勾股定理證明-A048
【作輔助圖】
1. 從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於D點。
2. 將三角形 ACD 以 AC 為對稱軸作出三角形 ACE 。 3. 將三角形 BCD 以 BC 為對稱軸作出三角形 BCF 。
4. 分別在CE CF 上取, G 點及H 點，使得 EGFH AB。
5. 以AE EG 為邊長作矩形, AEGI ；以BF FH 為邊長作矩形, BFHJ 。 6. 連接CI CJ 。,
7. 從I點作 AC 的垂線，交 AC 延長線於K點；從 J 點作 BC 的垂線，交 BC 延長線於L 點。
A B
C
D E
F G
H I
J K
L
【求證過程】
在直角三角形 ABC 外作輔助線，先說明圖中部分的三角形全等，最後將圖中兩個 三角形用兩個不同方式算面積，推出勾股定理的關係式。
1. 首先證明三角形 ABC 與三角形IAK、三角形 BJL 皆全等，並推出邊長關係：
因為 AI AB, ACB IKA 90 且
180 180 90
90 90
,
KAI CAI
CAE CAE
CAD ABC
，
可推得 IAK ABC( AAS 全等)，同理，可推得BJL ABC，所以 ,
IAK BJL ABC
由此可知：
, .
KI AC JI BC
2. 利用不同的底與高求三角形面積，推出邊長關係，將等式整理，推出勾股定理的相 關式：
在三角形 ACI 以 AI 為底，則高為 AE ，又以 AC 為底，則高為 KI ，比較面積的不同 呈現方式，整理得
2
1 1
2 2
. AI AE AC KI AB AD AC AC AB AD AC
同理，在三角形 BCJ 以 BJ 為底，則高為 BF ，又以 BC 為底，則高為 JL ，比較面積 的不同呈現方式，整理得
2
1 1
2 2
. BJ BF BC JL AB BD BC BC AB BD BC
將上面推出的兩式相加可得
2 2
2 2
2 2
2 2 2
, AB AD AB BD BC AC
AB AD BD BC AC AB AB BC AC AB BC AC
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：
根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是他在 1926 年 1 月 31 日想出來。
2. 心得：
此證明是先利用三角形全等的性質，並利用圖形不同的底對應到不同的高，
來找出一些等式，將其整理即可推出勾股定理，過程也不複雜，比較困難的 是要能找到對應的高，只要可以找到，就很容易可以推出結論。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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