1 連續函數與函數的極限

1 ^{連續函數與函數的極限}

連續函數在數學上是很重要的課題，函數的連續與否會影響到許多性 質、定理的成立，因此也是非常有必要討論的。然而函數怎麼樣叫做連續 呢？且讓我們先做點直觀上的討論。

圖

(a)

看起來就連續不斷。至於圖

(b)

出現一個斷點，它在 x = 2 時是 無定義的。所以在 x = 2 時不連續，在其它地方連續。圖

(c)

中在 x= 0 及 x = 2 處是有定義的，但很明顯發生斷裂，也是不連續。至於圖

(d)

在靠近 x= 0 時不斷來回震盪，所以也是不連續。

(a)

2

(b)

2

(c)

2

(d) Figure 1: 連續與否的幾種情況

者是直觀無法完全說明的事。例如上圖

(d)

或許也有人覺得看起來很連續 呀，但是我覺得並不連續，那你覺得誰才是對的？或是像

y=

1 x∈ ‘ 0 x∈ ’ \ ‘

有人說它處處都有斷開，所以處處不連續。也有人說有理數不是稠密的 嗎？所以畫出圖來後，那些 y = 1 應該是看起來很連續的，無理數也是稠 密的，所以那些 y = 0 應該也都很連續呀！如果你知道他說錯了，你要怎 麼反駁他呢？甚至，這些還是把函數給畫出圖來的情況，沒給你圖，你能 幫我判斷 f (x)=∑^∞

n=0

0.78ⁿcos(3ⁿπx) 是否連續嗎？

事實上，在微積分剛發展時，由於大多時候處理的都是連續函數，所以 數學家們似是不曾想過，也沒必要去在意這個問題。直到十八世紀時，開 始在物理問題上出現一些不連續函數，迫使數學家們在微積分的應用上必 須面對函數可能不連續的問題。為了不訴諸直觀、造成爭議的發生，數學 家們逐漸在數學中使用形式化的定義取代口語的定義。雖然形式化的定義 會讓同學覺得好像很難讀，但其好處是可以幫助我們精確地下判斷。

從對於圖組

Figure 2

幾種情況的觀察中，我們對於連續下這樣的結論：

如果函數 y= f (x) 在 x = a 處連續，那麼首先必須函數值 f (a) 是有定義的，

再來是在 x = a 的附近，函數值的趨勢必須是越來越靠近 (a, f (a)) 這個點。

而以上若不成立，就是不連續。如果以這個當作判斷法則，就可以正確地 區分出連續與否。然而，這就牽涉到了函數極限的概念。

如果函數 y= f (x) 在 x = a 附近有定義，並且隨著 x 越來越靠近、無限地 靠近 a 時，函數值 f (x) 隨之越來越靠近、無限地靠近某個值 L，則稱 L 為函數在 x 趨近到 a 時的極限。符號上可以記作：當 x→ a， f (x) → L。

或者是使用 lim 符號：

limx→af (x) = L

定義 1.1 函數的極限

函數 y= f (x) 在 x = a 處連續，若且唯若 limx→af (x)= f (a)

而如果函數 y = f (x) 在區間 I 上的每個點都連續，則稱 f (x) 在區間 I 上連續。如果函數 y = f (x) 在整個實數 ’ 上連續，則稱 f (x) 處處連續

（

continuous ever here

^）。

定義 1.2 連續的定義

別小看這一條式子，表面看似一條，其實是三個條件要成立：

1.

函數值 f (a) 有定義

2.

極限 lim

x→af (x) 存在

3.

上述兩者相等

當然嘛，你要說 A= B，先決條件 A 和 B 要先存在，才談得上相等與否。

而既然連續的條件是三者成立，那麼只要其中一個不成立，便是不連續 了。例如圖

(b)

中的 x= 2 處是函數值不存在；圖

(c)

中的 x= 0 處函數值存 在，但是極限不存在；圖

(c)

的 x = 2 處則是函數值與極限都存在，可是函 數值不等於極限值；至於圖

(d)

的 x = 0 處，那也是極限不存在。

為了方便，我們對於不連續點進行分類。如果極限值 lim

x→af (x) 存在，則 無論函數值 f (a) 不存在，或是雖存在但與極限值不相等，我們皆稱之為 可去間斷點 （

removable discontinuit

）。如此命名，乃是因為我們可以透過 重新定義函數值，或者在函數無定義處補上函數值定義，來使之成為連續 點。例如圖

(b)

中的 x = 2 處，我們只要補上 f (2)，它就變得連續了。以 及圖

(c)

的 x = 2 處，我們改變 f (2) 的值，使其與 lim

x→af (x) 相等，就變得連 續。至於圖

(c)

中的 x = 0 處與圖

(d)

的 x= 0 處，無論我們怎麼定義 f (2)，

都仍會是不連續，這種不連續點我們稱之為不可去間斷點 （

ir emovable discontinuit

^）。

目前對於連續的定義，算是大概有點概念了，但是現在要先花時間探討 函數的極限。待我們對於求函數極限更為熟習之後，才有辦法進行關於函 數連續以及其它課題的探討。

求極限 lim

x→21

常數函數 y= 1 是處處連續的，所以 limx→21= 1

2

例題 1.2

求極限 lim

x→2x²

畫出拋物線 y = x²，因為拋物線處處 連續，在 x= 2 處也連續，所以

limx→2x²= 4

2 (2, 4)

目前你可能還不服氣：「你跟我說連續函數要用極限來定義，現在求極 限又說因為連續所以知道極限值！ 」以下介紹如何更解析地（

analy ically

^）

求極限值。不過在此之前，還須再介紹多點關於連續函數。

一旦認識連續的定義是 lim

x→a f (x) = f (a)，那麼如果遇到極限問題，只要 判定函數是連續的，就可以直接代入，非常方便！那麼，哪些函數是連續

1.

^{冪函數 xa a 可以是任意實數}

2.

三角函數 sin(x) 和 cos(x)

3.

^{指數函數 ax}

4.

^{對數函數 log}ax

再配合以下這些基本性質：

若 f (x) 與 g(x) 皆在 x= a 處連續，c 為一常數，則以下函數也在 x = a 處連 續：

1.

^{f (x)}± g(x)

2.

^c· f (x)

3.

^{f (x)}· g(x)

4.

_g(x)^{f (x) 條件是 g(a)}, 0

5.

^{f (g(x))}

性質 1.1 連續函數的基本性質

有了以上這些基本性質，我們就認識了更多連續函數！

例題 1.3

求極限 lim

x→1x⁴− 5x³+ 3x²+ 2

因為 y= x⁴, y = x³, y = x²與 y= 2 皆是處處連續的，所以將他們作線 性組合後所得之 y= x⁴− 5x³+ 3x²+ 2 也是處處連續的。因此

limx→1x⁴− 5x³+ 3x²+ 2

=1 − 5 + 3 + 2 = 1

求極限 lim

x→2x²· 3^x

因為 y= x²與 y = 3^x 皆是處處連續的，所以相乘後所得之 y= x²· 3^x 也是處處連續的。因此

limx→3x²· 3^x

= 3²· 3³ = 243

例題 1.5

求極限 lim

x→^π3

tan(x)

因為 y = sin(x) 與 y = cos(x) 皆是處處連續的，所以相除後所得之 y= tan(x) = _cos(x)^sin(x) 在分母 cos(x) 不為 0 處（x , ^2k₂⁺¹π）都是連續的。

因此

lim

x→^π3

tan(x)= tan(π 3)= √

3

例題 1.6

求極限 lim

x→1

x²− 1 x− 1

因為 y= x²− 1 與 y = x − 1 皆是處處連續的，所以相除後所得之 y= ^x_x²₋₁⁻¹ 在分母 x− 1 不為 0 處…咦？

題目正是問 x→ 1，會使分母為 0 之處，所以現在沒辦法直接代入得 到極限值。這種情況，只好對函數作些處理：

y= x²− 1

x− 1 因式分解

= (x+ 1)(x− 1)

x− 1 如果 x− 1 , 0，就可以消去

= x + 1

我們得到結論，原來的函數其實就是

y=

x+ 1 , x , 1 無定義 , x = 1 所以

limx→1

x²− 1 x− 1 = lim

x→1x+ 1 = 2

2

1

消去共同因式的方法，相信很多人都會，甚至高三學生就已經會用了。

但在此我想強調一下，到底為什麼我們能夠這樣子消。

!

函數 y = ^x_x²₋₁⁻¹ 與函數 y = x + 1 並不相等，前者在 x = 1 處無定義，後者 在整個 ’ 上都有定義，所以我們不能說 ^x2−1

x−1 = x + 1，但是我們可以寫 limx→1

x²−1 x−1 = lim

x→1x+ 1。這樣寫並不是函數相等的意思，而是極限相等。因為 我們是在處理 x → 1 時的極限，就是在看，當 x（從不是 1 的地方）越來越 靠近 1 時，函數值 y 是否隨之趨近到一個定值。而函數 y = ^x_x²₋₁⁻¹ 在 x 不是 1 時又完全等於函數 y= x + 1，那麼 lim

x→1

x²−1

x−1 就會等於 lim

x→1x+ 1 了。

求極限 lim

x→3

x²+ 14x − 51 x³− 5x²+ 4x + 6

limx→3

x²+ 14x − 51 x³− 5x²+ 4x + 6

= lim

x→3

XXXX(x− 3)(x + 17)

XXXX(x− 3)(x²− 2x − 2)

= lim

x→3

(x+ 17) (x²− 2x − 2)

= (3+ 17)

(3²− 2 · 3 − 2) = 20

不必擔心因式分解的問題，一個多項式代 x= 3 為什麼會是 0 呢？這 表示它一定有 (x− 3) 這個因式，這是高中所學的因式定理。既然已 知有因式 (x− 3) 了，剩下的只不過是除法便可出來。

例題 1.8

求極限 lim

x→0

√4+ x − 2 x

現在面對的並非有理函數，沒辦法繼續用同一招因式分解再消去共 同因式。不必擔心，遇到這種有根號相減的不定式，通常寫一下有 反理化就可以了。

limx→0

√4+ x − 2 x

= lim

x→0

( √4+ x − 2) ( √

4+ x + 2) x( √

4+ x + 2)

= lim

x→0

4+ x − 4 x( √

4+ x + 2)

= lim

x→0

Ax

Ax( √

4+ x + 2)

= lim

x→0

√ 1

4+ x + 2

= 1

√4+ 0 + 2

=1 4

例題 1.9

求極限 lim

x→2

x+ 5 (x− 2)²

分母趨近 0，會無止盡地小下去。然而分子不是同時趨近 0，而是趨 近 7。分子大約是 7 左右，它除以很小很小的數，除完就得到很大的 數。這種情況是函數值會無止盡地變大，所以寫

limx→2

x+ 5 (x− 2)² = ∞

我們可以說這題極限等於無限大，但不可以說極限存在，應說極限 不存在。這是因為∞ 並不是一個數，它只是一個用以示意的符號，

表示函數值會無止盡地變大，不趨向一個定值。

求極限 lim

x→2 [x]

高斯函數長這個樣子（如右圖），當 x 趨 近到 2 時，函數值是否會趨向一個定值 呢？仔細一瞧，當 x 由 2 的左邊趨近到 2 時，函數值是趨向 1；當 x 由 2 的右邊 趨近到 2 時，函數值卻是趨向 2。這現 象說明了，當 x 由 2 的附近趨近到 2 時，

函數值並不趨向一個定值，所以此題是 極限不存在。

由上一題的討論，我們可以引進單側極限的概念，在解極限問題時是很 好用的。

如果函數 y = f (x) 在 x = a 的右側附近有定義，並且隨著 x 由 a 的右側越 來越靠近、無限地靠近 a 時，函數值 f (x) 隨之越來越靠近、無限地靠近 某個值 L，則稱 L 為函數在 x 趨近到 a 時的右極限。符號上可以記作：當 x→ a⁺， f (x)→ L。或者是使用 lim 符號：

xlim→a⁺ f (x) = L 類似地可定義左極限，符號上記作

x→alim⁻ f (x) = L

定義 1.3 單側極限

認識了單側極限，便可以介紹下面這個有用的性質。

若 x = a 為函數 f (x) 定義域中的內點，換句話說，函數 f (x) 在 x = a 的兩 側附近有定義。則

limx→af (x) = L 若且唯若

xlim→a⁻ f (x)= lim

x→a⁺ f (x) = L 性質 1.2

例題 1.11

若 f (x)= 

 x , x ≤ 1

− (x − 2)²+ 2 , x > 1，求極限 lim

x→1 f (x)

這個分段定義函數如右圖，當 x 由 1 的左邊趨近到 2 時，函數值是趨向 1；

當 x 由 1 的右邊趨近到 2 時，函數值 也是趨向 1。也就是說，當 x 由 1 的附 近趨近到 1 時，函數值會趨向一個定 值，所以 lim

x→1f (x) = 1。

用剛剛介紹的性質來寫就是，因為

xlim→1⁻ f (x) = lim

x→1⁻x= 1

xlim→1⁺ f (x) = lim

x→1⁺[−(x − 2)²+ 2] = 1 左右極限皆存在，並且兩者相等，所以

limx→1 f (x) = 1

若 f (x)= 

 − x , x ≤ 0

sin(¹_x) , x > 0，求極限 lim

x→0 f (x)

這個分段定義函數如右圖，因為當 x 由 0 的右邊趨近 0 時，函數值是 不 斷 來 回 振 盪，並 不 趨 向 一 個 定 值的。所以右極限 lim

x→0⁺f (x) 不存在，

從而極限 lim

x→0f (x) 不存在。

例題 1.13

求極限 lim

x→1

2x+ 6 x− 1

乍看之下，這題會想回答 lim

x→1

2x+6

x−1 = ∞，然而雖然趨近無窮大是一種 極限不存在，這裡卻不可這樣寫。原因是左右極限

xlim→1⁺

2x+ 6 x− 1 = ∞

xlim→1⁻

2x+ 6

x− 1 = −∞

兩者分別趨向正無窮大與負無窮大，不是一起趨向正或負無窮大，

所以這題只要回答極限不存在即可。

例題 1.14

求極限 lim

x→0

√x

√x 在其定義域 [0, ∞) 上是處處連續的，所以

limx→0

√x= 0

許多人在此題會犯的錯是：宣稱此極限的左極限 lim

x→0⁻

√x 不存在，所 以極限 lim

x→0

√x 不存在。前面在介紹極限 lim

x→af (x) 存在若且唯若左右極 限 lim

x→a⁻f (x), lim

x→a⁺f (x) 皆存在且相等時，這個性質是帶有前提的，那就 是 a 須為 f (x) 定義域的內點。然而 0 是函數 y= √

x 定義域的邊界而 非內點，所以不能硬套這個性質。至於這個性質為什麼有這個前提，

原因也是非常顯然的。在左極限的定義中，已經先要求函數 f (x) 須 在 x = a 的左側附近有定義（這樣我們才能由 x = a 的左方趨近 a 嘛！），那麼如果左右極限都想取看看，自然就必須 f (x) 在 x= a 的兩 側皆有定義，也就是說 x = a 是定義域的內點。而此題因為 f (x) 在 x= 0 的左側沒有定義，所以無法取左極限，而非極限不存在。

!

勿混淆「左極限不存在」與「不能取左極限」。前者是指，當我 x 由 a 的左側 趨近到 a 時，函數值並不趨向一個定值，這叫左極限不存在。而後者是指，

f (x) 在 a 的左側沒有定義，我根本無法讓 x 由 a 的左側趨近到 a，這叫不 能取左極限。這道理有點像你不能取 lim

x→−3log(x)，log(x) 的定義域是 x > 0，

而你居然要 x 趨近−3，這根本不可能嘛！並不是 lim

x→−3log(x) 不存在，而是 x 無法趨近−3，你根本不能這樣問。

求極限 lim

x→3

√x− 3 + √ 3− x

仔細一看，函數 √

x− 3 + √

3− x 的定義域根本只有 x = 3 一個點，也 就是說在 x= 3 的附近並無定義，因此無法取極限。

如果你將原極限拆成 limx→3

√x− 3 + lim

x→3

√3− x

你會以為這題是 0+ 0 = 0，極限值為 0。然而因為事實上無法取極 限，所以就根本不能問 lim

x→3

√x− 3 + √

3− x，因此也就無法套用如此 說詞。

此題亦顯示區分「極限不存在」與「不能取極限」之必要，如果你說 此題叫做「極限不存在」，那麼你會以為這與極限的性質

limx→a [ f (x)+ g(x)] = lim

x→a f (x)+ lim

x→ag(x)

發生矛盾，等號右邊兩個極限皆存在，但左邊的極限不存在。

例題 1.16

求極限 lim

x→1

1− √

2x²− 1 x− 1

limx→1

1− √

2x²− 1 x− 1

= lim

x→1

(1− √

2x²− 1)(

1+ √

2x²− 1) (x− 1)(

1+ √

2x²− 1) 反有理化

= lim

x→1

2(1− x²) (x− 1)(

1+ √

2x²− 1)

= lim

x→1

2(1+ x)(1− x):⁻¹

(x− 1)( 1+ √

2x²− 1)

= − 2

遇到根號相減，常可使用反有理化。

例題 1.17

求極限 lim

x→3

x²− 2x − 3

√x− 3

limx→3

x²− 2x − 3

√x− 3

= lim

x→3

(x+ 1)(x− 3):^√x−3

√ 

x− 3

= lim

x→3(x+ 1)√ x− 3

= 0

如果在 x= a 的附近（可以不包含 x = a 本身）滿足 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)，

且

limx→ag(x)= lim

x→ah(x)= L 則有

limx→af (x) = L

定理 1.1 夾擠定理

例題 1.18

求極限 lim

x→0x²sin(1 x )

那個 sin(¹_x) 看起來不太好處理，所以試圖找上下界來使用夾擠定理。

首先因為

−1 ≤ sin(1 x

)≤ 1

所以

−x² ≤ x²sin(1 x

)≤ x²

而顯然

limx→0−x² = 0 = lim

x→0x² 所以由夾擠定理，我們知道

limx→0x²sin(1 x

)= 0

例題 1.19

求極限 lim

x→0x sin(1 x )

仿照上題，因為

−1 ≤ sin(1 x

)≤ 1

所以

− |x| ≤ x sin(1 x

)≤ |x|

而顯然

limx→0− |x| = 0 = lim

x→0|x|

所以由夾擠定理，我們知道

limx→0x sin(1 x

) = 0

這裡要注意的是必須加絕對值。

y = x

y = −x

(a)y= x sin(₁ x )

y = x²

y =−x² (b)y= x²sin(₁

x )

Figure 2: 夾擠

求極限 lim

x→0

sin(x) x

θ

A

B C

O cos θ

sin θ

tan θ

在圖中，顯然三角形 OBA 面積大於扇形 OBC 面積大於三角形 OBC 面積。所以寫

1

2 · 1 · sin θ ≤ 1

2 · 1²· θ ≤ 1

2· 1 · tan θ 作約分並同除以 sin θ，得到

1≤ θ

sinθ ≤ 1 cosθ

⇒ 1 ≥sinθ

θ ≥ cos θ 顯然

limθ→11= 1 = lim

θ→1cosθ 所以由夾擠定理，就有

limx→0

sin(x) x 此極限十分重要，一定要記起來。

例題 1.21

求極限 lim

x→0

sin(3x) x

在數學中，「用已知解決未知」是非常重要常用的手法。由於我們知 道 lim

x→1

sin(x)

x = 1，所以寫 limx→0

sin(3x) x = lim

x→0

sin(3x) 3x · 3

= 1 · 3 = 3

千萬不要以為，3x 也趨近 0、x 也趨近 0，所以利用 lim

x→1

sin(x)

x = 1 知 道此題為 1。sin 的內部與分母是必須一致的，而不是這樣亂套。

例題 1.22

求極限 lim

x→0

2x sin(5x)

limx→0

2x sin(5x)

= lim

x→0

5x sin(5x)· 2

5

=2 5

求極限 lim

x→0

1− cos(x) x²

由半角公式

sin²(x)= 1− cos(2x) 2 可以寫

limx→0

1− cos(x) x² = lim

x→0

2 sin²(₂^x)

(₂^x)²· 2² 分母與 sin 內部對齊

= 1²· 2 2² = 1

2

例題 1.24

求極限 lim

x→∞x sin(1 x )

微積分中非常重要的技巧是「變數代換」，可以說是微積分的靈魂。

這題我們設 y= ¹_x，則當 x→ ∞ 時，有 y → 0⁺，因此

x→∞lim x sin(1 x

)= lim

x→∞

sin(₁

x

)

1 x

= lim

y→0⁺

sin(y) y = 1

例題 1.25

求極限 lim

x→∞

3x²− 2 5x+ 4 sin(2

x )

xlim→∞

3x²− 2 5x+ 4 sin(2

x )

= lim

x→∞

(3x²− 2) · 2 (5x+ 4) · x · sin(

2 x

)

2 x

= 6

5 · 1 = 6 5

許多學習微積分的同學會以為，求極限時代下去就對了。希望透過這裡的

!

闡釋手法，你可以明白求極限時並不是要馬上代值，而是當你知道函數連 續以後才代。