《數學奠基活動模組：

《數學奠基活動模組： 兩數和的平方與兩數平方和的關係 _國中八年級》

編號： (由主辦單位填寫)

活動名稱：兩數和的平方與兩數平方和的關係

設計者：新北市中平國中 葉振福老師 [email protected] 壹、 活動器材：

一、 正方形色紙（每位學生一張）、臆測活動紀錄單（如附件一）、

摺紙活動紀錄單（如附件二，林口國中李政憲老師設計）

二、 直尺、筆 貳、 活動說明：

一、單元主題說明：

(一) 從臆測活動讓學生進行造例活動，以表格的方式讓學生任意代入一些數值，試圖 讓學生發現「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」不一定會 成立。

(二) 引導學生歸納「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」成立的 條件。

(三) 用摺紙活動讓學生體會到邊長的長度不一定是整數。

(四) 適用年級：國中七年級下學期。(或是還沒有進入乘法公式前的課程) 二、活動目標與核心概念：

(一) 活動目標：通過臆測活動和摺紙活動的進行，讓學生透過造例活動、摺紙操作與 討論理解以下結論：

1. 從造例活動表格中，發現「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相 加』。」不一定會成立。

2. 歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」

3. 提醒學生填上任意數字，其中必須出現負數或是零，讓學生經驗到任意兩個數

『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。

4. 歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」

歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」

歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」

5. 總結出(a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²)的值等於 2ab

6. 透過摺紙活動讓學生體會到邊長的長度不一定是整數。

(二) 核心概念：學會任意兩個數『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。

參、 活動流程：

【學生於活動前隨機分成 3~5 人一組】

活動一造例活動

一、 準備活動：閱讀布題的題目 [題目]

小福任意找兩個數字 3、8。

“相加後的平方為(3 + 8)² = 11² = 121”

“平方後再相加為3²+ 8² = 9 + 64 = 73”

他發現121 > 73，所以小福就推論：

「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」

你覺得小福的說法正確嗎？是否有錯誤的例子？

(一)提問:『任意兩個數『相加後的平方』是什麼意思? 』 提問:『任意兩個數『平方後再相加』是什麼意思? 』

提問:『任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』是什麼意思? 』 (二)確認學生理解題目的意思。

二、主要活動：請學生依照附件一臆測活動紀錄單進行造例活動。

(一) 請完成下列表格(請自行填上任意數字 a 與 b) （Ans:完成表格）

(二) 請學生寫下正確例子的編號，並且觀察出正確的編號中，a、b 的特性 （Ans:可以寫下正確例子的編號，並觀察出 a、b 的特性為正數）

(三) 請改寫小福的推論，並說明什麼情況下他的推論是正確的。

當學生需要鷹架的時候，再舖陳下面填空式的提問。

Q.我說：當______________時，「相加後的平方」會大於「平方後再相加」。 [當作備用鷹架]

（Ans: 當兩數性質符號相同時，「相加後的平方」會大於「平方後再相加」。）

(四) 請再填上任意數字 a 與 b，其中必須出現負數或是零。

（Ans:表格中有呈現負數或是零）

(五) 觀察你的紀錄表，你覺得(a + b)²與a²+ 𝑏²的大小關係應該是？

歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。 歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」

歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」

(六) 觀察(a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²)的值，你覺得它與 a、b 之間的關係是？

（Ans:總結出(a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²)的值等於 2ab）

二、 教師歸納：《活動一結論》

(一) 任意兩個數『相加後的平方』和『平方後再相加』的大小關係。

歸納兩數為正數時，「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。 歸納其中一數為零時，「任意兩個數『相加後的平方』會等於『平方後再相加』。」

歸納其中一數為負數時，「任意兩個數『相加後的平方』會小於『平方後再相加』。」

(二) (a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²)=2ab 活動二 正方形摺紙

一、準備活動：討論正方形邊長與面積的關係

(一) 依照附件二摺紙活動紀錄單的六道順序完成摺紙活動 (二) 請學生用直尺測量出 a、b 的長度。

（Ans: 學生可以寫出 a、b 的數值）

二、主要活動：

(一) 請問原正方形面積？

（Ans:學生可以計算出正方形面積，或是寫出某數的平方形式例如、(2.5）² ） (二) 請問步驟 6 切割出來的四塊正方形或長方形面積分別是多少？

（Ans: 學生可以計算出四塊正方形或長方形面積的數值）

(三) 請問問題一與問題二的結果有何關聯性？請以數學算式表示其結果。

（Ans:甲+乙+丙+丁=原正方形，或是寫出:四塊矩形的面積和為原正方形的面積）

(四)透過這個活動，你覺得(a+b)²與(a²+b²)的大小關係為何？是否有其限制呢？

（Ans: (a+b)²>(a²+b²)，當 a、b 為正數；(a+b)²=(a²+b²)，當 a、b 其中一數為零；(a+b)²<(a²+b²)，

當 a、b 其中一數為負數）

肆、學習單

《附件一》臆測活動紀錄單＿＿＿國中＿＿年＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿

(一)我們來檢驗看看。

請完成下列表格(請自行填上任意數字 a 與 b)：

[注意]不要選太大的數字，以避免計算錯誤。

編號 a b (a + b)² a²+ 𝑏² (a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²) 1

2 3 4 5 6 (二)

觀察你的紀錄表。

(1)正確的編號有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

(2)承(1)，那些正確的編號中，a、b 有什麼特性？

(三)

請改寫小福的推論，並說明什麼情況下他的推論是正確的。

[題目]

小福任意找兩個數字 3、8。

“相加後的平方為(3 + 8)² = 11² = 121”

“平方後再相加為3²+ 8² = 9 + 64 = 73”

他發現121 > 73，所以小福就推論：

「任意兩個數『相加後的平方』會大於『平方後再相加』。」

你覺得小福的說法正確嗎？是否有錯誤的例子？

(四)請再填上任意數字 a 與 b，其中必須出現負數或是零，並完成以下表格：

[注意]不要選太大的數字，以避免計算錯誤。

編號 a b (a + b)² a²+ 𝑏² (a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²) 1

2 3 4 5 6

(五)

觀察你的紀錄表，你覺得(a + b)²與a²+ 𝑏²的大小關係應該是？

(六)

觀察(a + b)²− (𝑎²+ 𝑏²)的值，你覺得它與 a、b 之間的關係是？

《附件二》摺紙活動紀錄單＿＿＿國中＿＿年＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿

1.正方形色紙； 4.將右下角摺至摺痕處；

2.沿邊摺出任意垂線後還原； 5 將下方直角梯形向上摺後還原；

3.設原正方形邊長被分割為a、b 兩線段 6.將右下角攤開還原；

※請用尺測量出你所摺出的a=_______，b=_______

一、 請問原正方形面積？

二、 請問步驟 6 切割出來的四塊正方形或長方形面積分別是多少？

三、 請問問題一與問題二的結果有何關聯性？請 以數

學算式表示其結果。

四、 透過這個活動，你覺得(a+b)²與(a²+b²)的大小關係為何？是否有其限制呢？

甲＝

乙＝

丙＝

丁＝

伍、學習回饋單

我們學過「兩數和的平方與兩數平方和的關係」單元的活動，度過了快樂的時光，現 在請你用心想一想，「兩數和的平方與兩數平方和的關係」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你 (妳)學到了些什麼？請用自己的話寫下來！

(一)我的感覺是：

(二)我覺得最有趣的是：

(三)我還想要知道的是：

我的名字是：____________