勾股定理證明-G131
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向內作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向內作一正方形 CAGF 。
2. DE 與 AB 交於 N 點。
3. BK 與 GF 交於 M 點。
4. 連接 GH (於求證過程第 2 點可得 H G F共線)。
5. 連接 DK ，與 GF 交於 L 點 (於求證過程第 4 點可得 E D K共線)。
A B
D
F E
K C
H
L
M N
G
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別作三個正方形，證明正方形 AHKB 的區域，經過圖 形的切割、拼合與平移等過程，重新拼合出與正方形 CBDE 與正方形CAGF 相等的區 域，最後由面積相等推出畢氏定理的關係式。
1. 證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等：
因為 GA CA 且 AH AB，又GAH 90 GAB CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
2. 證明 H G F共線：
由 GAH CAB證明結果可知AGH ACB 90 ，所以AGH AGF 180，
因此
H G F共線.
3. 證明三角形DKB 與三角形 CAB 全等：
同理， DB CB 且 KB AB，又DBK 90 ABD CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
4. 證明E D K共線：
由 DKB CAB證明結果可知BDK BCA ，所以90 BDK BDE 180， 因此
E D K共線.
5. 證明三角形LHK 與三角形 CAB 全等：
因為 HK AB，由 H G F 共線與 E D K 共線的關係，得到 HL // AC 且
LK //CB ，又 AB // HK ，由平行關係得到對應角相等，所以 LHK CAB
(ASA 全等).
6. 證明三角形LKM 與三角形 DBN 全等：
因為 LK CBDB,LKM 90 DBK DBN,KLM BDN 90， 所以
LKM DBN
(ASA 全等).
7. 證明三角形 EAN 與三角形 FBM 全等：
因為 AE ACCECFCBBF,EAN 90 CBA FBM, 90
AEN BFM
，所以
EAN FBM
(ASA 全等).
8. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
( )
( )
( )
AHKB AGMB GAH LHK LKM
AGMB CAB CAB DBN
AGMB CAB EAN
ENBC DBN ENBC DBN
AGMB CAB FBM
CBDE CAGF
正方形 面積＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＋四邊形 面積 ＋ 面積
＝ 四邊形 面積＋ 面積
＋ 四邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB CB CA 即
2 2 2
. c a b
A B
D
F E
K C
H
L
M N
G
A B
D
F E
K C
H
L
M N
G
A B
D
F E
K C
H
L
M N
G
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 73-74.
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.161). New York : Macmillan and co.
Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 359.
2. 心得：此證明的圖形與 G132 的圖相同，輔助線的畫法皆與三角形 ABC 的邊成平行 關係，使學生較容易看出對應角的相等關係，利用圖形的全等，經過旋轉與 平移的技巧拼合面積。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 說明：此證明的輔助圖與 G132 圖相同，但證明過程因將三個區塊重組為凸五邊形，
比 G132 出現的凹五邊形，證明審視過程比較輕鬆。(說明圖中前後過程相同 的顏色，代表面積和的相等關係)
＋
