頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統的等化器及功率負載器聯合設計

國立臺灣大學電機資訊學院電信工程學研究所 碩士論文

Graduate Institute of Communication Engineering College of Electrical Engineering ＆ Computer Science

National Taiwan University Master Thesis

頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統的等化器及功率 負載器聯合設計

Joint Equalization and Power Loading for Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM Systems

蘇偉信 Su, Wei-Hsin

指導教授：鐘嘉德 博士

Advisor: Char-Dir Chung, Ph.D.

中華民國 99 年 6 月

June, 2010

口委審定書

致謝

首先，我要感謝我的指導老師鐘嘉德教授。在這兩年的研究生活裡，每當研 究遇到挫折時，老師總能提示我正確的方向，並耐心地指導，才讓我得以完成這 篇論文，並且要感謝各位口試委員所給予的建議，因為有你們的指導，才讓這篇 論文更加完備。

同時也感謝博理 518 的各位學長及同學，因為有你們，才讓我有兩年充實且 快樂的研究生活，尤其感謝博士班的啟華、啟祥、豫傑、宗威、浩銘、如傑和維 崙學長，在我研究上遇到困難時，給我最適時的幫助。感謝一起研究的夥伴們，

給予我很多人生以及工作上的經驗。感謝各位學弟們，讓實驗室總是充滿歡笑。

最後，感謝我所有的朋友們，願與你們分享我此刻的榮耀與喜悅。

頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統的等化器及功率 負載器聯合設計

研究生：蘇偉信   指導教授：鐘嘉德 博士

國立台灣大學電信工程學研究所碩士班 摘要

在本篇論文中，我們將頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統 (Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM ， 簡 稱 SOP-OFDM) 與 功 率 負 載 技 術 (Power Loading，簡稱 PL) 做結合[1]，目的是希望能在有效降低系統位元錯誤率的情 況下，同時提供極佳的頻譜效率 (Spectral Efficiency)。在此論文中，我們提出以 下兩種架構: 1.同時設計等化器和預編碼器使得 SOP-OFDM 系統的均方誤差 (Mean Square Error，簡稱 MSE) 達到最小 2. SOP-OFDM 系統使用 MMSE 等化 器 下 的 預 編 碼 器 設 計 使 得 高 斯 近 似 瞬 時 位 元 錯 誤 率 (Asymptotical Average Instantaneous Bit Error Rate) 達到最小，並驗證出此兩種架構的平均位元錯誤率表 現皆優於現有的 SOP-OFDM 系統在使用零強制 ( Zero Forcing ) 等化器下所設 計出的功率負載技術[1]。最後，我們會在雙路徑衰減通道下，討論各種正交預 編碼在上述兩種架構的平均位元錯誤率表現、均方誤差表現，頻帶外功率特性與 複雜度。

關鍵字:

頻譜預編碼、正交分頻多工系統、功率負載技術、等化器聯合設計、頻 譜效率。

Joint Equalization and Power Loading for Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM Systems

Student: Su, Wei-Hsin Advisor: Dr. Char-Dir Chung Abstract

In this thesis, we combine Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM System (SOP-OFDM) with power loading (PL) techniques in order to improve BER performance and provide very high spectral efficiency [1]. We propose the following two algorithms: 1. Joint equalization and block precoding in order to minimize mean square error of SOP-OFDM system 2. Block precoding design in order to minimize asymptotical average instantaneous bit error rate of SOP-OFDM system with MMSE equalizer. The BER performance of these two systems both outperforms the existing SOP-OFDM systems with power loading design by using Zero Forcing equalizer [1].

Eventually, on two-ray fading channels, we will compare average BER performance, mean square error performance, fractional out-of-band power characteristics and complexity of the spectral codes with different power loading algorithms.

Keywords:

Spectral precoding, orthogonal frequency division multiplexing (OFDM), power loading, spectral efficiency

目錄

口委審定書 ... I 致謝 ... II 摘要 ... III ABSTRACT ... IV

第一章 緒論 ... 1

第一節 正交分頻多工技術與功率負載技術 ... 1

第二節 頻譜預編碼技術的介紹 ... 5

第三節 頻譜預編碼式正交分頻多工系統與功率負載技術之結合 ... 7

第四節 研究動機 ... 9

第二章 頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統的等化器及預編碼器 ... 10

第一節 系統架構與訊號模型 ... 10

第二節 雙路徑衰減通道模型 ... 16

第三章 最小均方誤差下頻譜預編碼式正交分頻多工系統功率負載器及等化器 聯合設計 ... 21

第一節 系統設計 ... 21

第二節 效能分析 ... 25

第三節 模擬結果 ... 28

第四章 使用最小均方誤差等化器下的最小高斯近似瞬時位元錯誤率預編碼器 設計 ... 40

第一節 系統設計 ... 40

第二節 效能分析 ... 44

第三節 模擬結果 ... 46

第一項 AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構模擬與比較 ...46

第二項 AIBER-MMSE 架構與 JMMSE 架構模擬與比較 ...57

第五章 結論 ... 63

附錄 ... 65

參考文獻 ... 68

中英對照 ... 69

圖形目錄

圖(1. 1) OFDM 技術示意圖 ... 1

圖(1. 2) 保護區間示意圖 ... 3

圖(1. 3) 正交分頻多工系統使用方波傳輸的頻譜 ... 5

圖(1. 4) 頻譜預編碼式正交分頻多工系統 ... 6

圖(2. 1) SOP-BCP-OFDM 結合功率負載技術架構圖 ... 11

圖(2. 2) 多重路徑示意圖 ... 17

圖(2. 3) 四種多重路徑衰減通道的示意圖 ... 18

圖(3. 1) 在N 1024、E_b/N ₀ 0 dB下,雙路徑衰減通道 ( 10) ，使用 、_3,1  、3,7  、_3,7  、_3,2  和_3,5  碼與 (_3,8  0) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的 JMMSE 架_3,7 構，其頻帶外功率特性。 ... 30

圖(3. 2) 在N 1024、E_b/N ₀ 10 dB下,雙路徑衰減通道 ( 10) ，使用 、_3,1  、3,7  、_3,7  、_3,2  和_3,5  碼與 (_3,8  0) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的 JMMSE 架_3,7 構，其頻帶外功率特性。 ... 30

圖(3. 3) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7 _3,7 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的平均 位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 33

圖(3. 4) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的 平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 34

圖(3. 5) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7 _3,7 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的 平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 34

圖(3. 6) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的 平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 35 圖(3. 7) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,1  和_3,7  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構的均_3,7 方誤差分析。 ... 36 圖(3. 8) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,1  和_3,7  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構的_3,7 平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 37 圖(3. 9) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,2  和_3,5  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構的_3,8 均方誤差分析。 ... 37 圖(3.10) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,2  和_3,5  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， JMMSE 架構的_3,8 平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 38 圖(3.11) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的區塊分割循環字首正交分頻多工系統，在_3,7

1024

N  以及雙路徑雷利衰減通道下，JMMSE 架構與 AIBER-ZF 架構，傳送端 與接收端的複雜度。 ... 39 圖(4. 1) 在N 1024、E_b/N ₀ 0 dB下,雙路徑衰減通道 ( 10) ，使用 、_3,1

 、3,7  、_3,7  、_3,2  和_3,5  碼 與 (_3,8  0 ) 使 用  、_3,1  和_3,7  碼 的_3,7 AIBER-MMSE 架構，其頻帶外功率特性。 ... 48 圖(4. 2) 在N 1024、E_b/N ₀ 10 dB下,雙路徑衰減通道 ( 10) ，使用 、_3,1

 、3,7  、_3,7  、_3,2  和_3,5  碼與 (_3,8  0) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的 JMMSE 架_3,7 構，其頻帶外功率特性。 ... 49 圖(4. 3) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7 _3,7 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 52 圖(4. 4) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 52

圖(4. 5) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7 _3,7 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 53 圖(4. 6) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 53 圖(4. 7) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,1  和_3,7  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE_3,7 架構的均方誤差分析。 ... 55 圖(4. 8) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道與萊斯衰減通道下，使 用 、_3,1  和_3,7  碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE_3,7 架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 55 圖(4. 9) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的區塊分割循環字首正交分頻多工系統，在_3,7

1024

N  以及雙路徑雷利衰減通道下，AIBER-MMSE 架構與 AIBER-ZF 架構，

傳送端與接收端的複雜度。 ... 57 圖(4.10) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7

 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 JMMSE3,7

架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 59 圖(4.11) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑萊斯衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 JMMSE 架 構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。... 60 圖(4.12) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,1  和_3,7

 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 JMMSE3,7

架構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。 ... 60 圖(4.13) 在N 1024、QPSK 調變和雙路徑雷利衰減通道下，使用 、_3,2  和_3,5 _3,8 碼之區塊分割循環字首正交分頻多工系統， AIBER-MMSE 架構與 JMMSE 架 構的平均位元錯誤率與訊雜比關係。... 61 圖(4.14) 使用 、_3,1  和_3,7  碼的區塊分割循環字首正交分頻多工系統，在_3,7

1024

N  以及雙路徑雷利衰減通道下，AIBER-MMSE 架構與 JMMSE 架構，接

收端的複雜度。 ... 62

第一章 緒論

第一節 正交分頻多工技術與功率負載技術

在西元 1960 年代，使用並行資料傳輸與分頻多工概念之正交分頻多工技術 ( Orthogonal Frequency Division Multiplexing，簡稱 OFDM ) 即已經被提出，西元 1971 年，Weinstein 和 Ebert 兩位學者提出以反離散傅立葉轉換 ( Inverse Discrete Fourier Transformation ， 簡 稱 IDFT ) 與 離 散 傅 立 葉 轉 換 ( Discrete Fourier Transformation，簡稱 DFT ) 在並行資料傳輸系統中執行調變和解調變的程序，進 而大幅降低正交分頻多工技術之硬體實現複雜度與成本需求。現今，正交分頻多 工技術主要利用快速傅立葉轉換 ( Fast Fourier Transform，簡稱 FFT ) 實現，其各 個功能方塊如圖(1. 1) 所示。

圖(1. 1) OFDM 技術示意圖

高速的串列資料先經串列至並行轉換器 ( Serial-to-Parallel Converter，簡稱 S/P ) 分成 N 份並行的資料，此時符元區間 ( Symbol Duration ) 相較原先資料區 間會被拉長了 N 倍，接著將資料作訊號映射 ( Signal Mapping ) 成複數資料，在 正交分頻多工技術中常使用的為相位位移鍵 ( Phase Shift Keying，簡稱 PSK ) 或

正交幅度調變 ( Quadrature Amplitude Modulation，簡稱 QAM ) ，然後利用反快 速傅立葉轉換 ( Inverse Fast Fourier Transform，簡稱 IFFT ) 將複數資料調變至不 同的子載波上，並加上保護區間 ( Guard Interval ) 以有效克服符元間干擾與頻率 選擇性衰減的影響。

在訊號傳送前還需經過數位類比轉換器 ( Digital-to-Analogy Converter，簡稱 DAC ) 與低通濾波器 ( Lowpass Filter，簡稱 LPF ) 轉換成類比訊號，並將類比訊 號經升頻器 ( Up Converter ) 調整到系統規範所制訂的頻段進行傳輸。在接收端部 分則是相當於將傳送端各部分功能進行反向操作，以便進行訊號解調，同時利用 簡單的等化器 ( Equalizer ) 便能克服通道效應的影響。

在無線通訊中，訊號的傳輸將會遭遇到多路徑通道 （ Multipath Channel ） 的 影響，而產生延遲擴散 （ Delay Spread ） 效應，使得前個正交分頻多工的後端 訊號對傳送訊號的前端子載波造成符元間干擾 （ Inter-symbol Interference，簡稱 ISI ），而發生傳輸的錯誤。為了有效的避免符元間干擾，正交分頻多工訊號之間 加入了保護區間 （ Guard Interval ），只要所加的保護區間長度大於延遲擴散的時 間長度，符元干擾將只作用於保護區間內，而能使得我們真正傳輸的訊號得以避 免干擾。加入保護區間的方法一般分為兩種，第一種是在保護區間內使用循環字 首（ Cyclic Prefix，簡稱 CP ），也就是複製一段所要傳送訊號的尾端資料，長度 為保護區間所設定的長度，放置在傳送訊號的前端當作保護區間。第二種是在保 護區間內補零（ Zero Padding，簡稱 ZP ），就是在所要傳送資料的尾端加上一段 全為零的資料，也就是保護區間內都不傳送資料。在本篇論文中，系統的保護區 間內使用循環字首，且我們將資料長度設為T ，保護區間的長度設為_d T_g，則傳輸 資料的總長度為T T_d T_g，如圖(1. 2）。

圖(1. 2) 保護區間示意圖

由於正交分頻多工技術擁有較高的資料傳輸速度與能有效克服頻率選擇性衰 減通道 ( Frequency Selective Fading Channel ) 的特性，其目前已經被廣泛使用於現 今各式無線通訊系統。

功率負載技術 ( Power Loading ) 是一種用來改善多載波系統效能的方法，它 的基本觀念是，在固定的區塊 ( Block ) 傳輸功率限制下，用最理想的方式去分配 每個子載波的傳輸功率，其目的主要可分為兩種：第一，降低系統的位元錯誤率 [2]

( Bit Error Rate )，其作法是假設所有子載波上所傳送的位元數及其使用的調變皆相 同，然後去調整每個子載波的傳輸功率；第二，增加系統的處理容量 [3] ( Capacity )，

其作法是假設所有子載波之位元錯誤率皆相同，然後去調整每個子載波的傳輸功 率及其所傳送的位元數。在本篇論文中，由於頻譜預編碼式正交分頻多工系統假 設所有子載波上所傳送的位元數及其使用的調變皆相同，因此我們的討論將著重 在如何利用功率負載技術去降低系統的位元錯誤率。

常被使用的功率負載技術[1],[4],[5]包含:最小位元錯誤率 ( Minimum BER, 簡 稱 MBER ) 功率負載技術，它的做法是在相同的傳輸功率限制下，去最小化系統 的平均位元錯誤率，其目標函數 ( Objective Function ) 即為系統的平均位元錯誤率，

它是由一些 Q 函數所組成，這些 Q 函數分別代表每個子載波上的位元錯誤率。如 此一來，我們雖然可以求得一組理想解 ( Optimal Solutions )，但由於要去解非線 性方程式，所以會有很高的計算複雜度，另外，Q 函數並不是封閉 ( Closed-Form ) 的形式，所以我們得到的解也不是封閉的。因為上述的兩個缺點，作者又提出了 一個近似最小錯誤率 ( Approximate MBER, 簡稱 AMBER ) 功率負載技術[4]，它

的做法與最小位元錯誤率功率負載技術相同，只是利用一些指數函數去近似原本 的 目 標 函 數 ， 由 於 指 數 函 數 是 封 閉 的 形 式 ， 所 以 可 以 去 求 得 一 組 次 理 想 ( Suboptimal ) 但卻是封閉形式的解。在這裡，我們所說的解即為每個子載波上的 功率負載係數 ( Power Loading Coefficient )，這些係數代表每個子載波上所應負載 的功率。

另外還包含相等增益 ( Equal Gain，簡稱 EG ) 功率負載技術[1],[5]，首先，

我們知道 Q 函數會隨著它的引數 ( Argument ) 之遞增而做快速地遞減，而系統的 位元錯誤率通常會被擁有較小訊雜比的子載波們所支配 ( Dominate ) 。因此，相 等增益之預功率負載技術的想法就是使一個子區塊中的所有子載波都擁有相同的 訊雜比，如此一來可避免位元錯誤率被少數幾個子載波所支配，其作法就是對一 個子區塊的傳送訊號做預等化 ( Pre-equalize ) 的動作使每個子載波有相同的訊雜 比（ Signal to Noise Power Ratio，簡稱 SNR ），與最小均方誤差 ( Minimum Mean Square Error，簡稱 MMSE ) 功率負載技術[1],[5]，其做法顧名思義就是使系統的 均方誤差達到最小。

在參考文獻[6]中，作者提出一種方法能同時考慮功率負載技術和等化器的聯 合設計，它的做法也是在一定的傳輸功率限制下，去最小化系統的均方誤差，跟 上述所提及的功率負載技術最大的不同點在於此方法的等化器不再被侷限為零強 制 ( Zero Forcing，簡稱 ZF ) 等化器，進而提供系統較佳的平均位元錯誤率表現。

第二節 頻譜預編碼技術的介紹

正交分頻多工系統中，脈衝整形 （ Pulse Shaping ） 仍然是主要影響頻譜效 能的因素，如果使用不恰當的脈衝整形函數，會使得位在給定頻寬邊緣的子載波 能量容易干擾到鄰近的通道。而大部分正交分頻多工系統的脈衝整形都是採用方 波脈衝 （ Rectangular Pulse ） ，因為使用方波脈衝可以有效地運用快速傅立葉 轉換 ( Fast Fourier transform，簡稱 FFT ) 及插入循環字首 （ Cyclic Prefix，簡稱 CP ） 或補零（ Zero Padding，簡稱 ZP ）的保護區間 （ Guard Interval ）。從 頻譜的角度來看，使用方波脈衝當作脈衝整形函數的傳輸訊號，其頻譜是由一個 個 sinc 函數所組合而成的，因此其功率頻譜 （ Power Spectral Density，簡稱 PSD ） 函數的形式見圖（1. 3），這是一個使用方波脈衝當作脈衝整形函數的正交分頻多 工訊號的頻譜，其中虛線的部分是將所有子載波的能量加總起來所形成的包跡

（ Envelope ） ，在這裡我們會觀察到一個問題，由於 sinc 函數的旁葉 （ Sidelobe ） 部分是以 f^2的速度做衰減，這樣一來包跡的旁葉衰減幅度其實相當的緩慢，因此 溢出給定頻寬且干擾到鄰近通道的功率相當大。

圖(1. 3) 正交分頻多工系統使用方波傳輸的頻譜

為了解決旁葉功率過大的問題，大致有四種旁葉功率抑制 ( Suppression ) 的 技術被提出來。第一種是使用非方波的脈衝整形函數，有許多較平滑的脈衝整形 函數被建議使用於正交分頻多工系統，但這些平滑的脈衝整形函數卻會造成實現 上的困難，因為它不能利用快速傅立葉轉換及插入保護區間的方式來實現，所以 不被廣泛使用。第二種是不使用位在頻寬邊緣的子頻道，如此一來可以避免旁葉 能量可能造成的干擾，但缺點就是必須犧牲掉一部分傳輸的資料量，降低了頻寬 的使用效率。第三種是對頻域上的資料符元 ( Symbol ) 乘上不同的權重 ( Weight ) [4] 或是乘上相同的權重但在頻譜的邊緣加入抵消 ( Cancellation ) 子載波 [7]，如 此一來可以使旁葉的功率減少 10 dB 以上，且仍然可以利用快速傅立葉轉換及插 入保護區間的方式來實現，但缺點就是必須對每個區塊 ( Block ) 計算每個子載波 理想的權重，因此有很高的計算複雜度。

為了比上述的方法有更小的旁葉功率以及更容易的實現方式，因此有第四種 方法被提出來，它是以使用頻譜預編碼 ( Spectrally Precoding，簡稱 SP ) 的方式 來改善訊號的頻譜效能 [8] - [10]，架構如圖(1. 4) 所示，其作法是利用線性編碼的 方式，使得頻域中的資料符元間都有相關性 ( Correlation )，因此讓功率頻譜重新 整形 ( Reshape )，也讓頻譜有很小的旁葉功率。這種作法的優點就是目前所被提 出的編碼方式都擁有結構上的一致性且在實行與分析上都較容易，且還是能用快 速傅立葉轉換及插入保護區間的方式來實現，缺點在於必須犧牲少部分的傳輸效 益( Throughput ) ，降低了頻寬的使用。

圖(1. 4) 頻譜預編碼式正交分頻多工系統

第三節 頻譜預編碼式正交分頻多工系統與功率負載技術之 結合

為了讓系統的位元錯誤率降低，同時又保有極佳的頻譜效能，在參考文獻[1]

中，作者將頻譜編碼式正交分頻多工系統與功率負載技術做結合。其基本的架構 就是基於傳統的頻譜預編碼式正交分頻多工系統，見圖（1. 4），在傳送端經過頻 譜預編碼 ( Spectrally Precoding，簡稱 SP ) 處理前加上功率負載，而接收端則有 相對應解碼的動作。由於傳送端要做功率負載，所以系統中必須要有通道估測與 回授通道 ( Feedback Channel ) 的機制，讓傳送端可以根據通道狀況來適當分配每 個子載波的功率。

在參考文獻[1]中，所使用的功率負載技術皆是基於零強制 ( Zero Forcing，簡 稱 ZF ) 等化器設計出來的結果，在此我依據其演算法的目的來加以介紹:

1. 近似最小錯誤率 ( Approximate Instantaneous Bit Error Rate，簡稱 AIBER-ZF ) 功率負載技術，做法是在相同的傳輸功率限制下，去最小化系統的平均位元錯誤 率，其目標函數 ( Objective Function ) 即為系統的平均位元錯誤率，並利用指數函 數去近似該目標函數。

2.相等增益 ( Equal Gain，簡稱 EG-ZF ) 功率負載技術，EG-ZF 負載技術的想法就 是使一個子區塊中的所有子載波都擁有相同的訊雜比，以避免位元錯誤率被少數 幾個子載波所支配，其作法就是在相同的傳輸功率限制下，對一個子區塊的傳送 訊號做預等化 ( Pre-equalize ) 的動作使每個子載波有相同的訊雜比（ Signal to Noise Power Ratio，簡稱 SNR ）。

3.最小均方誤差 ( Minimum Mean Squared Error，簡稱 MMSE-ZF ) 功率負載技術，

其做法就是在相同的傳輸功率限制下，對一個子區塊內的信號做功率負載，使系 統的均方誤差達到最小。

在參考文獻 [1] 中，驗證出在雙路徑衰減通道下 AIBER-ZF， EG-ZF 與 MMSE-ZF 功率負載技術，皆保有極佳的頻譜效能，而且系統的平均位元錯誤率 ( Average Bit Error Rate，簡稱 ABER ) 效能皆比未使用任何功率負載技術下的頻 譜正交預編碼式正交分頻多工系統 ( Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM，簡稱 SOP-OFDM ) 來得好，其中又以 AIBER-ZF 功率負載技術的 ABER 表現最好，

MMSE-ZF 功率負載技術的 ABER 表現次之，EG-ZF 功率負載技術的 ABER 表現 最差。

第四節 研究動機

在上述的簡介中，我們知道功率負載技術可以降低正交分頻多工系統的位元 錯誤率，而頻譜預編碼技術可以使正交分頻多工系統的頻譜能量更集中，在參考 文獻[1]中同時結合功率負載技術以及頻譜域編碼技術，使得系統在有效降低錯誤 率的情況下，還能保有極佳的頻譜效率。然而參考文獻[1]中所使用的功率負載技 術，包含近似最小錯誤率功率負載技術，相等增益功率負載技術及最小均方誤差 功率負載技術都是基於零強制 ( Zero Forcing，簡稱 ZF ) 等化器所得到的結果。

因此在此論文中將在第三、四章提出兩種演算法分別基於不同的等化器設計，並 應用適當的功率負載技術，希望藉此設計再降低系統的錯誤率並同時保有相同的 頻譜效率。

在第二章中，我們會去介紹系統架構、訊號模型和雙路徑衰減通道模型。第三 章是介紹最小均方誤差下頻譜預編碼式正交分頻多工系統的預編碼器及等化器聯 合設計及效能分析。第四章中，我們介紹使用最小均方誤差 ( Minimum Mean Square Error，簡稱 MMSE ) 等化器下的最小高斯近似瞬時位元錯誤率預編碼器設 計。第五章是結論，我們將對此兩種系統選用不同的正交預編碼，比較各自的平 均位元錯誤率表現、均方誤差表現，頻帶外功率特性與複雜度並總結 。

第二章 頻譜正交預編碼式正交分頻多工系統的 等化器及預編碼器

第一節 系統架構與訊號模型

為了讓系統的位元錯誤率降低，同時又保有極佳的頻譜效能，所以我們將頻 譜正交預編碼式正交分頻多工系統 ( Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM，簡稱 SOP-OFDM ) 與功率負載 ( Power Loading，簡稱 PL ) 技術做結合，其基本的架 構就是傳統的正交分頻多工系統，在傳送端加上功率負載以及頻譜預編碼，而接 收端則有相對應等化器 ( Equalizer ) 的動作將接收到的信號加以解調。由於傳送 端要做功率負載，所以系統中必須要有通道估測與回授通道 ( Feedback Channel ) 的機制，讓傳送端可以根據通道狀況來適當分配每個子載波的功率。在本篇論文 中，我們假設通道估測是完全無誤的，並且回授通道能將通道的狀況正確且即時 地回傳給傳送端，使傳送端能完全地掌握通道的情況。

為了有效的避免符元間干擾 ( Inter-symbol Interference，簡稱 ISI )，我們在正 交分頻多工訊號之間加入了保護區間 （ Guard Interval ），只要所加的保護區間長 度大於延遲擴散 ( Delay Spread ) 的時間長度，符元干擾將只作用於保護區間內，

而能使得我們真正傳輸的訊號得以避免干擾。在本篇論文採用循環字首 （ Cyclic Prefix，簡稱 CP ） 的方式，也就是複製一段所要傳送訊號的尾端資料，長度為 保護區間所設定的長度，放置在傳送訊號的前端當作保護區間。

頻 譜 預 編 碼 式 區 塊 分 割 循 環 字 首 正 交 分 頻 多 工 系 統 ( Spectrally Orthogonally-Precoded Block Partitioning Cyclic Prefix OFDM ， 簡 稱 SOP-BCP-OFDM ) 與功率負載技術結合：

在本篇論文中，我們使用參考文獻[9]中所提出的一種發信號格式 ( Signaling Format )，就是將頻譜預編碼式循環字首正交分頻多工訊號做區塊分割 ( Block Partitioning )，這樣做的好處可以簡化編碼器的設計，同時又保有極佳的頻譜效能，

圖(2. 1)。

圖(2. 1) SOP-BCP-OFDM 結合功率負載技術架構圖

傳送端：

首先，資料源產生無記憶性資料





獨立的，它的統計特性為 { } 0E m  和_i E m{ _i²} 1 。

接著再進行區塊分割 ( Block Partitioning，簡稱 BP ) 處理，所謂的區塊分割指的 是將資料源所產生的資料





1 在本篇論文中，我們定義_K {0,1,,K1}以及_K^ {1, 2,, }K





T

i i i i M

d i m m m   

 

 它的統計特性為

 

H

i i M

E d d I  。此2^I個子 區塊各自乘上對應的功率負載矩陣

{ ; P i i 2I}，矩陣大小為2^IM* 2^IM，接著透 過相同的頻譜預編碼矩陣讓輸出信號彼此具有關連性，表示為G，矩陣大小為 2^IN* 2^IM，頻譜預編碼的碼率 （ Coding Rate ） 為M N/ ，在這篇論文中所 討論的架構都是將功率負載技術應用在資料通過頻譜預編碼處理之前。

經過頻譜預編碼矩陣處理後的信號可表示為b_i GP d_{i i} ，向量大小為 2^IN*1，其 中i ₂I。並送進傳統的 OFDM 調變器進行傳送，經過區塊分割的循環字首正交 分頻多工訊號，其保護區間的長度為T_g 2^IT_d且

log2N 1

I ^ _ 。

傳 輸 訊 號 是 由 N 個 複 數 的 符 元 訊 號





 





 

2 1 2 1

0

0 0

( ) R e exp{ 2 }

I IN

I

i n d

i n

s t  b j  i n  t

  

 

 

     

        

 



 

d 是鄰近子載波間的頻率差，其大小為_d 2 / T_d。

接收端：

訊號在接收端通過快速傅立葉轉換後輸出，通過區塊分割處理之後，產生2^I個

接收到的資料區塊





2 (2 1)2

( , I,..., I I)

i diag h hi i hi  N

  ，

2^I

hi n

 是第 (i n 2 )^I 個子載波頻

2

 

 

在本篇論文中，我們定義 A 代表向量A的第 個元素 A 代表矩陣A的第 個元素

域上的通道增益 （ Channel Gain ） ；頻域上等效的可加性高斯雜訊被表示式成 向量 , 2I,..., ( 2 I 1) 2I

T

i i i N

qi q q q   

  ，向量大小為 2^IN*1，其中

2^I

i  。

2^I

qi n

 是第

(i n 2 )^I 個子載波頻域上的高斯雜訊，它的平均值為零、變異數為 ，且其對每個_q² 不同的子載波而言都是獨立同分佈 （ Independent and Identically-distributed ） 且 循環對稱 ( Circularly-symmetric ) 的複數高斯分佈。

接下來我們將對接收訊號做解調的動作 。 我們把 i 個接收到的資料區塊









的資料區塊 







i

i i i i i i i i

d S r  S GP d S q （2. 2）

本文中所使用的頻譜預編碼種類：

在本篇論文中，我們選用參考文獻[9]所提出之頻譜預編碼中的 碼、_{I L,} _{I L,} 碼

和_{I L,} 碼，來做為我們區塊分割循環字首正交分頻多工系統的頻譜預編碼，以下 是對它們的介紹。

,

 碼: 它是由I L  碼所得到的，所以我們先介紹_{I L,}  碼係數的設定，其設定如下 _{I L,}

,

,

( 1) { , 1, , } , 2 ( ) 0 otherwise

  

         





n I

n m

n m

L n m m m L L N M

g n m

g （2. 3）

現在，我們定義一個行向量 _{0, 1,}

2 1,

[ , , , I ]

T

m m m N m

    

   ，其中

2^

 I

m  M，_n,m是_{I L,} 碼的預編碼係數，然後讓

0 1 2 1

[ , , , _I ]

     M 構成一個 2^IN2^IM 的矩陣，再對其 行向量[ 0, 1, , 2 _I 1]

     M 作葛蘭史密特程序 （ Gram-Schmidt Orthogonalization

Process ） 的處理。如此一來，所產生每一個行向量有正交的性質，它們可表示 為[w w₀, ₁,,w₂IM₁]，這些行向量是由以下的遞迴式

1

2 2

0

, I

m t m l

m m l M

l l

w w w m

w

  







 



而得，其中 ₀

0



w 。接下來再對每一個行向量做正規化的動作，

 ^m

m m

w g w

（2. 5）

使得行向量間彼此互為正則 （ Orthonormal ），則 碼的預編碼矩陣可表示為_{I L,}

0 1 2 1

[g g, ,,g IM ]，其中 _{0, 1,}

2 1,

[ , , , I ]

t

m m m  ^ N m

g g g g ，而 碼的預編碼係數就是_{I L,}

矩陣內相對應的元素。以功率頻譜的表現特性來說，使用 碼會使功率頻譜的旁_{I L,} 葉部份以 f^2L2的速度衰減。

,

I L碼: 其預編碼的係數設定如下

2

2 , ( ) 2 2

,

2 ( 1) , , and 0, otherwise

u

u I u u

u

n u n N L

n m

n u



    

 

      



  

g g

(2. 6)

( )u 2^IN(1 21^u)

   且M N(1 2 ) ^L 。另外，在這邊我們用( , _{1 2},,_u)作為 的

二進位表示式，也就是說， ¹

1 2

u l

l l

  ^





,

I L碼 : 此碼的編碼矩陣是由 2^{ I L}N 個大小為 2^L(2^L1)的最簡 哈答馬矩 陣 ( Reduced Hadamard Matrix ) 所構成，其預編碼的係數設定如下

2

2 , ( 2 1) 1 , 2 2 2 1

,

2 , , ,

0, otherwise

L L I L L L

L

n n N

n m

h_{ } n

     

 

        



  

g g

(2. 7)

1

, ( 1) , , 2

L l l l

h_{ } ^{ }   L

 

  ，其中 ¹

1 2

L l

l l

  ^





 l  ^





的二進位表示式。以功率頻譜的表現特性來說，使用_{I L,} 碼會使功率頻譜的旁葉 部份以 f^4的速度衰減。上述的預編碼係數皆滿足正交限制，其表示式如下

2 1

*

, , , 2

0

, ,

I

I

N

n m n l m l M

n

 m l









 



其中脈衝函數 （ Delta Function ） _{m l,} 的定義為當ml時_{m l,} 1，其他情況

, 0

m l 

。

功率頻譜的緊密度：

在本篇論文中，對於功率頻譜的緊密度 ( Compactness )，我們用分貝頻帶外 功率比例 （ Decibel Out-of-band Power Fraction ） 來描述之

/ 2

10 / 2

10log 1 1 ^B _LP( )

B S f df

 P



 

   





第二節 雙路徑衰減通道模型

首先，我們介紹多路徑衰減通道的由來。在無線通訊系統中，經由天線傳輸 出去的電波在傳輸的過程中，很容易受到周遭環境的干擾，因此載在電波中的訊 號會嚴重扭曲或變形。常見的例子如圖(2. 2)，環境中如果有牆壁、傢俱或其他障 礙物就容易反射和折射電波訊號，造成接收端會同時收到傳送訊號的直接路徑與 傳送訊號的反射路徑所組成的合併訊號，而通常這個合併訊號因為破壞性加成的 關係，通常強度都會比原本傳送訊號之直接路徑的訊號小，這意味著會造成接收 端訊號的衰減，這就是所謂的多重路徑干擾。另外，在傳輸的過程中，傳送端與 接收端有相對的運動，就會造成訊號載波的偏移 （ Offset ） ，換言之就是訊號 頻譜會因此擴散（ Spread ），再加上通道的效應會隨時間變化，造成所謂的都卜 勒效應（ Doppler Effect ）。此外，傳送端與接收端相對運動所造成通道的效應 會隨時間有增強衰弱的情形，此情形稱為通道的衰減（ Fading ）。而上述的這些 干擾與效應，都會對系統效能產生不好的影響，因此，瞭解通道的特性對設計一 個通訊系統是非常重要的一環。而無線通道的特性可由同調頻寬（ Coherent Bandwidth, B_c ）、延遲擴展方均根（ Root-mean-squared Delay Spread, _ ）、

同調時間（ Coherent Time, T_c ）、與都卜勒擴展（ Doppler Spread, B_d ）等參

數來描述。而所謂的同調頻寬B ，一般定義為兩個頻域上不同頻率的訊號，彼此_c 能夠維持相關係數（ Correlation Coefficient ）大於 0 .9 的最大頻率差。而延遲 擴展方均根_通常定義為同調頻寬B 的倒數。至於同調時間，一般定義為兩個時_c 域上不同時間的訊號，彼此能夠維持相關係數（ Correlation Coefficient ）大於 0.9 的最大時間差。而都卜勒擴展B 與同調時間_d T 成反比。根據這幾項參數與傳送訊_c

號的頻寬B 及符元時間（ Symbol Time, _s T_s ）的關係，我們可以將時變多重路徑 衰減通道分成四種型態：

圖(2. 2) 多重路徑示意圖

1. 頻率非選擇性衰減通道（又稱平坦衰減， Frequency-flat Channel）：所有在被 傳送的訊號裡的頻率成分都遭受相同的振幅衰減與相位偏移，稱為平坦衰減，其 條件為B_s B_c。

2. 頻率選擇性衰減通道（ Frequency-selective Channel ）：在傳送的訊號的訊號頻 寬B 中，每個頻率成分都遭受不同的振幅衰減與相位偏移，則稱為頻率選擇性衰_s

減通道，其條件為B_s B_c。

3. 快速衰減通道：通道 的變化相 當快速， 甚至在一個 符元的區 間（ Symbol Duration ）內變化，稱為快速衰減通道，其條件為T_s T_c。

4. 慢速衰減通道：通道的變化相當緩慢，甚至超出一個符元的區間才變化，稱為 慢速衰減通道，其條件為T_s T_c。

由圖（2. 3） 可清楚了解通道的種類與分佈：

圖(2. 3) 四種多重路徑衰減通道的示意圖

在這邊，我們假設傳送端的移動速度不快，例如在室內環境中，因此就可以將通 道視為是一個非時變的系統（Time-invariant System）。此時多重路徑干擾將是影 響系統效能的重要因素。因此在此假設下，通道響應 ( )h t 可表示成

1

0

( ) ( ) ( )

L

k k

k

h t  t  t 









而多重路徑干擾將會造成傳輸過程中，符元之間產生互相干擾 ( Inter-symbol Interference )，而正交分頻多工系統是一種適合在頻率選擇性衰減通道傳輸的數位 傳輸技術，因為它利用了多載波調變技術的優點，也就是將傳送符元的時間拉長，

此外在加上保護區間的放置，使得正交分頻多工系統對符元之間產生的互相干擾 能有很好的抵抗力。因為頻譜預編碼式正交分頻多工系統也是正交分頻多工系統

的一種，所以也保有這種特性。其中通道增益H 可進一步表示為 _n

1 2

0

L j nk

N

n k

k

H h e

  







(2.11) 在本篇論文中，我們選用雙路徑衰減通道，也就是L 2的情況，並且假設通 道增益在傳送一個正交分頻多工訊號區塊的時間內保持不變，其通道增益的表示 式如下

2n N

Hn p qe



   (2.12) 其中 為一整數延遲，另外，p和q分別代表第一個路徑與延遲路徑的複數通 道增益。在這邊，我們設定 p和q為獨立循環對稱的複數高斯雜訊，其中它們的平 均值分別為E p  { } [ /(1 )]^{1 2}、 { } 0E q  ，變異數分別為Var p{ }E p{ E p{ } }² 

1 1 1

(1 ) (1^  ^ )^、Var q{ }E q{ ²} (1  ) (1^1  )^1。由以上設定我們可以發現，

p和^q分別代表萊斯 ( Rician ) 以及 雷利 ( Rayleigh ) 路徑，其中的一個參數表 示為

{ }2

{ } { } E p

Var p Var q

  

 直線路徑的功率

散射路徑的功率和 (2.13) 這就是我們常用來描述衰減通道的萊斯





{ } { } Var p Var q

  (2.14) 用來表示兩個散射路徑功率的比值。值得一提的是，我們將直線以及散射路 徑功率的總和正規化 ( Normalized ) 成一。

當大於零時，通道會存在直線路徑，也就是說在通道中存在一條路徑讓傳 送端打出的電波能直接被接收機接收，不會被其他障礙物遮蔽。而這樣的通道我 們稱為萊斯衰減通道（ Rician Fading Channel ）。而當越來越小，一直到它等 於零時，此時直接路徑的功率 E p{ }²就等於零，這意味著傳送端送出的電波不能

直接傳送到接收端，而是必須藉由反射與折射的方法才能到達，這樣的通道會造 成系統效能大幅度降低，而這種通道我們稱為雷利衰減通道 （ Rayleigh Fading Channel ）。另外，當等於無限大時，通道就等同於沒有衰減的可加性高斯白雜 訊通道，因為此時不會有散射路徑存在，所有的傳輸功率都集中在直線路徑中。

在此論文的模擬當中，我們將針對 0和 10的情況下去作模擬。其中，

我們可以發現當 0時，雙路徑衰減通道的衰減比 10時來的嚴重。

第三章 最小均方誤差下頻譜預編碼式正交分頻 多工系統功率負載器及等化器聯合設計

第一節 系統設計

由於參考文獻[1]中，應用於頻譜預編碼式正交分頻多工系統上的功率負載技 術皆是基於零強制 ( Zeor Forcing ) 等化器所設計出來的結果，在此章中我們應用 參考文獻[6]中所提出同時設計等化器的功率負載技術於頻譜預編碼式正交分頻多 工系統上，以得到更佳的位元錯誤率效能。

在此章節中，我們考慮最小均方誤差 ( Minimum Mean Square Error，簡稱 MMSE ) 下頻譜預編碼式正交分頻多功系統 ( Spectrally Orthogonally-Precoded OFDM Systems，簡稱 SOP-OFDM ) 的功率負載器 ( Power Loader，簡稱 PL ) 及 等化器( Equalizer ) 的聯合設計，我們稱此架構為 JMMSE。換言之，我們希望透 過同時設計頻譜預編碼式正交分頻多功系統的功率負載器及等化器，使得通過等 化器解調出來的訊號與原先傳送端傳送的信號之間的均方誤差達到最小，進而改 善頻譜預編碼式正交分頻多功系統的平均位元錯誤率 ( Average Bit Error Rate 簡 稱 ABER ) 表現。

我們利用第二章所提及的系統架構來加以設計，根據系統架構的定義，通過 等化器得到的第i個資料區塊 













   

2

i i i i i i i i i i

i i

H H H

i i i i i q q i

MSE trace E d d

trace S GP S GP S GP S GP I S R S

 

   

 

 

        

 

(3. 1)

其 中 可 加 性 高 斯 雜 訊

qi 的 自 相 關 矩 陣 ( Auto-correlation Matrix ) 表 示 為





E q q R

我們可以將目標函數 ( Object Function ) ，及傳送端的平均功率限制表示成 (3. 2) 式，並用拉格朗日乘數 （ Lagrange Multipliers ） 進行分析

^{L P S( , , )i i i trace MSE}

 





L P S  必須滿足 ( , , ) 0

i i i i

PL P S 

  且 ( , , ) 0

i i i i

SL P S 

  (附錄:定理 1)，即式(3. 3) 與(3. 4)

H H H H H H

i i i i i i i i i

S P G  S S P G

(3. 3)

^{i i}

H H H H H

iGPi iGPP Gi i i Si Rq qSi

     (3. 4) 將式(3. 3) 右乘上GP 與式(3. 4) 左乘上_i S ，重新整理成式(3. 5) 與式(3. 6) _i

SiiGPi 













我們參考文獻[6]來設計適當的功率負載器P 及等化器_i S 以同時滿足式(3. 5) _i 與式(3. 6)，其設計的概念在於選取適當的P 及_i S 使得_i S_i_iGP_i為一個對角矩陣。我 們可以從式(3. 5) 與(3. 6)看出，若要使得S_i_iGP_i為一個對角矩陣，





i i

H i q q i

S R S 也必需同時為對角矩陣。其中利用第二章提到的正交頻譜預編碼特性，





在此條件下，我們整理式(3. 5) 得到式(3. 7)。



