《數學奠基活動模組： 兩數和的平方與兩數平方和的關係 _國中八年級》
編號： (由主辦單位填寫)
活動名稱：兩數和的平方與兩數平方和的關係
設計者：新北市中平國中 葉振福老師 [email protected] 壹、 活動器材：
一、 正方形色紙（每位學生一張）、臆測活動紀錄單（如附件一）、
摺紙活動紀錄單（如附件二，林口國中李政憲老師設計）
二、 直尺、筆 貳、 活動說明：
一、單元主題說明：
(一) 從臆測活動讓學生進行造例活動，以表格的方式讓學生任意代入一些數值，試圖 讓學生發現「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」不一定會 成立。
(二) 引導學生歸納「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」成立的 條件。
(三) 用摺紙活動讓學生體會到邊長的長度不一定是整數。
(四) 適用年級：國中七年級下學期。(或是還沒有進入乘法公式前的課程) 二、活動目標與核心概念：
(一) 活動目標：通過臆測活動和摺紙活動的進行，讓學生透過造例活動、摺紙操作與 討論理解以下結論：
1. 從造例活動表格中，發現「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相 加』。」不一定會成立。
2. 歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」
3. 提醒學生填上任意數字，其中必須出現負數或是零，讓學生經驗到任意兩個數
『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。
4. 歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」
歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」
歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」
5. 總結出(a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2)的值等於 2ab
6. 透過摺紙活動讓學生體會到邊長的長度不一定是整數。
(二) 核心概念：學會任意兩個數『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。
參、 活動流程：
【學生於活動前隨機分成 3~5 人一組】
活動一造例活動
一、 準備活動：閱讀布題的題目 [題目]
小福任意找兩個數字 3、8。
“相加後的平方為(3 + 8)2 = 112 = 121”
“平方後再相加為32+ 82 = 9 + 64 = 73”
他發現121 > 73，所以小福就推論：
「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」
你覺得小福的說法正確嗎？是否有錯誤的例子？
(一)提問:『任意兩個數『相加後的平方』是什麼意思? 』 提問:『任意兩個數『平方後再相加』是什麼意思? 』
提問:『任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』是什麼意思? 』 (二)確認學生理解題目的意思。
二、主要活動：請學生依照附件一臆測活動紀錄單進行造例活動。
(一) 請完成下列表格(請自行填上任意數字 a 與 b) （Ans:完成表格）
(二) 請學生寫下正確例子的編號，並且觀察出正確的編號中，a、b 的特性 （Ans:可以寫下正確例子的編號，並觀察出 a、b 的特性為正數）
(三) 請改寫小福的推論，並說明什麼情況下他的推論是正確的。
當學生需要鷹架的時候，再舖陳下面填空式的提問。
Q.我說：當______________時，「相加後的平方」會大於「平方後再相加」。 [當作備用鷹架]
（Ans: 當兩數性質符號相同時，「相加後的平方」會大於「平方後再相加」。）
(四) 請再填上任意數字 a 與 b，其中必須出現負數或是零。
（Ans:表格中有呈現負數或是零）
(五) 觀察你的紀錄表，你覺得(a + b)2與a2+ 𝑏2的大小關係應該是？
歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。 歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」
歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」
(六) 觀察(a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2)的值，你覺得它與 a、b 之間的關係是？
（Ans:總結出(a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2)的值等於 2ab）
二、 教師歸納：《活動一結論》
(一) 任意兩個數『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。
歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。 歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」
歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」
(二) (a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2)=2ab 活動二 正方形摺紙
一、準備活動：討論正方形邊長與面積的關係
(一) 依照附件二摺紙活動紀錄單的六道順序完成摺紙活動 (二) 請學生用直尺測量出 a、b 的長度。
（Ans: 學生可以寫出 a、b 的數值）
二、主要活動：
(一) 請問原正方形面積？
（Ans:學生可以計算出正方形面積，或是寫出某數的平方形式例如、(2.5）2 ） (二) 請問步驟 6 切割出來的四塊正方形或長方形面積分別是多少？
（Ans: 學生可以計算出四塊正方形或長方形面積的數值）
(三) 請問問題一與問題二的結果有何關聯性？請以數學算式表示其結果。
（Ans:甲+乙+丙+丁=原正方形，或是寫出:四塊矩形的面積和為原正方形的面積）
(四)透過這個活動，你覺得(a+b)2與(a2+b2)的大小關係為何？是否有其限制呢？
（Ans: (a+b)2>(a2+b2)，當 a、b 為正數；(a+b)2=(a2+b2)，當 a、b 其中一數為零；(a+b)2<(a2+b2)，
當 a、b 其中一數為負數）
肆、學習單
《附件一》臆測活動紀錄單＿＿＿國中＿＿年＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿
(一)我們來檢驗看看。
請完成下列表格(請自行填上任意數字 a 與 b)：
[注意]不要選太大的數字，以避免計算錯誤。
編號 a b (a + b)2 a2+ 𝑏2 (a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2) 1
2 3 4 5 6 (二)
觀察你的紀錄表。
(1)正確的編號有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(2)承(1)，那些正確的編號中，a、b 有什麼特性？
(三)
請改寫小福的推論，並說明什麼情況下他的推論是正確的。
[題目]
小福任意找兩個數字 3、8。
“相加後的平方為(3 + 8)2 = 112 = 121”
“平方後再相加為32+ 82 = 9 + 64 = 73”
他發現121 > 73，所以小福就推論：
「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」
你覺得小福的說法正確嗎？是否有錯誤的例子？
(四)請再填上任意數字 a 與 b，其中必須出現負數或是零，並完成以下表格：
[注意]不要選太大的數字，以避免計算錯誤。
編號 a b (a + b)2 a2+ 𝑏2 (a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2) 1
2 3 4 5 6
(五)
觀察你的紀錄表，你覺得(a + b)2與a2+ 𝑏2的大小關係應該是？
(六)
觀察(a + b)2− (𝑎2+ 𝑏2)的值，你覺得它與 a、b 之間的關係是？
《附件二》摺紙活動紀錄單＿＿＿國中＿＿年＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿
1.正方形色紙； 4.將右下角摺至摺痕處；
2.沿邊摺出任意垂線後還原； 5 將下方直角梯形向上摺後還原；
3.設原正方形邊長被分割為a、b 兩線段 6.將右下角攤開還原；
※請用尺測量出你所摺出的a=_______，b=_______
一、 請問原正方形面積？
二、 請問步驟 6 切割出來的四塊正方形或長方形面積分別是多少？
三、 請問問題一與問題二的結果有何關聯性？請 以數
學算式表示其結果。
四、 透過這個活動，你覺得(a+b)2與(a2+b2)的大小關係為何？是否有其限制呢？
甲＝
乙＝
丙＝
丁＝
伍、學習回饋單
我們學過「兩數和的平方與兩數平方和的關係」單元的活動，度過了快樂的時光，現 在請你用心想一想，「兩數和的平方與兩數平方和的關係」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你 (妳)學到了些什麼？請用自己的話寫下來！
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：____________
