七年級 E70202
何謂常數和變數：
常數：不會隨著其他因素而改變的數。 例：圓周率。
變數：隨著不同的情形而改變的數。 例：圓的半徑。
何謂正比：
當一個量y與另一個量 x 的比值是一個固定的常數時，稱y與 x 成正比關係。
可以用數學式 x
y ＝k或y＝k x ，表示此一關係。
【範例】：x、y二個數，當 x 增加 2 倍、3 倍、4 倍…時，y會隨著增加 2 倍、3 倍、4 倍…；
或者當 x 變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍…時，y也會變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍……。
二個數之間的關係有此現象時，稱兩數成正比的關係。
簡單來說，當 x、y成正比，就是y値會隨著 x 値增加幾倍而增加幾倍，那麼y値 也一定會隨著 x 減少為幾倍而減少為幾倍。
【範例】：設 x 為正數，下列各式中哪些式子的y與 x 成正比？
(甲) 4y＝5 x (乙) y＝3 x 3 (丙) y＝ x 5
1
(丁) y＝ x ＋3 (戊) x y＝1000 (己) x
y ＝4 。 解 ： (甲) 4y＝5 x Û y＝
4 5 x 。
(己) x
y ＝4。 答：(甲)、(己)為正比的關係。
正比的關係表：
【範例】：下表為可樂數量與價錢的關係，請問 8 瓶可樂的價錢是多少元？
數量(罐)( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 價錢(元)(y) 17 34 51 68 85 102 119 ？ 153
解 ：8÷4＝2……8 瓶是 4 瓶的 2 倍，
68×2＝136……價錢也會是 68 元的 2 倍。
答：8 瓶可樂的價錢是 136 元。
七年級 E70202
96
正比的關係式：
x 、y二數成正比例時，y除以 x 所得商固定不變，即關係式為：
x
y ＝商(k) 或是以 y＝k． x 來表示也可以，在此k為常數。
【範例】：如上表所示，假設可樂數量為 x ，總價為y，我們知道一瓶可樂售價為 17 元，
把總價＝可樂售價×數量，也就是y＝17× x ，即可得正比例的關係式：
y＝17 x 或是移項可得 x
y ＝17。
正比的圖形：
當 x 、y成正比時，所畫成的關係圖，必為通過原點的一直線。
【範例】：下表為蘋果數量和價錢的關係，請試畫出此關係圖。
數量(顆) 0
2
1 1 2 3 4 …
價錢(元) 0 12.5 25 50 75 100 … 解 ：
從右圖中，逐一標出( x ，y)，
若上表中的( x ，y)的數據愈多，
則標出的點愈密集。
正比的應用：
x ，y成正比，透過關係表、關係式或關係圖就可以找出商(常數)，
進而找無限多組( x ，y)。
【範例】：小華開車去加油站加油，已知汽油每 2 公升可跑 13 10
7 公里，總共加了 15 公升 的汽油，請問可以跑多少公里？
解 ：每一公升所走距離：13 10
7 ÷2＝6 20
17 (公里) 乘以 15 得到總共距離為：6
20
17 ×15＝102 4
3 (公里)。
答：可以跑 102 4
3 公里。
0 1 2
25 50
x y
售價(元) 數
量 (顆)
3 4
75 100
七年級 E70202
虎克定律：在彈性限度內，彈簧的伸長量與所受的外力成正比。
※備註：一個彈簧所能承受的最大外力，稱為此彈簧的彈性限度，超過此值彈簧 就不會恢復原狀，而產生永久形變。
【範例】：小華做如附圖中所示力的測量實驗，結果如附表。請問當彈簧長度 30 公分時，
砝碼重量為多少公克？(假設未超過彈性限度。)
解 ： ∵ 由上表可發現： 20 ÷ 1 ＝ 20，
40 ÷ 2 ＝ 20，
60 ÷ 3 ＝ 20，
80 ÷ 4 ＝ 20，
1000 ÷ 5 ＝ 20。
∴ 砝碼重量與彈簧伸長量成正比例關係。
砝碼重量 ÷ 彈簧伸長量 ＝ 20 砝碼重量 ＝ 彈簧伸長量 × 20
＝ 10 × 20
＝ 200 (公克)。
【範例】：一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V)，(D＝
V M )。
當體積(V)固定時，質量越大密度也越大；質量越小密度也越小。
則密度(D)跟質量(M)成正比。
當密度(D)固定時，質量越大體積也越大；質量越小體積也越小。
則體積(V)跟質量(M)成正比。
若一個物體的體積為 100(cm 3 )，則：
若一個物體的密度為 2(g/cm 3 )，則：
砝碼重量(gw) 0 20 40 60 80 100 … ？ 彈簧長度(cm) 20 21 22 23 24 25 … 30 彈簧伸長量(cm) 0 1 2 3 4 5 … 10
質量(g) 50 100 150 200 250 300 密度(g/cm 3 ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
質量(g) 50 100 150 200 250 300 體積(cm 3 ) 25 50 75 100 125 150
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98
【範例】：自由落體落下的距離與時間的平方成正比，已知在兩秒內落下的距離 為 1960 公分，問：(1) 在 1.2 秒內落下多少公分？
(2) 在第 3 秒內落下多少公分？
解 ：(1) 設距離為y公分，時間為 x 秒，則y＝ kx 。 2
將 x ＝2，y＝1960 代入y＝ kx ，可得：1960＝42 k k＝490 因此當 x ＝1.2，y＝490×(1.2) 2
＝705.6 (2) 因為 y＝490 x 2
所以 y＝490×(3 2 －2 2 )
＝1225
答：(1) 在 1.2 秒內落下 705.6 公分，
(2) 在第 3 秒內落下 1225 公分。
【範例】：已知(5 x －y)與(3 x ＋y)成正比，當 x ＝－2，y＝1，求：
(1) x 與y的關係如何？ (2) 當 x ＝－3 時y＝？
解 ： (1) (5 x －y)＝k×(3 x ＋y)，
將 x ＝－2，y＝1 代入，可得：－10－1＝k×(－6＋1) k＝
5 11
所以 x 與y的關係式為 (5 x －y)＝
5
11 ×(3 x ＋y)。
(2) 將 x ＝－3 代入(5 x －y)＝
5
11 ×(3 x ＋y)，
可得： －15－y＝ 5
11 ×(－9＋y)
－75－5y＝－99＋11y y＝
2 3
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【例題 1】
溜溜球一個是 150 元，所買的溜溜球數量和價錢的關係如下表：
(1) 溜溜球個數變成 3 倍，4 倍，…時，價錢變成( )倍，( )倍…。
(2) x 增加則y隨 x 增加， x 、y成( )比例關係。
(3) x 減少則y隨 x ( )，價錢隨著溜溜球數量成( )比例關係。
溜溜球( x 個) 1 2 3 4 5 6 價錢(y元) 150 300 450 600 750 900
【例題 2】
圓半徑和面積的關係如下表，請填入各空格裡的數並回答下列問題(圓周率用 3 來計算) 半徑( cm ) 1 2 3 4 5 8 10
面積( cm ) 2 3 12 27 48 75 192 300
(1)若圓的面積是 4800 cm ，半徑是多少公分？1600cm 2
(2)圓的半徑 10 cm 是 5 cm 的( )倍，半徑 10 cm 的面積是半徑 5 cm 的面積的( )倍。
(3)圓半徑和面積是否成正比例？( )。
【例題 3】
下表中， x 和y有一定的比例關係，請回答下列問題：
(1) 求出表格中，ㄅ，ㄆ各代表什麼數？
(2) x 和y成什麼關係？
(3) x ：y的比值為何？
(4) 當 x ＝18 公分，那麼y應該為多少呢？
答：
x (㎝) 2 3 4 ㄆ
y(元) 24 36 ㄅ 60
七年級 E70202
100
【例題 4】
鐵條長 18 公尺重量是 144 公克，請回答下列問題：
(1) 完成右表填入適當的數。
(2) x 與y成什麼關係？
(3) x ：y的比值為何？
(4) 重量 180g 的鐵絲，長度是多少？
(5) 長度 15 公尺的鐵絲，重量是多少？
答：
鐵條( x m) 18 20 36 重量(yg) 144 160 288
【例題 5】
小明的身高 150 公分，他的影子長剛好 2.5 公尺，同一時間量得樹影長 9 公尺，請問：
(1)樹高多少公尺？
(2)實物的高度( x 公尺)和影子(y公尺)成什麼關係？
(3)寫出 x 和y的關係式(列出二種不同寫法)。
(4)若此時有一棟建築物高 12 公尺，則同一時刻影子長多少公尺？
答：
【例題 6】
小吉暑假打工，每發出 100 張廣告紙可以得到工錢 30 元，請問：
(1)每發出一張廣告紙多少元？
(2)發出張數和工錢成什關係？
(3)請完成下表並畫成關係圖？
答：
張數(張) 1 100 250 900 工錢(元) 0.3 30 75 270
100 200 300 400 500 0
150 120
90 60 30
張數(張) 工
錢 (元)
七年級 E70202
何謂反比：
當一個量y與另一個量 x 的乘積是一個固定的常數時，稱y與 x 成反比，
或者說y與 x
1 成正比。可以用數學式 x ．y＝k或y＝ x
k ，表示此一關係。
【範例】： x 、y二個數，當 x 增加 2 倍、3 倍、4 倍……時，y會隨著變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍……；或者當 x 變成 2 1 倍、
3 1 倍、
4
1 倍…時，y也會變成 2 倍、3 倍、4 倍……。
二個數之間的關係有此現象時，稱兩數成反比的關係。
簡單來說，當 x 、y成反比，就是y値會隨著 x 値增加而減少，那麼y値也 一定會隨著 x 減少而增加。
【範例】：設 x 為正數，下列各式中哪些式子的y與 x 成反比？
(甲) 4y＝5 x (乙) y＝3 x 3 (丙) y＝ x 5
1
(丁) y＝ x ＋3 (戊) x y＝1000 (己) x
y ＝4 。 解 ：(丙) y＝
x 5
1 Û x y＝ 5 1 。
(戊) x y＝1000。 答：(丙)、(戊)為反比的關係。
【範例】：面積 54 cm 的長方形，若長為 x cm ，寬為2 y cm ，則 x 和y是成什麼關係？
解 ： 54 ＝ 1 × 54
＝ 2 × 27
＝ 3 × 18
所以可以得到 x 和y為反比關係。
反比的關係表：
把上例可能的情形填入表中，並請找出當長方形的長為 2
1 公分時，寬為多少公分？
面積( cm ) 2 54 54 54 54 54 54 54 54 長( x cm ) 1 2 3 6 9 18 27 54 寬(y cm ) 54 27 18 9 6 3 2 1
七年級 E70202
102
反比的關係式：
當 x 、y二數成反比時， x ×y＝積(常數)
【範例】：面積 54 cm 的長方形，若長為 x cm ，寬為寬為 y cm ，則 x 和2 y的 關係式為： x ×y＝54。
反比的圖形：
當 x 、y成反比時，所畫成的關係圖，為不通過原點的曲線。
【範例】：走 24km路程，時速與時間小時的關係表如下，請畫出關係圖。
時速 x (km) 2 3 4 6 8 12 時間y(時) 12 8 6 4 3 2
解 ：從右圖中，逐一標出( x ，y)，
若上表中的( x ，y)數據愈多，
則標出的點愈密集。
反比的應用：
x ，y成反比，透過關係表、關係式或關係圖就可以找出積(常數)，進而找 無限多組( x ，y)。
【範例】：設y與(2 x ＋3)成反比，當 x ＝6，y＝ 3
1 時，求：
(1) x 與y的關係如何？ (2) 當 x ＝11 時y＝？
解 ： (1) y×(2 x ＋3)＝k， 將 x ＝6，y＝
3
1 代入，可得：
3
1 ×(12＋3)＝k k＝5 所以 x 與y的關係式為y×(2 x ＋3)＝5。
(2) 將 x ＝11 代入y×(2 x ＋3)＝5，
可得： y×(22＋3)＝5
七年級 E70202 y＝
5 1
【範例】：一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V)，(D＝
V M )。
也可以改寫成質量(M)等於密度(D)乘以體積(V)，(M＝D．V)。
當質量(M)固定時，密度越大則體積越小；密度越小則體積越大。
所以密度(D)跟體積(V)成反比關係。
若一個物體的質量為 200(g)，則：
【範例】：一個物體的密度(D)等於質量(M)除以體積(V)，(D＝M÷V)。
假設某物體的密度為 0.8( g cm 3 )，體積為 500(cm 3 )。當此物體質量為 固定值的時候，體積要多少？才能使密度減少 0.2。
解 ：∵ D＝M÷V
∴ M＝D×V ， 則：M＝0.8×500＝400(g)
使密度減少 0.2，也就是：密度(D)＝0.8－0.2＝0.6( g cm 3 )。
M＝D×V Û 400＝0.6×V Û V＝400÷0.6＝
3 2000
(cm 3 ) 答：當體積為
3 2000
(cm 3 )時。
【範例】：有一個工程，若每天有 8 位工人施工，則需要施工 18 天，若希望提早 6 天 完成，則需要多少工人？
解 ：工程每個人所需的花費的總天數：8×18＝144(天) 將總天數除以施工天數：144÷12＝12 (人)
壓力：
（1）意義：物體的表面受到外力作用時，表面凹陷越深代表所受的壓力越大。
（2）定義：單位面積所受的正向力。
（3）公式：若以Ｐ表示壓力，Ｆ表示正向力，Ａ表示接觸面積，
則Ｆ、Ｐ、Ａ的關係為： Ｐ＝ F 。
體積(cm 3 ) 50 100 150 200 250 300 密度(g/cm 3 ) 4 2
3
4 1
5 4
3 2
七年級 E70202
104
(4) 正向力必須垂直於接觸面。
壓力的單位：由力的單位除以面積的單位而產生。
常 用 者：公克重／平方公分（gw/cm 2 ）、公斤重／平方公尺（kgw/m 2 ） 其中 1 gw/cm 2 ＝ 1000 kgw/m 2
下圖中 A、B、C 是有關壓力的實驗裝置：
在 B、C 兩個裝置中，因為瓶子裡的水一樣多，所以正向力一樣，但是 C 裝置的瓶子 與海棉的接觸面積較小，海綿的凹陷程度較大；而 B 裝置的瓶子與海棉的接觸面積 較大，海綿的凹陷程度較小。所以當正向力(Ｆ)固定時，瓶子與海棉的接觸面積(Ａ) 跟海綿的凹陷程度(壓力Ｐ)成反比。
Ｆ＝Ｐ．Ａ
七年級 E70202
【例題 1】
誠誠的寒假作業有一項是閱讀哈利波特，誠誠調查幾位同學的閱讀情形如下表，請問：
姓名 愛愛 琦琦 小旻 誠誠
頁數(頁/天) 10 75 15 30
所需天數(天) 45 6 30 15
(1)頁數變成 2 倍，3 倍…，所需要的天數變成( )倍，( )倍。
(2)誠誠的天數是愛愛的( )倍，頁數是愛愛的( )倍。
(3)天數隨著頁數成( )比例。
(4)這本書共有( )頁。
【例題 2】
企鵝要走到 30 ㎞外的海邊，若速率為每小時 x ㎞時，所花的時間為y小時，請問：
(1)完成 x 與y的關係表：
(2) x 與y成什麼關係？
(3)請寫出 x 和y的關係式？
答：
速率 x (㎞/時) 1 5 4 0.5 1
3 45 2 120 時間y(時) 30 6 7.5 60 90 2
3 15 1 4
七年級 E70202
106
【例題 3】
內部邊長為 1 公尺的正方體盒子，打開每分鐘流入 x 公升的水管，花費y分鐘剛好到達滿 水位，請問：
(1) 正方體盒子的容積多少公升？
(2) x 與y的關係式為何？
(3) 若分別有 A 水管每分鐘流入 20 公升，B 水管每分鐘流 16 公升，則 A 水管和 B 水管的 出水量比和比值各為多少？
(4) 由(3)到達滿水位時，A 水管和 B 水管所花的時間比和比值各為何？
解：
【例題 4】
有一個工程，若每天有 12 位工人施工，則需要施工 15 天，若希望提早 5 天完成，請問：
(1)原先的工作天數和現在的工作天數比為何？
(2)提早 5 天完成則共需要多少位工人？
解：
【例題 5】
有大小兩個齒輪相密合，大齒輪齒數 96 齒，小齒輪齒數 32 齒，小齒輪旋轉 12 圈花掉 36 秒，大齒輪要轉幾圈？大齒輪轉 1 圈需多少秒？
解：
七年級 E70202
【例題 6】
有三個齒輪 A、B、C，各別的齒數分別為 72、24、96，A 齒輪以順時針方向旋轉，請回答 下列問題：
(1)B、C 兩齒輪各以何種方向旋轉？
(2)若 A 齒輪轉 8 圈，則 B、C 的回轉數各為多少？
(3)若 B 齒輪旋轉一圈時，A、C 兩齒輪各旋轉多少度？
(4)若 B 齒輪旋轉一圈需 13 秒，則 A、C 兩齒輪各旋轉一圈各需多少秒？
解：
【例題 7】
下表是農場割草時，割草機的數目和工作時數的關係表，請問：
x (台) 3 12 24 48 120
y(時) 8 4
4 3
5 1
(1) 完成上面的關係表。
(2) 根據上表完成右邊的關係圖。
(3) 右圖是一條( )線。
(4) x 和y的關係式是( )比例關係。
七年級 E70202
108
【例題 8】
小浩和小華在公園玩翹翹板，體重 30 公斤的小華坐在距支點 2 公尺的地方，若小浩的 體重 x 公斤，坐在距支點y公尺的地方，請問：
(1) 完成上面的關係表。
(2) x 和y成什關係？
(3) 畫出右邊的關係圖？
x (㎏) 40 20 30
y(m)
2 3
5
12 4 2
