勾股定理證明-G241
【作輔助圖】
1. 在直角三角形ABC 的三邊上分別以三邊為底邊作相似的等腰三角形 , ,
BCD ACE ABF
。
2. 作三等腰三角形的高，分別為DG EH FI 。 , , 3. 在三個高上分別取中點 , ,J K L 。
A B
C
D E
F H G
I K J
L
4. 以AB 邊為長方形的一邊， L 為對邊上的一點，作 ABML 。
5. 接著過 ,J K 分別作平行於 BC , AC 的平行線，交於 O ，並連 OC 並延伸交AB 於 S ， 交 PQ 於T 。
6. 最後分別過 ,A B 作 OC 的平行線，交過K J 平行於 AC , BC 的平行線於 ,, P Q ，連 PQ 。其中四邊形ACOP 及 BCOQ 為平行四邊形。及過 C 作 OP 的垂直線，垂足 R 。
M N
O
P Q
R
S T
A B
L
C J
K
H G
I
【求證過程】
先證明作圖的方式製造出來的三邊上的長方形及平行四邊形，分別與三邊上的相 似等腰三角形的面積相等。因此我們要證明的目標就可以轉變為兩個平行四邊形面積 和等於長方形面積。接著透過平行四邊形的特性以及相似三角形的邊長成比例，我們 就可以證明它們的面積關係式。最後因為我們知道相似三角形的面積比就是邊長平方 比，也就證明了畢氏定理。
1. 證明三角形面積與對應的四邊形面積相等：
我們有
1 1
( ) ,
2 2
BCD BC GD BC GD BC GJ BCOQ
還有
1 1
( ) ,
2 2
ACE AC HE AC HE AC HP ACOP
以及
1 1
( ) .
2 2
ABF AB IF AB IF AB IL ABMN
2. 接著我們證明PQO,ABC為全等的直角三角形：
因為
( ), AC PO ACOP 並且
( ), BCQO BCOQ 以及
=(180 )+(180 ) ( , )
=360
= ,
POQ POC QOC
ACO BCO ACOP BCOQ ACO BCO
ACB
所以
ABC PQO
(SAS 全等).
3. 證明COR,ABC為相似三角形：
因為
90 ,
CRO ACB
並且
12 ( ),
12
CR HK HE HE AC
BCD ACE OR GJ GD GD BC 所以我們有
COR ABC
(SAS 相似).
4. 證明 OC 與IL 等長：
因為
( ),
OC AB
ABC COR RC AC 並且
1 2
1 ( )
2 , KH EH
AC AC
FI ACE ABF AB
IL AB
所以我們可以推得
RC KH IL .
OC AB AB AB IL
AC AC AB
5. 證明平行四邊形四邊形 ABQP 為長方形：
因為
= + ( )
=90 ,
PAB PAC CAB
COR OCR ACOP ABC COR
對角相等以及
又四邊形 ABQP 為平行四邊形, 所以它為長方形.
6. 最後讓我們來證明面積關係式：
= ( )
=
( )
.
ACE BCD PACO QBCO PAST QBST PABQ
PA PQ
CO AB PACO ABC PQO IL AB
ABMN ABF
同底等高
以及
又因為相似形的面積比就是邊長平方比,
2 2 2
, k BC k AC k AB 也就可以得到畢氏定理關係式,
2 2 2
. BC AC AB
【註與心得】
1. 來源：此證明源自於 Loomis，他在《勾股定理》一書中提到他在 1933 年十月寫 下這個證明，在那之前他不曾聽過看過以直角三角形三邊上任意高的相似 等腰三角形來證明畢氏定理。收錄在Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編 號第241 號
2. 心得：這個證明在《勾股定理》幾何篇中特別具有意義，我們可以把一些看似困 難的直角三角形邊上相似形面積證明題，先利用等面積作圖變成邊上的相 似等腰三角形，再引述這個證明的過程，即可以證明畢氏定理。例如接下 來的篇號242，他原先的問題是邊上的相似五邊形或是正五邊形，都可以 變換成這個問題。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面 積公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。
