實驗五 扭擺與剛性係數

實驗五 扭擺與剛性係數

目的

研習扭擺的運動原理，及各項變因對其周期的影響，並利用扭擺測量鋼絲之 剛性係數（modulus of rigidity）。

原理

通常物體受外力作用時，都可能會發生形變。所謂形變，係指物體在大小或 形狀方面的變化。對一個完全彈性物體而言，一旦除去外力，它就會回復原來 的形狀或位置，當然我們必須限制外力的大小，否則會產生永久變形，甚至破 裂。我們把不使物體發生永久形變的最大外力 ，稱為「 彈性限度 」（elastic limit）。

形變的量通常用「 應變 」（strain）來表示。簡單地說，應變就是物體大小 或形狀上增減的量除以變化前的值。例如：用手拉原長 l 之彈簧，使其伸長

∆l ，則應變= ∆l l/ ，在此可解釋為單位長度之伸長量。

應變是物體受應力（stress）的結果，一般應力可分為三種，如圖1 所示，(1) 拉伸應力（tensile stress），(2) 切應力（shearing stress），(3) 流體應力（hydraulic stress）。這些不同的應力作用於彈性體所產生不同的應變可由圖1 中清楚看 出。應力大小是用單位面積上的作用力表示，即 F A/ 。

彈性物體在彈性限度內有一個重要的性質，那就是無論彎曲、扭轉、壓縮或 伸長，力與形變的比值恆為常數。換句話說，也就是在彈性限度內，應力和應 變之比值為一定數 e，這就是虎克定律（Hooke's law）：

e stress strain

=

其中 e 稱為彈性係數（modulus of elasticity），它的值隨物體的性質而異。

圖１

先考慮一個長方塊，假想它是由多層物質連續重疊組成，各層均受切線方向 的表面力而發生水平位移，見圖２。上表面受到切線方向的力 F 作用，下表面 受另一力 −F，與 F 大小相等，方向相反。上表面相對於下表面相對於下表面 有一位移。如其中 HI 移至 H'I'。假設底層固定，每一層的位移與到底層的距離 成正比。這個比值就是側向應變，亦稱切應變。

φ 稱為切變角（angle of shear）。在彈性限度內，φ 通常很小，所以 tanφ φ≈ 。 設 A為 F 作用之面積，則切應力為 F A/ 。我們可以定義剛性係數 n 為：

n F A F

= / ≈ A⋅ tanφ φ

1 。

下面我們考慮實驗中使用的扭擺。吊掛扭擺所用的鋼絲可視為長圓柱狀，所 以我們接著討論圓柱體的扭轉形變。

假設一圓柱長 l ，半徑 R，上端固定，垂 直懸掛，只在下端受一外加力矩作用，使此 圓柱扭轉，見圖３(a)。圓柱體各橫截面的旋 轉角度，和它到頂端的距離成正比。假設未 扭轉時圓柱上的鉛直線段 AB，在扭轉後移 至 AC，圓柱上的 角 BAC為 φ，而底面上弧 BC 的圓心角為 θ，則我們可以得到下列近 似關係式： lφ = Rθ= BC 弧。

現在考慮底端圓面的情形。我們可將這個圓區域視為許多圓環組合而成，見 圖３(b)。其中一環半徑 r ，環寬 dr ，則面積為 2πr⋅dr。如果此環所受之應力 為 dF，切變角為 φ， lφ =rθ，則剛性係數 n 為：

n F

r r

= d⋅ ⋅ d 2

1

π φ ，

H

K

H' I I'

J F

F

φ

圖２

shearing strain HH = HK'

= tanφ

φ

A

B C

O

θ R

R r

(a) (b) d

r

l

圖３

τ=

∫

∫

n= 2R θ ⁴

lτ

π ， (2)

此時若圓柱保持平衡不動，則必存在由回復力造成之力矩 − π θ 2 n R⁴

l 。 我們定義扭轉常數 K 為扭轉一弧度所需之力矩，則

K = =τ nR θ

π ⁴

2l ， (3)

只要測出 K 、 R、l 就可以求出 n。

我們將以上的原理，應用到扭轉上。將鋼絲上端固 定，下端附著一個同心圓盤，見圖４。將下端及圓盤 旋轉某個角度後放手，讓它做反復轉動。當扭轉角度

θ 時，回復力對圓心造成之力矩 πn Rθ 2

4

l ，我們可以寫 下運動方程式

I n R

⋅ = −&&θ θ = − ⋅K

2 ⁴ θ

π

l ，

I 為此系統對中心軸的轉動慣量，包括鋼絲與圓盤的轉動慣量之和，由於前者 比後者小得多，因此鋼絲的轉動慣量通常可以忽略。此方程式之解為

θ =  +

 



A K

I t

cos δ ，

其中 A,δ 為常數，必須由起始條件決定。總之，θ 是一個周期函數，我們可進 一步看出它的周期為

T I

K

I

=2 ⋅ = 2 ⋅ 2nR

π π 4

π

l ，

故 n I

= 8T R⋅

2 4

πl 。 (4)

圖４

方法說明

在本實驗中，鋼絲下懸著一基座，另有一個圓環，可水平置於此基座上，或 鉛直懸於基座下，見圖５(a)、(b)。基座之轉動慣量為 I₀；圓環之質量 M ，內 徑 c，外徑 b，厚度 a。

在下列三種情形下，分別使扭擺做扭轉的簡諧運動。

（忽略鋼絲之轉動慣量）

(一)基座上不置圓環，周期 T I

0 =2π⋅ K0 。 (5)

(二)將圓環放置如圖５(a)，周期 T I I

⊥ =2π⋅ ⁰ K+ ⊥ 。 (6)

I_⊥ 為圓環以通過圓心且與圓環面垂直的軸轉動時的轉動慣量 。由理論上的計 算，可得

I M

b c

⊥ = +

2

2 2

( ) 。 (7)

(三)將圓環與鋼絲平行懸掛如圖５(b)。周期 T I I

/ / =2π⋅ 0 K+ / / 。 (8)

I_{/ /} 為此時圓環的轉動慣量，理論上為

I M b c a

/ /

2 2 2

4 12

= ⋅ + +

 

 。 (9)

從 (5)，(6)，(8) 式分別可得到

2 = 4π2

( )a ( )b

圖５

c b a

c b

T_//² K I I

2

0 / /

= 4π +

( ) 。 (11)

合併 (10)，(11) 消去 I₀ 可得

T T

K I I

⊥² − / / = ⊥ +

2

2

/ /

4π ( ) ，

又 K n R

= π ⁴ 2l ， 故

n R

I I

T T

= ⋅ −

−

⊥

⊥

8

4 / /

2 / /

2

πl 。 (12)

我們只要測知環的尺寸 a、b、c 及 T_⊥、T_{/ /}，即可由 (12) 式算出 n 值。

儀器

圓環、碼錶、游標尺、螺旋測微器、米尺、鋼線、扭擺支架、扭擺底座。

步驟

注意事項：

a. 鋼線長度要為適宜（可使扭擺下垂下後，距地面約 20 公分），長度不夠 者，向老師請求更換。

b. 小心保存皮尺，損壞者賠償。

c. 實驗後，扭擺底座與鋼線仍置於牆壁上，勿私自取下。

1. 用游標尺分別量度 a、b、c 五次，得到 a、b、c 的平均值。

2. 量圓環 M 之質量，再將 a、b、c 之平均值，一併代入 (7) 及 (9) 求 I_⊥ 及

I_{/ /}。

3. 如圖５(a) 裝置，使圓環保持在水平面上，以一小角度轉動，測其轉動 20次 的時間，再除以 20，即為週期 T_⊥ 。重覆五次，取其平均值。

4. 如圖５(b) 裝置，使圓環鉛直懸掛，仍以小角度動，量週期 T_{/ /}。重覆五次，

取其平均值。

5. 用米尺量鋼線的長度 l ，並用螺旋測微器量鋼線半徑 R ，重覆在不同位置 測量五次，取其平均值。

6. 代入 (12) 式中求 n 值（即鋼線的剛性係數）。

7. 將實驗值與理論值比較，求百分誤差。

預習問題

1. I₀ 的已知與否對本實驗有無影響？你能從本實驗推算出 I₀ 嗎？

2. 預習（或複習）你物理課本中有關轉動慣量的部分，並推導出文中 (7) 及 (9) 式。

3. 寫出應力、應變和剛性係數的單位。

4. 扭擺的周期和扭動的最大角位移有關嗎？

記錄

1. 用游標尺分別量度 a、b、c 五次。

次數 a b c R

1 2 3 4 5 平均值

I_⊥= ；I/ /= 。 2. 轉動 20 次的時間。

次數 T_⊥ ^T/ /

1 2 3 4 5 平均值

n= 。

思考問題

1. 利用扭擺可以用來測量不規則物體的轉動慣量嗎？有什麼要特別注意的？

2. 如果圓環的厚度（即 a）非常小，則 I_⊥ 和 I_{/ /} 之間有何關係？

3. 你所測得的 n 誤差多大？實驗中最大的誤差來源在那裡？