何謂常數和變數:
常數:不會隨著其他因素而改變的數。 例:圓周率。
變數:隨著不同的情形而改變的數。 例:圓的半徑。
何謂正比:
當一個量y與另一個量 x 的比值是一個固定的常數時,稱y與 x 成正比關係。
可以用數學式 x
y =k或y=k x ,表示此一關係。
【範例】:x、y二個數,當 x 增加 2 倍、3 倍、4 倍…時,y會隨著增加 2 倍、3 倍、4 倍…;
或者當 x 變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍…時,y也會變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍……。
二個數之間的關係有此現象時,稱兩數成正比的關係。
簡單來說,當 x、y成正比,就是y値會隨著 x 値增加幾倍而增加幾倍,那麼y値 也一定會隨著 x 減少為幾倍而減少為幾倍。
【範例】:設 x 為正數,下列各式中哪些式子的y與 x 成正比?
(甲) 4y=5 x (乙) y=3 x 3 (丙) y= x 5
1
(丁) y= x +3 (戊) x y=1000 (己) x
y =4 。 解 : (甲) 4y=5 x Û y=
4 5 x 。
(己) x
y =4。 答:(甲)、(己)為正比的關係。
正比的關係表:
【範例】:下表為可樂數量與價錢的關係,請問 8 瓶可樂的價錢是多少元?
數量(罐)( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 價錢(元)(y) 17 34 51 68 85 102 119 ? 153
解 :8÷4=2……8 瓶是 4 瓶的 2 倍,
68×2=136……價錢也會是 68 元的 2 倍。
答:8 瓶可樂的價錢是 136 元。
76
正比的關係式:
x 、y二數成正比例時,y除以 x 所得商固定不變,即關係式為:
x
y =商(k) 或是以 y=k. x 來表示也可以,在此k為常數。
【範例】:如上表所示,假設可樂數量為 x ,總價為y,我們知道一瓶可樂售價為 17 元,
把總價=可樂售價×數量,也就是y=17× x ,即可得正比例的關係式:
y=17 x 或是移項可得 x
y =17。
正比的圖形:
當 x 、y成正比時,所畫成的關係圖,必為通過原點的一直線。
【範例】:下表為蘋果數量和價錢的關係,請試畫出此關係圖。
數量(顆) 0
2
1 1 2 3 4 …
價錢(元) 0 12.5 25 50 75 100 … 解 :
從右圖中,逐一標出( x ,y),
若上表中的( x ,y)的數據愈多,
則標出的點愈密集。
正比的應用:
x ,y成正比,透過關係表、關係式或關係圖就可以找出商(常數),
進而找無限多組( x ,y)。
【範例】:小華開車去加油站加油,已知汽油每 2 公升可跑 13 10
7 公里,總共加了 15 公升 的汽油,請問可以跑多少公里?
解 :每一公升所走距離:13 10
7 ÷2=6 20
17 (公里) 乘以 15 得到總共距離為:6
20
17 ×15=102 4
3 (公里)。
答:可以跑 102 4
3 公里。
0 1 2
25 50
x y
售價(元) 數
量 (顆)
3 4
75 100
虎克定律:在彈性限度內,彈簧的伸長量與所受的外力成正比。
※備註:一個彈簧所能承受的最大外力,稱為此彈簧的彈性限度,超過此值彈簧 就不會恢復原狀,而產生永久形變。
【範例】:小華做如附圖中所示力的測量實驗,結果如附表。請問當彈簧長度 30 公分時,
砝碼重量為多少公克?(假設未超過彈性限度。)
解 : ∵ 由上表可發現: 20 ÷ 1 = 20,
40 ÷ 2 = 20,
60 ÷ 3 = 20,
80 ÷ 4 = 20,
1000 ÷ 5 = 20。
∴ 砝碼重量與彈簧伸長量成正比例關係。
砝碼重量 ÷ 彈簧伸長量 = 20 砝碼重量 = 彈簧伸長量 × 20
= 10 × 20
= 200 (公克)。
【範例】:一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V),(D=
V M )。
當體積(V)固定時,質量越大密度也越大;質量越小密度也越小。
則密度(D)跟質量(M)成正比。
當密度(D)固定時,質量越大體積也越大;質量越小體積也越小。
則體積(V)跟質量(M)成正比。
若一個物體的體積為 100(cm 3 ),則:
若一個物體的密度為 2(g/cm 3 ),則:
砝碼重量(gw) 0 20 40 60 80 100 … ? 彈簧長度(cm) 20 21 22 23 24 25 … 30 彈簧伸長量(cm) 0 1 2 3 4 5 … 10
質量(g) 50 100 150 200 250 300 密度(g/cm 3 ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
質量(g) 50 100 150 200 250 300 體積(cm 3 ) 25 50 75 100 125 150
78
【範例】:自由落體落下的距離與時間的平方成正比,已知在兩秒內落下的距離 為 1960 公分,問:(1) 在 1.2 秒內落下多少公分?
(2) 在第 3 秒內落下多少公分?
解 :(1) 設距離為y公分,時間為 x 秒,則y= kx 。 2
將 x =2,y=1960 代入y= kx ,可得:1960=42 k k=490 因此當 x =1.2,y=490×(1.2) 2
=705.6 (2) 因為 y=490 x 2
所以 y=490×(3 2 -2 2 )
=1225
答:(1) 在 1.2 秒內落下 705.6 公分,
(2) 在第 3 秒內落下 1225 公分。
【範例】:已知(5 x -y)與(3 x +y)成正比,當 x =-2,y=1,求:
(1) x 與y的關係如何? (2) 當 x =-3 時y=?
解 : (1) (5 x -y)=k×(3 x +y),
將 x =-2,y=1 代入,可得:-10-1=k×(-6+1) k=
5 11
所以 x 與y的關係式為 (5 x -y)=
5
11 ×(3 x +y)。
(2) 將 x =-3 代入(5 x -y)=
5
11 ×(3 x +y),
可得: -15-y= 5
11 ×(-9+y)
-75-5y=-99+11y y=
2 3
【例題 1】
溜溜球一個是 150 元,所買的溜溜球數量和價錢的關係如下表:
(1) 溜溜球個數變成 3 倍,4 倍,…時,價錢變成( 3 )倍,( 4 )倍…。
(2) x 增加則y隨 x 增加, x 、y成( 正 )比例關係。
(3) x 減少則y隨 x ( 減少 ),價錢隨著溜溜球數量成( 正 )比例關係。
溜溜球( x 個) 1 2 3 4 5 6 價錢(y元) 150 300 450 600 750 900
【例題 2】
圓半徑和面積的關係如下表,請填入各空格裡的數並回答下列問題(圓周率用 3 來計算) 半徑( cm ) 1 2 3 4 5 8 10
面積( cm ) 2 3 12 27 48 75 192 300
(1)若圓的面積是 4800 cm ,半徑是多少公分?1600cm 2
(2)圓的半徑 10 cm 是 5 cm 的( 2 )倍,半徑 10 cm 的面積是半徑 5 cm 的面積的(4 )倍。
(3)圓半徑和面積是否成正比例?(否 )。
【例題 3】
下表中, x 和y有一定的比例關係,請回答下列問題:
(1) 求出表格中,ㄅ,ㄆ各代表什麼數?
(2) x 和y成什麼關係?
(3) x :y的比值為何?
(4) 當 x =18 公分,那麼y應該為多少呢?
答:(1) ㄅ代表 48,ㄆ代表 5。(2) y=12 x 。(3) x :y的比值為 1 12 。 (4) y=12×18=216。
x (㎝) 2 3 4 ㄆ
y(元) 24 36 ㄅ 60
80
【例題 4】
鐵條長 18 公尺重量是 144 公克,請回答下列問題:
(1) 完成右表填入適當的數。
(2) x 與y成什麼關係?
(3) x :y的比值為何?
(4) 重量 180g 的鐵絲,長度是多少?
(5) 長度 15 公尺的鐵絲,重量是多少?
答:(2) y=8 x 。(3) x :y的比值為 1 8 。
(4) 180=8 x ∴ x =22.5。 ∴ 長度是 22.5 公尺。 (5) y=8×15=120g。
鐵條( x m) 18 20 36 重量(yg) 144 160 288
【例題 5】
小明的身高 150 公分,他的影子長剛好 2.5 公尺,同一時間量得樹影長 9 公尺,請問:
(1)樹高多少公尺?
(2)實物的高度( x 公尺)和影子(y公尺)成什麼關係?
(3)寫出 x 和y的關係式(列出二種不同寫法)。
(4)若此時有一棟建築物高 12 公尺,則同一時刻影子長多少公尺?
答:(1) 5 . 2
5 . 1 =
9 x =
5
3 ∴ x = 5
27 ∴樹高
5
27 公尺。 (2) x = 5 3 y。 (3) x =
5
3 y,y= 3
5 x ,5 x =3y。 (4) a
12 = 5
3 ∴ a =20 ∴ 同一時刻影子長 20 公尺。
【例題 6】
小吉暑假打工,每發出 100 張廣告紙可以得到工錢 30 元,請問:
(1)每發出一張廣告紙多少元?
(2)發出張數和工錢成什關係?
(3)請完成下表並畫成關係圖?
答:(1) 30÷100=0.3 元。
(2) 正比。工錢=0.3 × 發出張數。
張數(張) 1 100 250 900 工錢(元) 0.3 30 75 270
100 200 300 400 500 0
150 120
90 60 30
張數(張) 工
錢 (元)
何謂反比:
當一個量y與另一個量 x 的乘積是一個固定的常數時,稱y與 x 成反比,
或者說y與 x
1 成正比。可以用數學式 x .y=k或y= x
k ,表示此一關係。
【範例】: x 、y二個數,當 x 增加 2 倍、3 倍、4 倍……時,y會隨著變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍……;或者當 x 變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍…時,y也會變成 2 倍、3 倍、4 倍……。
二個數之間的關係有此現象時,稱兩數成反比的關係。
簡單來說,當 x 、y成反比,就是y値會隨著 x 値增加而減少,那麼y値也 一定會隨著 x 減少而增加。
【範例】:設 x 為正數,下列各式中哪些式子的y與 x 成反比?
(甲) 4y=5 x (乙) y=3 x 3 (丙) y= x 5
1
(丁) y= x +3 (戊) x y=1000 (己) x
y =4 。 解 :(丙) y=
x 5
1 Û x y= 5 1 。
(戊) x y=1000。 答:(丙)、(戊)為反比的關係。
【範例】:面積 54 cm 的長方形,若長為 x cm ,寬為2 y cm ,則 x 和y是成什麼關係?
解 : 54 = 1 × 54
= 2 × 27
= 3 × 18
所以可以得到 x 和y為反比關係。
反比的關係表:
把上例可能的情形填入表中,並請找出當長方形的長為 2
1 公分時,寬為多少公分?
面積( cm ) 2 54 54 54 54 54 54 54 54 長( x cm ) 1 2 3 6 9 18 27 54 寬(y cm ) 54 27 18 9 6 3 2 1
82
反比的關係式:
當 x 、y二數成反比時, x ×y=積(常數)
【範例】:面積 54 cm 的長方形,若長為 x cm ,寬為寬為 y cm ,則 x 和2 y的 關係式為: x ×y=54。
反比的圖形:
當 x 、y成反比時,所畫成的關係圖,為不通過原點的曲線。
【範例】:走 24km路程,時速與時間小時的關係表如下,請畫出關係圖。
時速 x (km) 2 3 4 6 8 12 時間y(時) 12 8 6 4 3 2
解 :從右圖中,逐一標出( x ,y),
若上表中的( x ,y)數據愈多,
則標出的點愈密集。
反比的應用:
x ,y成反比,透過關係表、關係式或關係圖就可以找出積(常數),進而找 無限多組( x ,y)。
【範例】 :設y與(2 x +3)成反比,當 x =6,y= 3
1 時,求:
(1) x 與y的關係如何? (2) 當 x =11 時y=?
解 : (1) y×(2 x +3)=k, 將 x =6,y=
3
1 代入,可得:
3
1 ×(12+3)=k k=5 所以 x 與y的關係式為y×(2 x +3)=5。
(2) 將 x =11 代入y×(2 x +3)=5,
可得: y×(22+3)=5 y=
5 1
【範例】:一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V),(D=
V M )。
也可以改寫成質量(M)等於密度(D)乘以體積(V),(M=D.V)。
當質量(M)固定時,密度越大則體積越小;密度越小則體積越大。
所以密度(D)跟體積(V)成反比關係。
若一個物體的質量為 200(g),則:
【範例】:一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V),(D=M÷V)。
假設某物體的密度為 0.8( g cm 3 ),體積為 500(cm 3 )。當此物體質量為 固定值的時候,體積要多少?才能使密度減少 0.2。
解 :∵ D=M÷V
∴ M=D×V , 則:M=0.8×500=400(g)
使密度減少 0.2,也就是:密度(D)=0.8-0.2=0.6( g cm 3 )。
M=D×V Û 400=0.6×V Û V=400÷0.6=
3 2000
(cm 3 ) 答:當體積為
3 2000
(cm 3 )時。
【範例】:有一個工程,若每天有 8 位工人施工,則需要施工 18 天,若希望提早 6 天 完成,則需要多少工人?
解 :工程每個人所需的花費的總天數:8×18=144(天) 將總天數除以施工天數:144÷12=12 (人)
壓力:
(1)意義:物體的表面受到外力作用時,表面凹陷越深代表所受的壓力越大。
(2)定義:單位面積所受的正向力。
(3)公式:若以P表示壓力,F表示正向力,A表示接觸面積,
體積(cm 3 ) 50 100 150 200 250 300 密度(g/cm 3 ) 4 2
3
4 1
5 4
3 2
84
則F、P、A的關係為: P=
A F 。 (4) 正向力必須垂直於接觸面。
壓力的單位:由力的單位除以面積的單位而產生。
常 用 者:公克重/平方公分(gw/cm 2 )、公斤重/平方公尺(kgw/m 2 ) 其中 1 gw/cm 2 = 1000 kgw/m 2
下圖中 A、B、C 是有關壓力的實驗裝置:
在 B、C 兩個裝置中,因為瓶子裡的水一樣多,所以正向力一樣,但是 C 裝置的瓶子 與海棉的接觸面積較小,海綿的凹陷程度較大;而 B 裝置的瓶子與海棉的接觸面積 較大,海綿的凹陷程度較小。所以當正向力(F)固定時,瓶子與海棉的接觸面積(A) 跟海綿的凹陷程度(壓力P)成反比。
F=P.A
【例題 1】
誠誠的寒假作業有一項是閱讀哈利波特,誠誠調查幾位同學的閱讀情形如下表,請問:
姓名 愛愛 琦琦 小旻 誠誠
頁數(頁/天) 10 75 15 30
所需天數(天) 45 6 30 15
(1)頁數變成 2 倍,3 倍…,所需要的天數變成( 1
2 )倍,( 1
3 )倍。
(2)誠誠的天數是愛愛的( 1
3 )倍,頁數是愛愛的( 3 )倍。
(3)天數隨著頁數成( 反 )比例。
(4)這本書共有( 450 )頁。
【例題 2】
企鵝要走到 30 ㎞外的海邊,若速率為每小時 x ㎞時,所花的時間為y小時,請問:
(1)完成 x 與y的關係表:
(2) x 與y成什麼關係?
(3)請寫出 x 和y的關係式?
答:(2) 成反比例,xy=30。 (3) xy=30。
速率 x (㎞/時) 1 5 4 0.5 1
3 45 2 120 時間y(時) 30 6 7.5 60 90 2
3 15 1 4
86
【例題 3】
內部邊長為 1 公尺的正方體盒子,打開每分鐘流入 x 公升的水管,花費y分鐘剛好到達滿 水位,請問:
(1) 正方體盒子的容積多少公升?
(2) x 與y的關係式為何?
(3) 若分別有 A 水管每分鐘流入 20 公升,B 水管每分鐘流 16 公升,則 A 水管和 B 水管的 出水量比和比值各為多少?
(4) 由(3)到達滿水位時,A 水管和 B 水管所花的時間比和比值各為何?
解:(1) 1×1×1=1 立方公尺=1000 公升。
(2) xy=1000 。
(3) A 水管和 B 水管的出水量比為 20:16=5:4; 比值為 4 5 。 (4) A 水管和 B 水管所花的時間比為
20 1000
: 16 1000
=4:5;比值為 5 4 。 答:(1)1000 公升。 (2) xy=1000 。
(3) A 水管和 B 水管的出水量比為 5:4, 比值為 4 5 。 (4) A 水管和 B 水管所花的時間比為 4:5,比值為
5 4 。
【例題 4】
有一個工程,若每天有 12 位工人施工,則需要施工 15 天,若希望提早 5 天完成,請問:
(1)原先的工作天數和現在的工作天數比為何?
(2)提早 5 天完成則共需要多少位工人?
解:(1) 15:10=3:2
(2) 12 × 15 ÷(15-5)=18 位工人 答:(1) 3:2 。 (2)18 位工人。
【例題 5】
有大小兩個齒輪相密合,大齒輪齒數 96 齒,小齒輪齒數 32 齒,小齒輪旋轉 12 圈花掉 36 秒,大齒輪要轉幾圈?大齒輪轉 1 圈需多少秒?
解:大齒輪要轉 32 × 12 ÷ 96=4 圈,
小齒輪旋轉 1 圈花掉 36÷3=12 秒,∴ 大齒輪轉 1 圈需 96 ÷ 32 × 12=36 秒 答:大齒輪要轉 4 圈,大齒輪轉 1 圈需 36 秒。
【例題 6】
有三個齒輪 A、B、C,各別的齒數分別為 72、24、96,A 齒輪以順時針方向旋轉,請回答 下列問題:
(1)B、C 兩齒輪各以何種方向旋轉?
(2)若 A 齒輪轉 8 圈,則 B、C 的回轉數各為多少?
(3)若 B 齒輪旋轉一圈時,A、C 兩齒輪各旋轉多少度?
(4)若 B 齒輪旋轉一圈需 13 秒,則 A、C 兩齒輪各旋轉一圈各需多少秒?
解:(1) B 齒輪以逆時針方向旋轉、C 齒輪以順時針方向旋轉。
(2) B 的回轉數 72 × 8 ÷ 24=24 圈 , C 的回轉數 72 × 8 ÷ 96=6 圈 (3) A 齒輪旋轉 ´ 360 °
72
24 =120 度, C 齒輪旋轉 ´ 360 ° 96
24 =90 度 (4) A 齒輪旋轉一圈需 72 ÷ 24 × 13=39 秒,
C 齒輪旋轉一圈需 96 ÷ 24 × 13=52 秒
答:(1) B 齒輪以逆時針方向旋轉、C 齒輪以順時針方向旋轉。
(2) B 的回轉數 24 圈 , C 的回轉數 6 圈。
(3) A 齒輪旋轉 120 度, C 齒輪旋轉 90 度。
(4) A 齒輪旋轉一圈 39 秒,C 齒輪旋轉一圈需 52 秒。
【例題 7】
下表是農場割草時,割草機的數目和工作時數的關係表,請問:
x (台) 3 6 12 24 48 32 120
y(時) 8 4 2 1 0.5
4 3
5 1
(1) 完成上面的關係表。
(2) 根據上表完成右邊的關係圖。
(3) 右圖是一條( 曲 )線。
(4) x 和y的關係式是( 反 )比例關係。
88
【例題 8】
小浩和小華在公園玩翹翹板,體重 30 公斤的小華坐在距支點 2 公尺的地方,若小浩的 體重 x 公斤,坐在距支點y公尺的地方,請問:
(1) 完成上面的關係表。
(2) x 和y成什關係?
(3) 畫出右邊的關係圖?
答:(2) x y=60。
x (㎏) 40 25 20 15 30 y(m)
2 3
5
12 3 4 2