“雙胞胎三角形”的幾個不等式

數學傳播 34 卷 4 期, pp. 46-49

“雙胞胎三角形”的幾個不等式

鄒守文

設 G 為 △ABC 內一點, BG、CG 分別交 AC、 AB 於點 E、F 。 我們稱 △BGF 和

△CGE 為一組“雙胞胎三角形”。

在研究“雙胞胎組”三角形的面積時, 我們發現幾個有趣的不等式。 以下用 S_△ABC 表示

△ABC 的面積。

定理1. 設 G 為 △ABC 內一點, BG、CG 分別交 AC、AB 於點 E、F , 則 0 < S_△BGF + S_△CGE

S_△ABC ≤ 6 − 4√ 2.

證明: 下界為 0 是顯然的, 因為 E、F 可任意靠近 C、B。 下面證明上界:

設 AF

AB = x, AE

AC = y 則 0 < x, y < 1, 在 △ABE 中由 Menelaus 定理有 BG

GE·EC CA·AF

F B = 1, 所以 BG

GE = CA EC·F B

AF = 1

1 − y·1 − x

x = 1 − x

x(1 − y), BG

BE = 1 − x 1 − xy. S_{△BF G}

S_△ABC = S_{△BF G}

S_△ABE ·S_△ABE

S_△ABC = BF · BG · AE

BA· BE · AC = (1 − x)²y 1 − xy , 同理 S_△CGE

S_△ABC = x(1 − y)² 1 − xy . 令 x + y = u

於是 S_{△BF G}+ S_△CEG

S_△ABC = y(1 − x)²+ x(1 − y)² 1 − xy

= 4 +x+ y + xy(x + y) − 4

1 − xy ≤ 4 +

x+ y +

x+y 4

2

(x + y) − 4 1 −^(x+y)₄ ²

= 4 +u+ ^u₄³ − 4

1 − ^u₄² = 4 −

u+ 2 − 8

u+ 2 − 2

≤ 4 − 2

r

(u + 2) · 8 u+ 2



= 6 − 4√ 2.

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“雙胞胎三角形”的幾個不等式 47

故 0 < S_△BGF + S_△CGE

S_△ABC ≤ 6 − 4√ 2。

其中當且僅當 x = y =√

2 − 1 時等號成立。

當 G 在中線 AD 上時, 我們有以下結果:

推論1: 已知 G 是 △ABC 的中線 AD 上異於 A、D 的一點, BG、CG 的延長線分別交 AC、AB 於 E、F, 則 0 < S_△BGF + S_△CGE

S_△ABC ≤ 6 − 4√ 2。

推論 1 是 《數學通報》2007年 6 月號問題 1676的結論。

推論2: 已知 G 是 △ABC 的中線 AD 上異於 A、D 的一點, BG、CG 的延長線分別交 AC、AB 於 E、F, 則 0 < S_△BGF · S△CGE

S_△ABC² ≤ 17 − 12√ 2。

證明: 下界顯然可得, 下面證明上界。

設 AG

AD = x, (0 < x < 1), 則 AG

GD = x

1 − x, 易得 AF

F B = AE

EC = x 2(1 − x)。 所以 BF

AB = CE

AC = 2(1 − x) 2 − x , 所以 S_△BGF = S_△CGE = 2(1 − x)

2 − x S_△ABG= 2(1 − x)

2 − x · xS△ABD

= 2(1 − x) 2 − x · x · 1

2S_△ABC = x− x²

2 − xS_△ABC. 所以 S_△BGF · S△CGE

S_△ABC² =x− x² 2 − x

2

。

因為 x− x²

2 − x = x + 1 − 2

2 − x = 3 −

2 − x + 2 2 − x



≤ 3 − 2√ 2。

於是 S_△BGF · S△CGE

S_△ABC² =x− x² 2 − x

2

≤

3 − 2√ 22

= 17 − 12√ 2。

定理2: G 為 AD 上一點, BG、CG 分別交 AC、AB 於點 E、F , 且 AG

GD = λ 則 (i) S_{△BF G}+ S_△CEG

S_△ABC ≥ 2λ

(λ + 1)(λ + 2); (ii) S_{△BF G}· S△CEG

S_△ABC² ≤ λ²

(λ + 1)²(λ + 2)².

48 數學傳播 34 卷 4 期 民 99 年 12 月

證明: 在 △AGC 和 △BGC 中, 因為 GC 是公共邊, 於是 S_△AGC

S_△BGC = AF

F B, 同理 S_△AGB S_△BGC = AE

EC。 故 AF

F B +AE

EC =S_△AGC

S_△BGC +S_△AGB

S_△BGC = S_△AGC+ S_△AGB S_△BGC

=S_△ABC− S△BGC

S_△BGC = S_△ABC

S_△BGC − 1 = AD

GD − 1 = AG GD,

即 AG

GD = AF

F B + AE

EC. (1)

設 AF

F B = x, BD

DC = y 由 Ceva 定理有 AF F B · BD

DC ·CE

EA = 1, 則 EA

CE = AF

F B +BD

DC = xy, 並 (1) 式得 x + xy = λ (2) 所以 x(1 + y) = λ, x = λ

1 + y。 又 S_△ABD

S_△ABC = BD

BC = y 1 + y, S_△ABG

S_△ABD = λ

1 + λ, S_{△BF G}

S_△ABG = BF

AB = 1 1 + x.

所以 S_{△BF G}

S_△ABC = λ

1 + λ· y

(1 + y)(1 + x), 同理 S_△CEG

S_△ABC = λ

1 + λ · 1

(1 + y)(1 + xy)。 故 S_{△BF G}+ S_△CEG

S_△ABC = λ 1 + λ

h y

(y + 1)(1 + x) + 1

(y + 1)(1 + xy) i

= λ 1 + λ

h y

1 + y + λ + 1 1 + y + λy

i

= λ 1 + λ

h1 − (λ²+ 2λ)y

(1 + λ)(y²+ 1) + (λ²+ 2λ + 2)y i

≥ λ 1 + λ

h1 − (λ²+ 2λ)y

2(1 + λ)y + (λ²+ 2λ + 2)y

i = 2λ

(λ + 1)(λ + 2).

故 S_{△BF G}+ S_△CEG

S_△ABC ≥ 2λ

(λ + 1)(λ + 2)。

當且僅當 y = 1 即 D 為 BC 的中點時, 等號成立。

“雙胞胎三角形”的幾個不等式 49

(ii). 由 (i) 的證明, 並 (2) 式知 x = λ

1 + y, 所以 S_{△BF G}+ S_△CEG

S_△ABC² = λ 1 + λ

2

· y

(1 + y)²(1 + x)(1 + xy)

= λ²

(1 + λ)² · y (1 + y)²

1 + _1+y^λ 

1 + _1+y^λy 

≤ λ 1 + λ

2 y

(1 + λ) · 2y + (2 + 2λ + λ²)y = λ²

(λ + 1)²(λ + 2)². 故 S_{△BF G}S_△CEG ≤ λ²

(λ + 1)²(λ + 2)²S_△ABC² 。 當且僅當 y = 1, 即 D 為 BC 中點時等號成立。

參考文獻

1. 鄒守文, 模擬訓練數學奧林匹克初中訓練題 (15)[J], 中等數學, 2008, 1。

2. 鄒守文, 數學奧林匹克問題初 188, 中等數學 [J], 2006, 10。

—本文作者現任教安徽省南陵縣春谷中學_—