費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理

費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理

張 雄

摘要: 平衡態公理 (最小勢能原理) 為解決費馬問題提供了力學依據, 用不同的數學 方法進行了證明。 同時, 用平衡態公理和數學方法相結合解決費馬—斯坦勒爾問題 更簡單。

關鍵字: 費馬—斯坦勒爾問題, 平衡態公理, 偏導數, 幾何證明。

1. 費馬問題

1640 年, 費馬提出問題: 平面上給定三個點 A, B, C, 求一點 P 使 P A + P B + P C 最 小。

此即費馬問題, 這個所求點 P 稱為費馬點。 關於費馬點的存在性, 可以用力的平衡原理來 考慮: 因為作用在這一點的三個相等的力要平衡的話, 它們的合力為零, 三個力各指向這一點和

△ABC 三頂點連線的方向, 且三者互相夾角為 120^◦。 所以, 該點一定存在, 且這一點到三頂 點連線的夾角均為 120^◦ (當 △ABC 的內角均小於 120^◦ 時, 在 △ABC 內一定有點 P , 使

∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = 120^◦; 當 △ABC 的內角有不小於 120^◦ 者, △ABC 內滿 足 ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = 120^◦ 的點 P 不存在, 根據問題條件 P 點又不可能在

△ABC 外, 易知所求點 P 應在最大內角頂點處)。 該原理較詳細的推導, 我們將在後面更一般 化的斯坦勒爾問題中進行。

用數學方法進行推導, 先建立平面直角坐標系 xoy, 設 A(x1, y¹)、B(x², y²)、C(x³, y³), P (x, y), 則使

W = f (x, y) =

3

X

i=1

p(x − xi)²+ (y − yi)² 取最小值的點 P 就是所求的費馬點。

現在可以通過對 W 求 x, y 的偏導數求得 P 。 要使 W 在 △ABC 的內部取最小值, 必 有 ^∂w_∂x = 0, ^∂w_∂y = 0, 從而得:

3

X

i=1

x − xi

p(x − xi)²+ (y − yi)² = 0,

3

X

i=1

y − yi

p(x − xi)²+ (y − yi)² = 0, (1)

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考慮三維向量: X = (x − x¹, x − x², x − x³)、Y = (y − y¹, y − y², y − y³)、 R = (1

r¹, 1 r², 1

r³) (記 ri =p(x − xi)²+ (y − yi)²)。

由 (1) 及向量的點積公式可知 ~X · ~R = 0, ~Y · ~R = 0。 因此向量 ~R 垂直於向量 ~X、~Y 所 在的平面, ~R// ~X × ~Y 。 再由向量叉積公式可知

X × ~~ Y =

    

x − x² x − x³ y − y² y − y³      ,

x − x³ x − x¹ y − y³ y − y¹      ,

x − x¹ x − x² y − y¹ y − y²     



= ±(2S_{△P BC}, 2S_{△P CA}, 2S_{△P AB})

= ±(r²r³sin ∠BP C, r³r¹sin ∠CP A, r¹r²sin ∠AP B) 因為 ~R// ~X × ~Y , 所以 ~R = λ( ~X × ~Y ), 即

(1 r¹, 1

r², 1

r³) = λ( ~X × ~Y ) 從而可知 sin ∠BP C = sin ∠CP A = sin ∠AP B = 1

λr1r2r3

。 因此, 所求點 P 滿足

∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = 120^◦。

下面介紹找出點 P 的幾何方法 (只就 △ABC 的內角均小於 120^◦ 的情形)。

方法一: 以 △ABC 的各邊為邊長向外作正 △ABD、 正 △BCE、 正 △CAF , 很容 易證明這三個正三角形的外接圓交於一點 P , P 為費馬點 (實際上作兩個外接圓就可確定交點 P )。

方法二: 由 △ABC 的三邊為邊長向外作正 △ABD、 正 △BCE、 正 △CAF , 則 AE、BF 、CD 三線共點且此點就是所求點 P 。

圖1 證明: 如圖 1, 設 BF 、CD 相交於點 P , 連

AP 、EP 。 由於 △ACD ∼= △AF B, ∴ ∠ACP =

∠AF P 。 從而 A、F 、C、P 四點共圓。 得 ∠CP F =

∠CAF = 60^◦, ∠AP F = ∠ACF = 60^◦。 ∴

∠AP C = 120^◦。 同理可得, ∠AP B = 120^◦。 那 麼 ∠BP C = 120^◦。 又由於 ∠BEC = 60^◦。 ∴ B、E、C、P 四點共圓。 從而 ∠BP E = ∠BCE = 60^◦, 又 ∠AP B = 120^◦。 ∴ A、P 、E 三點共線。 故 AE、BF 、CD 三線交於一點 P 。

圖2 如圖 2, 設 G 為 △ABC 內異於點 P 的任一

點, 延長 AP 到 F , 使 P E = P B, EF = P C, 即 AF = P A + P B + P C。 在 △ABC 內, 連接 GA、GB、GC, 以 GB 為一邊作正 △GBM, 連接 MF 、BF , 在 △P BC 與 △EBF 中, P C = EF , P B = EB, ∠CP B = ∠F EB = 120^◦, 所以

△P BC ∼= △EBF 。

從而 ∠P BC = ∠EBF , BC = BF 。 在 △GBC 與在 △MBF 中, 因為 ∠GBM =

∠P BE = 60^◦, ∴ ∠GBP = ∠MBE, 從而 ∠GBP + ∠P BC = ∠MBE + ∠EBF , 即

∠GBC = ∠MBF 。 又 GB = MB, BC = BF 。 ∴ △GBC ∼= △MBF , 則 GC = MF 。 因此,

GA + GB + GC = AG + GM + MF > AF = P A + P B + P C.

故 P 點到 A, B, C 三點距離之和為最小。

2. 費馬—斯坦勒爾問題與平衡態公理 (勢能最小原理)

費馬—斯坦勒爾問題: 設 A, B, C 是三個礦井, 其每日的礦石產量分別為 k1、k2、k3。 今 需選擇一個地點 P 將三礦井每日所產礦石集中, 以便統一處理後運走。 問應如何選擇 P 點才 能使集中礦石所需的運輸量 k¹P A + k²P B + k³P C 最小?

這一問題顯然是前面問題的推廣 (加權)。

平衡態公理: 獨立體系最終總是趨於一個能量儘量低的穩定狀態, 而永遠不能自動地離開 它; 該平衡態是唯一的。 這一原理也稱為勢能最小原理。

我們關心的是下面兩層意思: 能量最低, 即存在最小值; 平衡包括力學平衡、 熱學平衡等, 也就是存在一系列等式。 平衡存在, 不一定是能量最低; 能量最低, 則必然存在平衡, 這是我們 把該原理引入數學問題解決的依據。

圖3 如圖 3所示, 在 △ABC 所在平面內的 A、B、C

三點各鑽一個孔, 然後將三條繩子繫在一起, 設結點 為 P , 繩子分別穿過三孔, 繩下所受重力分別為 q1、 q²、 q³ 的物體各一件, 當它們平衡時, 它們離地面的 高度分別為 h¹、 h²、 h³, 則整個系統的勢能, 即三個 重物勢能之和為 E = q1h¹+ q²h²+ q³h³。 又設結點 P 到 A、B、C 三點的距離為 r¹, r², r³ 且繫三重物 的繩長分別為 l¹, l², l³, 又若平面離地面高度為 h,

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則有 ri+ (h − hi) = li (i = 1, 2, 3), 即 hi = ri+ h − li, 故前式可寫為 E = q¹r¹+ q²r²+ q3r3+ c, 其中 c = (q1+ q2+ q3)h − (q1l1+ q2l2+ q3l3) = 常量。 顯然當系統處於平衡時勢 能 E 最小, 即 q¹r¹+ q²r²+ q³r³ = E − c 最小。

而平衡態公理又告訴我們: 當該體系達到平衡狀態時, 必然存在力學平衡, 即繩結 P 所 受的合外力為零。 根據力的合成, 我們便可得到這個點所滿足的數量關係為:

sin ∠BP C

q¹ = sin ∠CP A

q² = sin ∠AP B q³ . 下面略證滿足上式的點 P 即為所求點。

若 P 滿足上式, 如圖 4 所示, 過 A, B, C 三點分別作 P A、P B、P C 的垂線, 垂線構成的 三角形為 △DEF 。 考慮角的互補, 顯然有

sin ∠D = sin ∠BP C, sin ∠E = sin ∠CP A, sin ∠F = sin ∠AP B.

圖4 又在 △DEF 中, 用正弦定理, 有

EF

sin ∠D = F D

sin ∠E = DE

sin ∠F = 2R (其中 2R 為 △DEF 外接圓直徑), 則

sin ∠BP C = EF

2R, sin ∠CP A = F D

2R, sin ∠AP B = DE 2R , 從而得

EF

q¹ = F D

q² = DE

q³ = k (常數)。

又

S_△DEF = S_{△EP F} + S_{△F P D}+ S_{△DP E}

= 1

2(EF · P A + F D · P B + DE · P C)

= k

2(q¹P A + q²P B + q³P C).

又若 M 為 △ABC 內異於 P 的另外一點, 顯然有 k

2(q¹MA + q²MB + q³MC) = 1

2(EF · MA + F D · MB + DE · MC)

≥ S_{△M EF} + S_{△M DF} + S_{△M DE} = S_△DEF

所以

k

2(q¹P A + q²P B + q³P C) ≤ k

2(q¹MA + q²MB + q³MC), 即

q¹P A + q²P B + q³P C = q¹r¹+ q²r²+ q³r³ ≤ q¹MA + q²MB + q³MC.

當 q¹ = q² = q³ 時, 即為費馬問題。

例. 設平面 xoy 上有三點 O(0, 0), P (12, 0), Q(8, 6), 求 W = 5|RO|+4|RP |+3|RQ|

取最小值時 R 的坐標?

設 R 的坐標為 (x, y), 於是 W = 5p

x²+ y²+ 4p

(x − 12)²+ y²+ 3p

(x − 8)²+ (y − 6)². 通過對 W 求 x, y 的偏導數 ∂W

∂x 、 ∂W

∂y 可得。

如果用平衡態公理則簡潔的多。 可令 q1 = 5N, q² = 4N, q³ = 3N, 繩結的坐標為 R^′, 則體系的勢能為 W^′ = 5|R^′O| + 4|R^′P | + 3|R^′Q|。 根據平衡態公理, R^′ 所受的合外力為零, 由力的合成得

∠P R^′Q = 90^◦, ∠OR^′P = cos⁻¹(−0.8), ∠OR^′Q = cos⁻¹(−0.6).

然後, 過點 Q, R^′, P 作圓, 圓心坐標為 S(10, 3); 過 O, R^′, P 作圓, 圓心為 T , 因為

∠OR^′P = cos⁻¹(−0.8), 所以 z {

OP 所對的圓心角為 2 sin⁻¹0.6, 則 ¹₂∠OT P = sin⁻¹0.6, 從而 T 的坐標為 (6, −8)。

由此可得, R^′ 在圓 (x − 10)²+ (y − 3)² = 13 和 (x − 6)²+ (y + 8)²= 100 上。 解得 R^′ 的坐標為 (⁸⁹⁶₁₃₇,²⁷²₁₃₇) 時, W = 5|RO| + 4|RP | + 3|RQ| 有最小值。

參考文獻

1. 堵丁柱, 談談斯坦納樹, 數學通報, 1995 年第 1 期。

2. 王申懷, 利用導數求費馬問題的解, 數學通報, 1995 年第 11 期。

3. 張雄、 李得虎, 數學方法論與解題研究, 北京: 高等教育出版社, 2003 年 8 月版。

—本文作者任教陜西教育學院數理工程系—