六十分制時，度「」絕對不可省略。

將下列各角化成以弧度為單位：

(1)300 (2)144 。

(1) 5

300 300

180 3

 

   

(2) 4

144 144

180 5

 

      

將下列各角化成以弧度為單位：

(1)315 (2)600。

(1) 7

315 315

180 4

 

   

(2) 10

600 600

180 3

 

      

將下列各角化成以度為單位：

(1)5 6

 (2) 7 5

  (3) 5 。

(1)5 5 180 6 6 150

 



    

(2) 7 7 180 5 5 252

 



       

(3) 180 900

5 5 286.5

 

 

       

將下列各角化成以度為單位：

(1)9 4

 (2) 4 3

  (3) 10。

(1)9 9 180 4 4 405

 



   

(2) 4 4 180 3 3 240

 



       

(3) 180 1800

10 10 573

 

 

    

重點二 扇形的弧長與面積

扇形的弧長與面積

若一扇形的半徑為r ，弧長為S，圓心角為 弧度，扇形的周長為T ， 面積為A ，則

(1)Sr。

(2)T  S 2r r  2r。 (3) 1 ² 1

2 2

A r  rS。

小叮嚀

使用這些公式時，圓心角的單位必須用弧度為單位。

演練

例題 1 角度的換算 1

演練

例題 2 角度的換算 2

三角函數

已知一扇形的圓心角為60，弧長為2 公 分，試求此扇形的半徑及面積。

圓心角 60

3

    

弧長 2

Sr   r 3 半徑r6

面積 1 1

6 2 6

2 2

A rS      

已知一扇形的圓心角為72，面積為20 ， 試求此扇形的半徑及弧長。

圓心角 2

72 5

    

面積 1 ² 2 2 5 20

A r    半徑r10

弧長 2

10 4

S r    5  

重點三 同界角

同界角

若兩個有向角具有相同的始邊與終邊，則此二角互稱為同界角。

(1)若₁^與₂^{互為同界角，則} ₁ ₂ 360 n或 ₁ ₂ 2 n，其中_n為整數。

(2)設一角度為 ，若 為 之正同界角中最小者，稱 為 的最小正同界角；若 ^為 之 負同界角中最大者，稱^為 的最大負同界角。

(3)最大負同界角最小正同界角_360。

試判斷下列何者為_{ 65} 的同界角？

(A)495 (B)1015 (C)1865 (D)785。 (A) 425    ( 65 ) 490

(B)1015    ( 65 ) 1080 360  3 (C)1865    ( 65 ) 1930

(D) 785      ( 65 ) 720 360   ( 2)

∵同界角相差_360的整數倍

∴選(B)、(D)

試判斷下列何者為_130的同界角？

(A)490 (B)850 (C)1930 (D)1310。 (A)490 130  620

(B)850 130 720 360 2 (C)1930 130 1800 360 5

(D) 1310  130  1440 360   ( 4)

∵同界角相差_360的整數倍

∴選(B)、(C)、(D)

演練

例題 3 扇形的弧長與面積 3

演練

例題 4 同界角 4

試判斷下列何者不是13 3

 _{的同界角？}

(A) 3

 (B) 2 3

  (C)4 3

 (D) 5 3

  。

(A)13

4 2 2

3 3

     

(B)13 2 ( ) 5

3 3

     

(C)13 4 3 3 3

    

(D)13 5

( ) 6 2 3

3 3

       

∵同界角相差₂ 的整數倍

∴選(B)、(C)

試判斷下列何者是 4

 _{的同界角？}

(A) 4

 (B) 11 4

  (C)25 4

 (D)37 4

 。

(A) ( )

4 4 2

  

   (B) 11

( ) 3

4 4

     

(C) 25

6 2 ( 3)

4 4

        

(D) 37 4 4 9

     

∵同界角相差₂ 的整數倍

∴選(C)

試求下列各角的最小正同界角與最大負同界 角：(1)2000 (2)900 (3)22

5

 。

(1)2000 360  5 200 ∴最小正同界角為200

最大負同界角為200 360  160 (2) 900  360   ( 3) 180

∴最小正同界角為180

最大負同界角為180 360  180

(3)22 2

2 2

5 5

     

∴最小正同界角為2 5

最大負同界角為2 8

5 2  5

試求下列各角的最小正同界角與最大負同界 角：(1)860 (2)1110 (3)19

3 π 。

(1)860 360  2 140 ∴最小正同界角為140

最大負同界角為140 360  220 (2) 1110  360   ( 4) 330

∴最小正同界角為330

最大負同界角為330 360   30 (3)19

2 3

3 3

    

∴最小正同界角為 3



最大負同界角為 5

3 2 3

     

演練

例題 5 同界角 5

演練

例題 6 最小正同界角與最大負同界角 6

三角函數

重點四 標準位置角

標準位置角

若在一個直角坐標系中，將一個有向角 的頂點置於原點上，始邊置於x軸的正向，則稱 角 為標準位置角。

(1)當標準位置角 的終邊落在第一、二、三、四象限內者，分別稱為第一、二、三、四象 限角。

當有向角 的最小正同界角為 ，亦即 360  n ，其中_n為整數，且0   360。

①若0   90，則 為第一象限角。

②若90   180，則 為第二象限角。

③若180   270，則 為第三象限角。

④若270   360，則 為第四象限角。

(2)若標準位置角 的終邊落在坐標軸上，則稱 為象限角。

0、90、180、270、360、…等。

試求下列各標準位置角分別為哪一象限角？

(1)1200 (2)415 (3)13 3

 。

(1)1200 360  3 120 ∵90 120 180 ∴1200為第二象限角 (2)415 360   ( 2) 305 ∵270 305 360 ∴415為第四象限角 (3)13

2 2

3 3

    

∵0

3 2

 

∴13 3

 _{為第一象限角}

試判斷下列各標準位置角分別為哪一象限 角？

(1)980 (2)1280 (3) 23 6

  。

(1)980 360  2 260 ∵180 260 270 ∴980為第三象限角 (2) 1280  360   ( 4) 160 ∵90 160 180

∴1280為第二象限角 (3) 23

2 ( 2)

6 6

  

    

∵0

6 2

 

∴ 23 6

  為第一象限角

例

演練

例題 7 標準位置角 7

自我 評量 _評量

自我

1 1. 將下列各角化成以弧度為單位：

(1)240  4 3

  (2)675  15 4

 _。

2 2. 將下列各角化成以度為單位：

(1)11 6

 _{ 330}

(2) 3 5

   108 。

3. 已知一扇形的半徑為 6 公分，圓心角為120，則此扇形的弧長為 4 ^{公分，面積為} 12 ^{平方公分。}

3 4. 已知一扇形的圓心角為45，弧長為₄ 公分，則此扇形的半徑為 16 公分，面積為 32 ^{平方公分。}

4 ( Ｄ ) 5. 下列何者是135的同界角？ (A)855 (B)495 (C)735 (D)855。

■ 對應例題

三角函數

01

自我 評量 _評量

自我

三角函數

5 ( Ｃ ) 6. 下列者不是23 4

 _同界角？

(A) 9 4

  (B) 4

 (C) 3 4

 (D)7 4

 _。

6,7 7. 已知 2020，則 之最小正同界角為 220 ，最大負同界角為 140 ， 為第 三 象限角。

6,7 8. 已知  1200，則 之最小正同界角為 240 ，最大負同界角為 120 ， 為 第 三 象限角。

6,7 9. 已知 28 5

  ，則 之最小正同界角為 8 5

 ，最大負同界為 2

5

  ， 為第 四

象限角。

6,7 10. 已知 16 3

    ，則 之最小正同界角為 2 3

 _{，最大負同界角為} 4

3

  ， 為第

二 象限角。

1-2 銳角的三角函數

重點一 比與比值 1. 比

有兩個數_a與_b（_b0），我們將_a與_b的比記作_a：_b，讀作_a比_b，其中_a稱為比的前 項，_b稱為比的後項。

2. 比值與比例式

(1)將比的前項除以比的後項所得的結果稱為比值，即a：_b的比值為 a a b  。 b 3：2 的比值為 3

3 2  。 2

(2)設b、_d不為0，若a：_{b c} ：_d稱為比例式。

3. 最簡整數比

如果一個比的前項與比的後項都是整數，且它們的最大公因數為 1，我們稱這個比為最 簡整數比。

4. 比的運算性質

(1)設k 0，則_a：b(a k ： () ) a b k  ：k b

k 。 15：6 (15 2)  ： 15

(6 2)

  3 ：6 3。 (2)a：_{b c} ：_d⇔ad bc。

5. 連比與連比例式

(1)連比：設a、_b、_c三數皆不為0，則a：_b：_c稱為連比。

(2)連比例式：若x：y ：z a ：b：c稱為連比例式。

例 例

小叮嚀

利用比的運算性質，就可以將比化成最簡整數比。

三角函數

試將下列各式的比化成最簡整數比，並求出 比值：

(1)12：18 (2)3

4： 4 ( )

5 。 (1) 12：18 12

 6 ：18

6  2：3 ∴比值為2

3 (2)3

4： 4 3

( ) 20

5 4

   ： 4

( ) 20

5  15：( 16) ∴比值為 15

16

試將下列各式的比化成最簡整數比，並求出 比值：

(1)( 0.8) ：2.8 (2)4 3：3

2。

(1) ( 0.8) ：2.8 ( 8)  ：28 ( 2)  ：7 ∴比值為 2

 7 (2)4

3：3 4

2   ：3 6 3 2 6 8：9

∴比值為8 9

校車上原有男生、女生人數的比為 4：3，後 來有6 位男生、3 位女生下車，剩下的男生、

女生人數的比變為 6：5，則校車上原有男 生、女生各多少人？

設校車原有男生4x人、女生3x人 依題意可知(4x ： (36) x  6：5 3)

 6 (3 x  3) 5 (4x 6)

18x18 20 x30

x6

∴校車上原有男生24 人、女生 18 人。

若(2a ：5 (33)  a ：7，試求1) a之值。

∵ (2a ：5 (33)  a ：7 1)

5 (3 a  1) 7 (2a 3)

15a 5 14a21

a16

演練

例題 1 比與比值 1

演練

例題 2 比例式 2

甲、乙、丙三人共有2100 元，甲和乙的金額 比為3：5，乙和丙的金額比為 2：1，試問甲、

乙、丙各有多少元？

甲：乙：丙

3 5 2

2 1 5 6 10 5





：

：

： ：

∴甲有 6

2100 600

6 10 5

 

  元

乙有 10

2100 1000

6 10 5

 

  元

丙有 5

2100 500

6 10 5

 

  元

試求下列各小題的連比：

(1)若a：b2：3，b：c4：5，

則a：_b：_c？

(2)若 y ： z 3：5，x：z 2：7，

則x：y ：z ？ (1)

2 3 4

4 5 3 8 12 15

a b c





： ：

：

：

： ：

∴a： ：b c8：12：15 (2)

3 5 7

2 7 5

10 21 35

x y z





： ：

：

：

： ：

∴x： ：y z10：21：35

重點二 銳角三角函數的定義

銳角三角函數的定義

 的正弦函數sinA A =a

A c

  的對邊

斜邊 。

 的餘弦函數 cosA A =b

A c

 的鄰邊

斜邊 。

 的正切函數A tan A =a

A A b

 



的對邊

的鄰邊 。

演練

例題 3 連比 3

三角函數

已 知△ABC 中 ，C為 直 角 ， 若 AB5， 4

AC  ，試求sinA、cosA、tanA之值。

2 2

5 4 3

BC   由三角函數定義知：

sin 3

A ，5 4 cosA 5 tan 3

A 4

已知△ABC 中，C為直角，若 AC 5， 12

BC  ，試求_{sin A}、_{cos A}、_{tan A}之值。

2 2

5 12 13 AB   由三角函數定義知：

sin 12

A13， 5 cosA13 tan 12

A 5

已知△ABC中，_{ C 90}，若 5 tanA12 ， 試求_{sin B}、cos B 之值。

∵ 5

tanA12 取AC12、

5 BC 

則_{AB 12}² _5² _13

∴由三角函數定義知 12

sinB13， 5 cosB13

已知△ABC中，_C為直角，且 1 sinA ，2 試求_{sin B}、cos B 、 tan B 之值。

∵ 1

sinA 2

取AB 、2 BC 1 則_{AC 2}²_1² _{ 3}

∴由三角函數定義知

3

sinB 2 ， 1

cosB ， tan2 B 3 演練

例題 4 銳角三角函數的定義 4

演練

例題 5 銳角三角函數的定義 5

在△ABC 中，C為直角，已知BC 8且 tan 4

A ，試求 ABC3 △ 的周長。

8 4

tanA 3

 AC 

AC6

∴AB 8²6² 10 故△ABC的周長為

8 6 10 24  

在△ABC中，C為直角，已知AB15且 sin 3

A ，試求5 AC的長。

sin 3

15 5 A BC 

BC 9

∴AC 15²9² 12

重點三 特別角的三角函數值 特別角的三角函數值

函數值 函數

角度

30 ( ) 6

  45 ( )

4

  60 ( )

3

 

sin 1

2

2 2

3 2

cos 3

2

2

2 1

tan 3

3 1 3

圖形

小叮嚀

習慣上，我們把_{(sin )A} ⁿ記作_sinⁿ _A（n為整數），

例如：(sin 30 ) ² sin 30² ，(sin 30 ) ³ sin 30³ 。

演練

例題 6 銳角三角函數的定義 6

三角函數

試求4sin 30 2sin 45²   3 tan 60³  之值。

原式 4 ¹ 2 ( ¹ )² 3 ( 3)³

2 2

     

  2 1 9 12

試求3tan² 4cos² sin²

6 4 3

  

  之值。

原式 1 ² 1 ² 3

3 ( ) 4 ( ) ( )

3 2 2

     

3

1 2 4

   15

 4

試求

2

2

1 cos 3 1 sin

4









之值。

原式

2

2

1 3

1 ( )

2 4

1 3

1 ( ) 2 2

  

 1

 2

試 求(2sin 60 tan 45 )(2cos30   3 tan 30 ) 之值。

原式 3 3 1

(2 1)(2 3 )

2 2 3

     

( 3 1)( 3 1)   2

重點四 三角函數的基本關係 1. 商數關係式

tan sin

cos

 

  2. 平方關係式

2 2

sin  cos   1 3. 餘角關係式

(1) sin(90 ) cos  (2) cos(90 ) sin 

演練

例題 7 特別角的三角函數值 7

演練

例題 8 特別角的三角函數值 8

設 為銳角，已知tan 2，試求 2sin cos

sin 2cos

 

 



 之值。

原式

sin cos 2 cos cos sin cos cos 2 cos

 

 

 

 

 



 

2 tan 1 2 2 1 tan 2 2 2





  

 

 

5

 4

設 為銳角，已知 2

tan  ，試求 3 3sin 2cos

6sin cos

 

 



 之值。

原式

sin cos

3 2

cos cos sin cos 6 cos cos

 

 

 

 

 



 

3 2 2

3tan 2 3

6 tan 1 6 2 1 3





  

 

  

4

 3

試在空格內填入適當的角度：

(1) sin 20 sin ( 90  ) cos 。 (2)cos36 cos (90  ) sin 。

(1)sin 20 sin(90   70 ) cos70 (2)cos36 cos(90   54 ) sin 54

試在空格內填入適當的角度：

(1) cos18 cos (90  ) sin 。 (2)sin 63 sin ( 90  ) cos 。

(1)cos18 cos(90   72 ) sin 72 (2)sin 63 sin(90   27 ) cos 27

試求sin 15²  sin 75²  之值。

由餘角關係式知：sin 75²  cos 15²  由平方關係知：

原式sin 15²  cos 15²   1

試求3 2sin 36 ²  2cos 36² 之值。

原式  3 2 (sin 36²  cos 36 )²    3 2 1

 1

演練

例題 9 商數關係 9

演練

例題 10 餘角關係式 10

演練

例題 11 平方關係式 11

三角函數

01

自我 評量 _評量

自我

三角函數

1 1. 將5 7：5

8化為最簡整數比為 8：7 。

2 2. 高一甲班的男生與女生的人數比為 4：3，若男生人數為 20 人，則女生人數為 15 人。

3 3. 若x：y 4：5，x：z 6：7，則x：y ： z 12 15 14： ： 。

4 4. 已知△ABC中，_C為直角，若_AC _BC ，則_sinA_cosA_tanA 1 2 。

5 5. 已知△ABC中，_{ C 90}， 1

tanA ，則3 sinA3sinB 10 。

5 6. 已知△ABC中， C 90，AC 3，AB2BC，則sinA 1

2 ，sinB 3

2 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

6 7. 在△ABC中，_{ C 90}，已知_BC10且 5

tanA12 ，則AB 26 。

7 8. 求 3 tan 30  2 sin 45 2 cos60 之值為 3 。

8 9. 求

2 2

2 2

tan sin

6 4

sin cos

3 4

 

 





之值為 10 3 。

9 10. 設 為銳角，已知 1

tan  ，則2 2sin cos 4sin cos

 

 

 

 2 。

10 11. 若sin 23 cosx，cos54 sin y ，則x y 103 。

11 12. 求sin 35²  sin 45²  sin 55² 之值為 3

2 。

三角函數

1-3 任意角的三角函數

重點一 廣義的三角函數定義 1. 定義

設 為標準位置角，取 終邊上異於 原點之任一點P x y ， ( , )

令OP r  x² y² ，

則 定 義 有 向 角 的 三 角 函 數 值 為 sin y

  。 r cos x

  。 r tan y

  。 x

2. 同界角三角函數值相等 設_n為整數，則

(1) sin(360  n ) sin  。 (2) cos(360  n ) cos 。 (3)tan(360  n ) tan 。 3. 三角函數值的正負

正負值 函數

 所在

象限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

sin    

cos    

tan    

已知P( 4,3) 為標準位置角 終邊上一點，

試求_sin 、cos 、tan 的三角函數值。

2 2

( 4) 3 5 r    sin 3

5 y

  r  cos 4

5 x

  r ^ tan 3

4 y

  x  

已 知P( 12, 5)  為 標 準 位 置 角 終 邊 上 一 點，試求_sin 、cos 、tan 的三角函數值。

2 2

( 12) ( 5) 13 r     sin 5

13 y

  r  ^ cos 12

13 x

  r ^ tan 5

12 y

  x 

已知_sin ₀且_tan ₀，則 為第幾象限 角？

∵sin 0 為第一或第二象限角 tan 0 為第二或第四象限角

∴ 為第二象限角

已知_cos ₀且_tan ₀，則 為第幾象限 角？

∵cos 0 為第二或第三象限角 tan 0 為第一或第三象限角

∴ 為第三象限角

演練

例題 1 廣義三角函數定義 1

演練

例題 2 廣義三角函數定義 2

三角函數

已 知 為第四象限角，且 3

cos  ，試求5 sin 、tan 的值。

∵ 3

cos  ， 5 且 為第四象限角 取r 、5 x3

2 2

5 3 4

y    

∴ 4

sin 5

y

  r  ^

4

tan 3

y

  x  ^

已知 為第三象限角，且 12

tan  5 ，試求 sin 、cos 的值。

∵ 12

tan  5 ，且 為第三象限角 取x  、5 y  12

2 2

( 5) ( 12) 13 r    

∴ 12

sin 13

y

  r  ^

5

cos 13

x

  r ^

已 知 5

sin 13 ， 且_cos ₀， 試 求_cos 、 tan 的值。

∵ 5

sin 0

 13 ，且cos 0

 為第二象限角 取_r13、y 5

2 2

13 5 12

x    

∴ 12

cos 13

x

  r ^

5

tan 12

y

  x 



已 知_tan  ₂， 且_sin ₀， 試 求_sin 、 cos 的值。

∵tan   2 0，且_sin ₀

 為第四象限角 取_x1、y  2

2 2

1 ( 2) 5 r   

∴ 2

sin 5

y

  r  ^

1

cos 5

x

  r

演練

例題 3 廣義三角函數定義 3

演練

例題 4 廣義三角函數定義 4

已知180   270，且tan 1，試求 之 值。

∵180   270，且_tan ₁ 在角 終邊上取一點 ( 1, 1)P   作PQ 垂直x軸於Q 點，如圖

∴POQ45 故  ₂₂₅

已知₉₀   ₁₈₀，且 1

sin  ，試求2  之 值。

∵90   180，且 1 sin  2 在角 終邊上取一點 ( 3,1)P  作PQ 垂直x軸於Q 點，如圖

∴POQ  30 故  ₁₅₀

重點二 象限角的三角函數值 象限角的三角函數值

函數

角度

函 數 值（弧度） 0 90 ( ) 2

  180 ( ) 3 270 ( )

2



sin 0 1 0  1

cos 1 0 1 0

tan 0 無意義 0 無意義

試求sin 0 cos tan 2

 

  的值。

原式   0 0 0 0

試 求 _{sin 90 2 cos0 3tan 0 4sin 270} 的 值。

原式 1 2 1 3 0 4 ( 1)          1 演練

例題 5 廣義三角函數定義 5

演練

例題 6 象限角的三角函數值 6

三角函數

演練 例題

重點三 化任意角的三角函數值為銳角的三角函數值 1. ()的三角函數轉換

(1) sin(  ) sin (2) cos( ) cos (3) tan(  ) tan 。 2. (180 )的三角函數轉換

(1) sin(180 ) sin  (2) cos(180 ) cos (3) tan(180 ) tan 。 3. (180 )的三角函數轉換

(1) sin(180 ) sin (2) cos(180 ) cos (3) tan(180 ) tan  。 4. (360 )的三角函數轉換

(1) sin(360 ) sin (2) cos(360 ) cos  (3) tan(360 ) tan。 5. (90 )的三角函數轉換

(1) sin(90 ) cos  (2) cos(90 ) sin 。 6. (270 )的三角函數轉換

(1) sin(270 ) cos (2) cos(270 ) sin 。 7. (270 )的三角函數轉換

(1) sin(270 ) cos (2) cos(270 ) sin 。 8. 化90  n  的三角函數值為 的三角函數值

(1)若n為偶數時，則

①sin(90  n ) sin ②cos(90  n ) cos ③ tan(90  n ) tan 。 若_n為奇數時，則

①sin(90  n ) cos ②cos(90  n ) sin。

(2)正負符號的決定：將 視為銳角，正負符號由原函數角度所在象限之正負決定。

試求下列三角函數值：

(1)sin( 45 )  (2) cos( 30 )  (3) tan( ) 3

 。

(1) 2

sin( 45 ) sin 45

       2

(2) 3

cos( 30 ) cos30

     2 (3) tan( ) tan 3

3 3

 

    

試求下列三角函數值：

(1)sin( 60 )  (2) cos( ) 4

 (3)tan( 30 )  。

(1) 3

sin( 60 ) sin 60

       2

(2) 2

cos( ) cos

4 4 2

 

  

(3) 3

tan( 30 ) tan 30

       3



 的三角函數轉換

7 7

試求下列三角函數值：

(1)cos150 (2)sin120 (3) 3 tan4^。

(1) 3

cos150 cos30

      2

(2) 3

sin120 sin 60

    2 (3) 3

tan tan 1

4 4

     

試求下列三角函數值：

(1)tan120 (2)cos135 (3) 5 sin6 ^。 (1) tan120  tan 60   3

(2) 2

cos135 cos 45

      2

(3) 5 1

sin sin

6 6 2

   

試求下列三角函數值：

(1)cos 210 (2)tan 225 (3) 4 sin3 ^。

(1) 3

cos 210 cos30

      2 (2)tan 225 tan 45 1

(3) 4 3

sin sin

3 3 2

     

試求下列三角函數值：

(1)sin 240 (2) 5

cos4 (3)tan 210。

(1) 3

sin 240 sin 60

      2

(2) 5 2

cos cos

4 4 2

     

(3) 3

tan 210 tan 30

    3

試求下列三角函數值：

(1)sin 330 (2)cos300 (3) 7 tan4^。

(1) 1

sin 330 sin 30

      2

(2) 1

cos300 cos60

    2 (3) 7

tan tan 1

4 4

     

試求下列三角函數值：

(1)tan 300 (2)sin 315 (3) 11 cos 6 ^。 (1) tan 300  tan 60   3

(2) 2

sin 315 sin 45

      2

(3) 11 3

cos cos

6 6 2

   

演練

例題 8 ¹⁸⁰ 的三角函數轉換 8

演練

例題 9 180 的三角函數轉換 9

演練

例題 10 360 的三角函數轉換 10

三角函數

已知 為銳角，且 12

tan  5 ，試求下列各式 之值：

(1) sin(90 ) (2) cos(90 ) (3) cos(270 ) (4) sin(270 )。

∵ 為銳角，

且 12

tan  5 ，如圖：

取x ，5 y12 則r 5² 12² 13

(1) 5

sin(90 ) cos

  13

   

(2) 12

cos(90 ) sin

  13

     

(3) 12

cos(270 ) sin

  13

     

(4) 5

sin(270 ) cos

  13

     

已知 為銳角，且 3

tan  ，試求下列各式4 之值：

(1) cos(90 ) (2) sin(90 ) (3) sin(270 ) (4) cos(270 )。

∵ 為銳角，

且 3

tan  ，如圖： 4 取_x4，y 3 則r 4² 3² 5

(1) 3

cos(90 ) sin

  5

   

(2) 4

sin(90 ) cos

  5

   

(3) 4

sin(270 ) cos

  5

     

(4) 3

cos(270 ) sin

  5

   

試求下列三角函數值：

(1)sin 2040 (2) cos( 855 )  。 (1) sin 2040 sin(360  5 240 )

sin 240  sin 60 3

  2

(2) cos( 855 ) cos(360      ( 3) 225 ) cos 225  cos 45 2

  2

試求下列三角函數值：

(1)tan 675 (2) cos( 780 )  。 (1) tan 675 tan(360  1 315 )

tan 315  tan 45   1

(2) cos( 780 ) cos(360      ( 3) 300 ) cos300 cos60 1

 2

演練 例題 11 ⁹⁰  、270  的轉換 11

演練

例題 12 同界角三角函數值 12

自我 評量 _評量

自我

1 1. 已知 ( 2, 1)P   為標準位置角 終邊上一點，則sin 2 cos   5 。

2 2.點 (sin109 ,cos2020 )P   落在第 四 象限。

2 3. 已知sin 0，_cos ₀，則 為第 四 象限角。

3 4. 已知 為第二象限角，且 3

sin  ，則5 cos  4

5 ，_tan  3

4 。

4 5. 已知 5

sin  13^ ，且_tan ₀，則 tan 1 cos



 ^



13

60 。

5 6. 已知90   180，且 1

cos   ，則2  120 。

■ 對應例題

三角函數

01

自我 評量 _評量

自我

三角函數

6 7. 求sin 0 tan 0 cos180 cos 270 sin 90之值為 0 。

7 8. 求 sin( 30 ) cos( 60 ) tan( 45 )        之值為 1 。

8,9,10 9. 求 2 sin135 2 cos300 tan 225之值為 3 。

11 10. 已知 為銳角，且tan 2，則 (1)sin(90 ) ¹

5 (2) tan(180 ) 2 (3) cos(270 ) ²

 5 。

12 11. 求 sin( 855 ) cos855    tan 675 之值為  1 2 。

1-4 三角函數的圖形

重 點 三角函數的圖形 1. 週期函數

一個函數 f x ，若存在正數 p ，使得 (( ) f x p ) f x( )，對所有_x均成立，我們稱 f x 為( ) 週期函數，而最小正整數p 稱為 ( )f x 的週期。

2. 正弦函數ysinx的圖形與特性 (1)圖形：

(2)特性：

① 1 sinx1。

②圖形連續不斷，且週期為2 。

③若把實數x視為標準位置有向角時，在第一、四象限為遞增函數，在第二、三象限 為遞減函數。

3. 餘弦函數ycosx的圖形與特性 (1)圖形：

(2)特性：

① 1 cosx1。

②圖形連續不斷，且週期為2 。

③若把實數x視為標準位置有向角時，在第一、二象限為遞減函數，在第三、四象限 為遞增函數。

小叮嚀

1.cos(x2 ) cos  x，即cos x的週期為₂。 2. sin( ) cos

y x 2 x

   ，即將_y_sinx之圖形左移 2

，即可得_y_cosx的圖形。

小叮嚀

sin(x2 ) sin  x，即sin x的週期為2。

三角函數

4. 正切函數ytanx的圖形與特性 (1)圖形：

(2)特性：

①tan x 值為任意實數。

②圖形在

x n   （2 n為整數）處中斷，所以不連續，週期為 。 ③若把實數x視為標準位置有向角時，在四個象限皆為遞增函數。

5. 三角函數的定義域、值域及週期

函數 定義域 值域 週期 0

x 2

  的函數值變化 sin

y  x R（所有實數）   1 y 1 2 隨_x的增加而增加 cos

y x R   1 y 1 2 隨_x的增加而減少

tan y x

x n  2 ，_n為整數 _{R } 隨_x的增加而增加

小叮嚀

tan(x) tan x，即_{tan x}的週期為。

試作下列各函數的圖形，並求其週期：

(1)ysinx (2)1 y2sinx (3)ysin 2x。 (1)

ysinx 之圖形是將1 ysinx之圖形向下平移1 單位，週期為2 。

(2)

y2sinx之圖形是將ysinx之圖形，以_x軸為中心，縱向放大2 倍，週期為2 。

(3)

ysin 2x之圖形是將ysinx，以y 軸為中心，橫向壓縮1

2倍，週期為 。 1 三角函數的圖形

三角函數

試作下列各函數的圖形，並求其週期：

(1)ycosx (2)1 1 2cos

y x (3) cos 2 y x 。

(1)

ycosx 之圖形是將1 ycosx之圖形向上平移1 單位，週期為2 。

(2)

1 2cos

y x之圖形是將ycosx之圖形，以_x軸為中心，縱向壓縮1

2倍，週期為₂ 。

(3)

cos 2

y x之圖形是將ycosx之圖形，以y 軸為中心，橫向放大 2 倍，週期為4 。 1 三角函數的圖形

試比較asin12、bsin 34、csin 56的 大小。

由ysinx的圖形可知，

當₀  x ₉₀時，_sinx的值為遞增

∴_sin12 _{sin 34} _{sin 56} 故a b c 

試比較 sin a_ 6 _、

sin4 b_  _、

sin 3 c_  _的大 小。

由ysinx的圖形可知，

當_{0  x 90}時，_sinx的值為遞增

∴sin sin sin

6 4 3

 _  _  故_{a b c }

試 比 較 2 sin3

a  、 3

sin4

b  、 5

sin6 c  的大小。

sin2 sin

3 3

a    sin3 sin

4 4

b    sin5 sin

6 6

c   

∵sin sin sin

3 4 6

  

 

∴_{a b c }

試比較_{acos100}、_{bcos120}、 cos140

c 的大小。

cos100 cos80 sin10

a       

cos120 cos60 sin 30

b       

cos140 cos 40 sin 50

c       

∵sin10  sin 30  sin 50

∴a b c 

試比較_{asin100}、_{bsin 200}、 sin 300

c 的大小。

sin100 sin 80 0 a    

sin 200 sin 20 0 b     

sin 300 sin 60 0 c     

∵_{sin 20  sin 60}

∴_{a b c }

試比較_{acos100}、_{bcos 200}、 cos300

c 的大小。

cos100 cos80 sin10 0 a        

cos 200 cos 20 sin 70 0 b        

cos300 cos60 0 c    

∵_{sin10  sin 70}

∴_{c a b }

演練

例題 2 三角函數比大小 2

演練

例題 3 三角函數比大小 3

演練

例題 4 三角函數比大小 4

三角函數

試求下列三角函數的週期：

(1)ysin 3x。 (2)y2cos 4x。 (3) tan( )

2

y x 。

(1)∵ysinx的週期為2 ∴ysin 3x的週期為2

3



(2)∵ycosx的週期為₂ ∴y2cos 4x的週期為2

4 2

  (3)∵ytanx的週期為

∴ tan( ) 2

y x 的週期為 2 1 2

  

試求下列三角函數的週期：

(1) 2sin 5 2

y  x  。

(2) 1 2cos3 y  x。 (3) 5tan(2 ) 1

y _ x_2 _{ 。} (1)∵ysinx的週期為2

∴ 2sin 2

y x的週期為2 1 4 2

  

(2)∵ycosx的週期為₂ ∴ 1

2cos3

y x的週期為2 3



(3)∵ytanx的週期為

∴ 5tan(2 ) 1

y_ x_2 _{ 的週期為} 2



已 知 3sin² 4sin   ， 試 求4 0 sin 的 值。

3sin2 4sin   4 0

 (3sin 2)(sin 2) 0

 2

sin   或 2 3

∵ _{1 sin} ₁

∴ 2

sin   3

若2cos² 5cos   ，且3 0 0   90， 試求 ？

2cos2 5cos   3 0

 (2cos 1)(cos   3) 0

 1

cos  或2 3

∵ _{1 cos} ₁

∴ 1

cos  2

又0   90，故 60

演練

例題 5 三角函數的週期 5

演練

例題 6 三角函數的值域 6

試求y3sinx 的最大值與最小值。 1 ∵ 1 sinx1

 3 3sinx3

 2 3sinx 1 4

∴最大值為4，最小值為 2

試求y 2cosx 的最大值與最小值。 3 ∵ 1 cosx1

2 2 cosx 2

5 2 cosx 3 1

∴最大值為5，最小值為 1

已知 f x( ) sin ²xsinx ，試求 ( )1 f x 的最 大值及最小值。

( ) sin2 sin 1 f x  x x

1 ² 1

[sin sin ( ) ] 1

2 4

x x

    

1 ² 3 (sin )

2 4

 x 

當 1

sinx  時， ( )2 f x 有最小值3 4 sinx1時， f x 有最大值 3 ( )

已知 f x( ) cos ²xcosx ，試求 ( )3 f x 的最 大值及最小值。

( ) cos2 cos 3 f x  x x

² 1 ² 1

[cos cos ( ) ] 3

2 4

x x

    

1 ² 11 (cos )

2 4

 x 

當 1

cosx 時， ( )2 f x 有最小值11 4 cosx 1時， f x 有最大值 5 ( )

演練

例題 8 三角函數的極值 8

演練

例題 7 三角函數的值域的應用 7

三角函數

01

自我 評量 _評量

自我

三角函數

2 1. 設acos12、_bcos34、_ccos56，則a、b、c 的大小順序為 a b c  。

3 2. 設asin100、_{bsin120}、_{csin140}，則a、b、c 的大小順序為 a b c  。

4 3. 設asin130、bcos( 50 )  、ctan 770，則a、b、c 的大小順序為 c a b  。

5 4. 函數 ( ) 3sin 2f x  x的週期為  ^。

5 5. 函數 ( ) 2cos(3 ) f x _ x_2

的週期為 2 3

 。

5 6. 函數 ( ) 2 tan( ) 4 2 2

f x _ x _ _{ 的週期為}

2 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

6 7. 已知5sin² 7sin   ，則6 0 sin  3

5 。

7 8. 已知函數 ( ) 2sinf x  x ，則 ( )3 f x 的最大值為 5 ，最小值為 1 。

8 9. 已知函數 2 ² ( ) (sin ) 4

f x  x3  ，則 ( )f x 的最大值為 61

9 ，最小值為 4 。

8 10. 已知函數 f x( ) (sinx2)² ，則 ( )3 f x 的最大值為 2 ，最小值為 6 。

8 11. 已知函數 f x( ) sin²xsinx ，則 ( )1 f x 的最大值為 5

4 ，最小值為 1 。

三角函數

1-5 正弦與餘弦定理

重點一 正弦定理

正弦定理

在△ABC中，若 a、b、c 分別表示△ABC三內角 、 BA  、C的對邊，R 為△ABC之

外接圓半徑，則 2

sin sin sin

a b c

A B  c  R。

已 知 △ABC 中 ， _{ A 60} 、 _{ C 75} 、 6

BC  ，試求_AC及外接圓半徑長。

180 60 75 45

 B        由正弦定理知：

6 2

sin 45 sin 60

AC   R

 

 3 2

2 6 2 AC  

AC2 6

又 6

sin 60 2R

  6 3RR2 3

已 知 △ABC 中 ， _{ A 30}、 _{ B 105} 、 8

c ，試求_a之值及外接圓半徑長。

180 30 105 45

 C        由正弦定理知：

8 2

sin 30 sin 45

a   R

 

 ¹ 8 ¹

2 2 a  

a4 2 又 4 2

sin 30 2R

 R4 2

ABC

△ 中，若 ： BA  ： C 1：2：3，

試求a：b：c。

180 1 30

1 2 3

 A    

 

180 1 60

1 2 3

 B    

 

180 30 60 90

 C        a：b：csin A：_{sin B}：_{sin C} ^{sin 30}：_{sin 60}：_{sin 90}

1

 ：2 3

2 ：1 1： 3 ：2

ABC

△ 中，若 ： BA  ： C 1：1：2，

試求a：b：c。

180 1 45

1 1 2

 A    

  45

 B ， C 90

a：b：csin A：_{sin B}：_{sin C} ^{sin 45}：_{sin 45}：_{sin 90}

¹

 2 ： ¹ 2 ：1  1：1： ²

小叮嚀

a：_b：_c_sinA：_{sin B}：_{sin C}。

演練

例題 1 正弦定理 1

演練

例題 2 正弦定理 2

重點二 餘弦定理

1. 餘弦定理（已知兩邊一夾角求第三邊）

在△ABC中， 、 BA  、C的對邊長依次為a、b、c，則 (1)a² b² c² 2 cosbc A。

(2)b² a² c² 2accosB。 (3)c² a²b² 2abcosC。 2. 餘弦定理（已知三邊求角）

(1)

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

 

 。

(2)

2 2 2

cos 2

a c b

B ac

 

 。

(3)

2 2 2

cos 2

a b c

C ab

 

 。

在 △ABC 中 ， 已 知 _{ A 60} ， _AB3 、 4

AC  ，試求_BC的長。

由餘弦定理知

2 2 2 2 cos a b c  bc A

4²3²   2 4 3 cos60 ^{25 12 13 }

∴BC a  13

在△ABC 中 ， 已 知_{ B 120}， _AB5、 4

BC  ，試求_AC的長。

由餘弦定理知

2 2 2 2 cos b a c  bc B

4²5²   2 4 5 cos120 ^{41 20 61 }

∴AC b  61

演練

例題 3 餘弦定理：已知兩邊一夾角求第三邊 3

三角函數

已知△ABC中，AB 、2 BC 3、 4

AC  ，試求_{cos A}之值。

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

 

 4² 2² 3²

2 4 2

 

  

11

16

已知△ABC中，AB3、BC5、 7

AC  ，試求最大內角的角度。

∵大角對大邊 B 的角度最大

∴

2 2 2

cos 2

a c b

B ac

 

 5² 3² 7² 2 5 3

 

  

1

  2 故_{ B 120}

重點三 三角形的解法

三角形的解法

1. 若已知二個角及一個邊長（即 AAS 或 ASA），則用正弦定理。

2. 若已知三邊（即 SSS）或兩邊的邊長及此兩邊的夾角（即 SAS），則用餘弦定理。

3. 若已知兩邊及一對角（即 SSA），則用正弦定理，可能有二解、一解或無解，其限制條件 為_{0 sin}  ₁， _{1 cos} ₁， 為 ABC△ 中任一內角。

在△ABC 中，已知_{ A 45} ，_{ C 75}， 12

AC  ，試求 及B BC之值。

180 45 75 60

 B        由正弦定理知

12 sin 45BC  sin 60

  3 2

2 12 2 BC   BC 4 6

在△ABC 中，已知_{ A 120}，_{ B 30}， 9

BC  ，試求_C、AB 及AC之值。

180 120 30 30

 C        由正弦定理知

9

sin120 sin 30 sin 30

AC AB

 

  

 3 1

2 9 2

AC   ， 3 1

2 9 2 AB  

AC 3 3，AB3 3

6 ^演練 6

例題 5 ASA或AAS 5

演練

例題 ４ 餘弦定理：已知三邊求角 ４

已 知 △ABC 中 ， a2 、 b 6 、 3 1

c  ， 試 求 △ABC 的 三 內 角  、A

 、B C的度數。

由餘弦定理知：

2 2 2 62 ( 3 1)2 22

cos 2 2 6 ( 3 1)

b c a

A bc

    

 

  

2 3 ( 3 1) 1 2 6 ( 3 1) 2

  

 

  

∴_{ A 45}

2 2 2 22 ( 3 1)2 62

cos 2 2 2 ( 3 1)

a c b

B ac

    

 

  

2 ( 3 1) 1 2 2 ( 3 1) 2

 

 

  

∴_{ B 60}

故_{ C 180}     _{45 60 75}

已知△ABC 中，a2、b2 3、c2， 試求△ABC 的三內角 、 BA  、C的度 數。

由餘弦定理知：

2 2 2

cos 2

b c a

A bc

 



2 2 2

(2 3) 2 2 3 2 2 3 2 2

 

 

 

∴_{ A 30}

又_{a c 2} ∴ C 30 故_{ B 180}     _{30 30 120}

演練

例題 6 ^SSS 6

三角函數

已 知△ABC 中 ， BC 2 ， AC  3 1 ， 45

 C ，試求 AB 的長及 A 、 B 的度 數。

由餘弦定理知：

2 2 2 2 cos

c a b  ab C

2 2

2 ( 3 1) 2

     2 ( 3 1) cos 45   2 4 2 3 2 3 2 4

     

∴_{AB c} ₂

2 2 2 ( 3 1)2 22 22

cos 2 2 ( 3 1) 2

b c a

A bc

    

 

  

2 3 ( 3 1) 3 2 ( 3 1) 2 2

  

 

  

∴_{ A 30}

故_{ B 180}     _{30 45 105}

已 知 △ABC 中 ， AB3 ， BC 3 3 ， 30

 B ，試求 _AC 的長及 、A C 的度 數。

由餘弦定理知：

2 2 2 2 cos b a c  ac B

(3 3)²  3² 2 3 3 3 cos30   27 9 27 9  

∴_{AC b 3}

又_{AC AB3} ∴ C 30 故_{ A 180}     _{30 30 120}

演練

例題 7 ^SAS 7

自我 評量 _評量

自我

1 1. 已知△ABC中，_{ A 45}，_{ B 75}，_AB6，則_BC 2 6 。

1 2. 已知△ABC中，_{ B 30}，_b5，則△ABC的外接圓面積為 25 ^。

3 3. 在△ABC中，已知_{ B 60}，_AB5，_{BC 7}，則_{AC } 39 。

4 4. 在△ABC中，已知AB 7，_{AC 3}，_{BC 2}，則_{ C} 60 。

6 5. 在△ABC中，已知_a2、b 3 1 、c 2 ，則 A 135 ，_{ C} 30 。

7 6. 在△ABC中，已知_a2、b 3 1 、 C 60，則AB  6 ， A 45 ，

 B 75 。

■ 對應例題