工程數學報告

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工程數學報告

組員：4970J046 李家明 4970J053 楊凱翔 4970J114 徐紹棠

指導老師：楊松霈

日期：2010/06/21

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關於傅立葉：

傅立葉

1.法國數學家及物理學家。

2.最早使用定積分符號，改進符號法則及根數判別方法。

3.傅立葉級數（三角級數）創始人。

法國數學家、物理學家。1768 年 3 月 21 日生于歐塞爾， 1830 年 5 月 16 日卒于巴黎。9 歲父母雙亡，被當地教堂收養。12 歲由一主教送入地方軍事學校讀書。17 歲（1785）回鄉教數學，1794 到巴黎，成為高等師範學校的首批學員，

次年到巴黎綜合工科學校執教。1798 年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801 年回國後任伊澤爾省地方長官。1817 年當選為科學院院士，

1822 年任該院終身秘書，後又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。

主要貢獻是在研究熱的傳播時創立了一套數學理論。1807 年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳導方程，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。

1822 年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對 19 世紀數學和理論物理學的發展產生深遠影響。傅立葉級數（即三角級數）、傅立葉分析等理論均由此創始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數方程符號法則的證法和實根個數的判別法等。

法國數學家 Fourier (1768-1830) 發展出一套數學技巧，可用來分析有週期性的函數。

Fourier's Theorem :

如果有一個函數，它有一個空間的週期(也就是所謂的波長)λ，則這個函數可被拆解成由波長為λ整數分之一的簡諧波的總合。

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傅立葉級數：

傅立葉級數的公式傅立葉級數的公式傅立葉級數的公式傅立葉級數的公式

給定一個周期為 T 的函數 x(t)，那麼它可以表示為無窮級數：

（

i

為虛數單位）（1）

其中，

a

^k可以按下式計算：

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注意到是周期為 T 的函數，故 k 取不同值時的周期訊號具有諧波關係諧波關係諧波關係諧波關係（即它們都具有一個共同周期 T）。k=0 時，（1）式中對應的這一項稱為直流分量直流分量直流分量直流分量，時具有基波頻率基波頻率基波頻率基波頻率，稱為一次諧波一次諧波一次諧波一次諧波或基波基波基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。基波

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三角函數族的正交性三角函數族的正交性三角函數族的正交性三角函數族的正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為 0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組 n 個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個 n 維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

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傅立葉轉換：

• 傅立葉轉換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉轉換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉轉換和離散傅立葉轉換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的^[1]

。

• 傅立葉轉換屬於諧波分析。

• 傅立葉轉換的逆轉換容易求出，而且形式與正轉換非常類似。

• 正弦基函數是微分運算的固有函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解。在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦訊號的響應來獲取。

• 摺積定理指出：傅立葉轉換可以化複雜的摺積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算摺積的一種簡單手段。

• 離散形式的傅立葉轉換可以利用數位計算機快速的實現（其演算法稱為快速傅立葉轉換演算法（FFT））。

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基本性質基本性質基本性質基本性質線性性質線性性質線性性質線性性質

兩函數之和的傅立葉轉換等於各自轉換之和。數學描述是：若函數和的傅立葉轉換和都存在，α和β為任意常係

數，則；傅立葉轉換算符可經歸一

化成為么正算符；

平移性質平移性質平移性質平移性質

若函數存在傅立葉轉換，則對任意實數ω⁰，函數也存

在傅立葉轉換，且有。式中花體是傅立

葉轉換的作用算子，平體

F

表示轉換的結果（複函數），

e

為自然對數的底，

i

為虛數單位；

微分微分微分

微分關係關係關係關係

若函數當時的極限為 0，而其導函數

f

'(

x

)的傅立葉轉換存在，則有，即導函數的傅立葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因子

i

ω。更一般地，若

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，且存在，

則，即

k

階導數的傅立葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因子(

i

ω)^k。

摺積摺積摺積

摺積特性特性特性特性

若函數及都在上絕對可積，則摺積函數

的傅立葉轉換存在，且

。摺積性質的逆形式為

，即兩個函數乘積的傅立葉逆轉換等於它們各自的傅立葉逆轉換的摺積。

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應用應用應用應用

傅立葉轉換在物理學、聲學、光學、結構動力學、數論、組合數學、

機率論、統計學、訊號處理、密碼學、海洋學、通訊等領域都有著廣泛的應用。例如在訊號處理中，傅立葉轉換的典型用途是將訊號分解成幅值分量和頻率分量。

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心得：

李家明：

這次的報告內容是工程數學在電機上的應用，我們發現工程數學在電機有徐多的運用。

楊凱翔：

我們這次找的報告內容大多都是傅立葉在業界上的運用，大約就是統計，機率，訊號處理……等等的

徐紹棠：

這次我們做的工數報告，主要是找傅立葉的相關，傅立葉在業界上有許多的應用方法，

知道了他跨足了許多的領域。

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