扭擺與剛性係數

實驗六

扭擺與剛性係數

目的

研習扭擺的運動原理，及各項變因對其週期的影響，並利用扭擺測量鋼絲之 剛性係數（modulus of rigidity）。

原理

考慮一扭擺系統（如圖1所示）。物體為一鋼絲所 繫住，以此線為軸，當物體被扭轉一微小角度θ時，

鋼絲因為此角度扭轉而施予此物體一力矩，其大小 與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方 向。我們定義此比例常數為K，則當此扭擺系統扭轉 角度θ時，回復力對圓心造成之力矩可寫為τ =−Kθ

（ 類 似 彈 簧 系 統 中 力 與 壓 縮 位 移 成 正 比 關 係 kx

F =− ）。若考慮彈性係數為k的彈簧系統中，一質 量為_m的物體連結於此彈簧上，當彈簧壓縮量為_x 時，物體所受的力為

2 2

dt x md x m kx ma

F = =− = &&= ， 這顯示此物體的位移滿足微分方程

　　定義　　 x

dt x d m

x k m

k dt

x

d 2

2 2 2

2

2 =− ω = ⇒ =−ω 。

同樣的推理方式與過程，此扭擺系統所滿足的運動方程可寫為 I dt K

K d dt

I d ₂ ² ; ² /

2 2

2

≡

−

=

⇒

⋅

−

=

⋅

= θ θ θ ω θ ω

τ 　　其中 ， (1)

I 為此系統對中心軸的轉動慣量，包括鋼絲與圓盤的轉動慣量之和，由於前者 比後者小得多，因此鋼絲的轉動慣量通常可以忽略。滿足此微分方程之解的一般 形式為

constant t

cos +

=θ ω

θ _o ^{， (2)}

其中θ_o為常數，必須由起始條件決定。總之，^θ 是一個週期函數，我們可進一 步看出它的週期與頻率為

I K f T

K T I

π π ω

π

2 1

; 1 2 2

=

=

=

= 　 。 (3)

在無其他外力（摩擦力或空氣阻力等皆可忽略）的狀況下，扭擺系統與彈簧系統 一樣都滿足力學能守恆的定律，亦即

彈簧系統 ¹kx² +¹mx&² =常數 ﹔扭擺系統 ¹Kθ² ₊ ¹Iθ^&2 _=常數 (4) 圖1

造成扭擺系統呈週期運動的主要原因為鋼絲因形變所產生的恢復力，為進一 步探討此運動與鋼絲特性的關係，我們可自認識物體形變開始。通常物體受外力 作用時，都可能會發生形變。所謂形變，係指物體在大小或形狀方面的變化。對 一個完全彈性物體而言，一旦除去外力，它就會回復原來的形狀或位置，當然我 們必須限制外力的大小，否則會產生永久變形，甚至破裂。我們把不使物體發生 永久形變的最大外力，稱為「 彈性限度 」（elastic limit）。

形變的量通常用「 應變 」（strain）來表示。簡單地說，應變就是物體大小 或形狀上增減的量除以變化前的值。例如：用手拉原長 _l 之彈簧，使其伸長

∆l ，則應變_{= ∆l l}/ ，在此可解釋為單位長度之伸長量。

應變是物體受應力（stress）的結果，一般應力可分為三種，如圖2 所示，(1) 拉 伸應力（tensile stress），(2) 切應力（shear stress），(3) 流體應力（hydraulic stress）。 這些不同的應力作用於彈性體所產生不同的應變可由圖1 中清楚看出。應力大小 是用單位面積上的作用力表示，即 F A/ 。

彈性物體在彈性限度內有一個重要的性質，那就是無論彎曲、扭轉、壓縮或 伸長，力與形變的比值恆為常數。換句話說，也就是在彈性限度內，應力和應變 之比值為一定數 e，這就是虎克定律（Hooke's law）：

e stress strain

=

其中 e 稱為彈性係數（modulus of elasticity），它的值隨物體的性質而異。

本實驗所用到的是切應力(shear stress)與切應變(shear strain)的概念，這裡我們 略加介紹。

先考慮一個長方塊，假想它是由多層物質連續重疊組成，各層均受切線方向 的表面力而發生水平位移，見圖3。上表面受到切線方向的力 F 作用，下表面 受另一力 −F，與 F 大小相等，方向相反。這時長方塊所受的切應力（沿切線 方向每單位面積所受到的力）可寫為

圖2

A

S ≡ F/

σ ⁽⁵⁾

長方塊上表面相對於下表面有一位移δ，故其單位長度所產生的側向形變量（亦 稱切應變）為

δ φ

ε_S = =tan strain l

shear 　　

其中φ 稱為切變角（angle of shear）。在彈性限度內， φ 通常很小，所以 φ

φ ≈

tan ，我們可以定義切變剛性係數(shear modulus) n 為：

φ φ

δ ε

σ 1

tan / /

/ = ≈ ⋅

=

=

= A

F A F l A F strain

shear

stress shear

n modulus shear

S S

　 。 (6)

扭擺系統的形變可考慮一長為l半徑為R的均 勻圓柱體，上端固定，垂直懸掛，只在下端受一 外加力矩τ作用，使此圓柱扭轉，見圖4(a)。假 設未扭轉時圓柱上的鉛直線段 AB，在扭轉後移 至 AC，圓柱上的角 BAC為 φ，而底面上弧 BC 的圓心角為 θ，則我們可以得到下列近似關係 式： lφ= Rθ= BC 弧＝δ＝圓柱扭轉形變量。

外加力矩τ的大小除了與單位長度的扭轉形變量 成正比（於彈性範圍內）外，也與被扭轉形變物 體的幾何形狀有關，因此我們可寫為

nI_P δl

τ =− (7)

式子中 n 為 shear modulus 而 I p為與物體的幾何形狀有關的特性（一般稱為 polar moment of inertia）。對實心的圓柱體而言，其I_P =πR³/2（詳細推導見本章附 錄），所以力矩大小可寫為

l R K n

l K R n l

R n R nI_P l

2 2

2

4 4

3 θ π θ θ π

π

τ =− δ =− =− 　=− 　⇒　　 = (8) 圖3

φ A

B C

O R θ

R r

d

(a) (b)

r l

圖4 A

l ⇒

F

δ F

φ

方法說明

在本實驗中，鋼絲下懸著一基座，另有一個圓環，可水平置於此基座上，或 鉛直懸於基座下，見圖5(a)、(b)。基座之轉動慣量為 I₀；圓環之質量 M，內徑 c，外徑 b，厚度 a。

在下列三種情形下，分別使扭擺做扭轉的簡諧運動。（忽略鋼絲之轉動慣量）

(一)基座上不置圓環，週期 T I

0 =2π⋅ K0 。 (9)

(二)將圓環放置如圖5(a)，週期 T I I

⊥ = ⋅ K+ ⊥

2π ⁰ 。 (10)

I_⊥ 為圓環以通過圓心且與圓環面垂直的軸轉動時的轉動慣量。由理論上的計 算，可得

(

)

2 b c

I_⊥ = M + 。 (11)

(三)將圓環與鋼絲平行懸掛如圖5(b)。周期 T I I

/ / =2π⋅ 0 K+ / / 。 (12) I_{/ /} 為此時圓環的轉動慣量，理論上為

I M b c a

/ /

2 2 2

4 12

= ⋅ +

 +

 

 。 (13)

從 (9)，(10)，(12) 式分別可得到 T_⊥² = 4πK² I₀ +I_⊥

( ) ， (14)

T_{/ /}² K I I

2

0 / /

= 4π +

( ) 。 (15)

圖5

(a) (b)

合併 (14)，(15) 消去 I₀ 可得

T T

K I I

⊥² − _{/ /}² = 4π² ⊥ + _{/ /} ( ) ， 又 2l

R4

K ₌ nπ ， 故

n R

I I

T T

= ⋅ −

−

⊥

⊥

8

4

/ / 2 / /2

π_l

。 (16) 我們只要測知環的尺寸 a、b、c 及 T_⊥、T_{/ /}，即可由 (16) 式算出 n 值。

儀器

扭擺支架、扭擺底座、圓環、鋼線、游標尺、螺旋測微器、米尺、光電計時 器、光電閘、角度計、圓盤。

步驟

注意事項：

a. 鋼線長度要為適宜（可使扭擺下垂下後，距地面約 20 公分），長度不夠

者，向老師請求更換。

b. 實驗後，將圓環取下置於實驗桌上，扭擺底座與鋼線仍置於牆壁上，勿私 自取下。

第一部份：測量最大扭角與最大角速度之關係 1. 如圖6 裝置，使圓環保持在水平面上。

圖6 實驗裝置圖 扭擺底座

圓環

角度計

遮光片 鋼線

2. 待扭擺靜止置平衡位置後，調整地上角度計之方向，使擺上凸出的遮光片指向 0°，並將光電閘對準遮光片。

3. 將光電計時器調在 Function 6 的模式，並設定次數為5，用以量測擺動在平衡 位置之瞬時角速度，亦即擺動過程中之最大角速度θ^{& 。} _max

4. 將扭擺旋轉225°後放手，使其自由轉動。測量紀錄每次遮光片遮住光電閘的時 間∆t 。並記錄下測量5次(即2個週期)所花的總時間，藉以計算平均週期T。

5. 逐次減少旋轉角度θ_max為180°、135°、90°、45°，重覆步驟4。

6. 測量遮光片的寬度_∆x、光電閘到扭擺中心的距離 r。以此計算角速度θ& 。 _max 7. 將實驗結果繪成θ&_max²對 ²

θmax ^關係圖。

第二部分：剛性係數之量測

1. 將光電計時器調在 Function 5 的模式，並設定次數為8，以測量轉動4次的總 時間，並算出平均週期。

2. 如圖5 (a) 裝置，使圓環保持在水平面上，以 90°的角度轉動，測其轉動4次的 時間，再除以 4，即為週期 T_⊥ 。重覆3次，取其平均值。

3. 如圖5 (b) 裝置，使圓環鉛直懸掛，仍以90°的角度轉動，量週期 T_{/ /}。重覆3 次，取其平均值。

4. 用游標尺分別量度圓環的厚、寬及兩倍內徑各五次，以求得 a、b、c 的數值。

5. 量圓環 M 之質量，再將 a、b、c 之值，一併代入 (11) 及 (13) 求 I_⊥ 及 I_{/ /}。

6. 用螺旋測微器量鋼線直徑，重覆在不同位置測量五次，取其平均值，並用米尺 量鋼線的長度 _l。

7. 代入 (16) 式中求 n 值（即鋼線的剛性係數）。 8. 將實驗值與理論值比較，求百分誤差。

第三部分：由剛性係數求轉動慣量

1. 將圓環及扭擺底座卸下，並將鋼線改鎖在待測圓盤上。

2. 使圓盤保持在水平面上，以 90°的角度轉動，且將光電計時器調在 Function 5 的模式，設定次數為8，以測量轉動4次的總時間，並算出平均週期 T ，重複3 次。

3. 將第二部分求出的 n 值代入 (8) 式求 K 值，再利用 (9) 式求出圓盤的轉動 慣量 I 。

4. 量測圓盤的質量 M 與直徑 2R 各三次，求理論上圓盤的轉動慣量 I 值為 何。（ ²

2

1 MR

I = ⋅ ）

預習問題

1. I₀ 的已知與否對本實驗有無影響？ 你能從本實驗推算出 I₀ 嗎？

2. 預習（或複習）你物理課本中有關轉動慣量的部分，並推導出文中 (11) 及 (13) 式。

3. 寫出應力、應變和剛性係數的單位。

4. 扭擺的週期和扭動的最大角位移有關嗎？

記錄

第一部份：測量最大扭角與最大角速度之關係

1. 遮光片_∆x= cm；r = cm。

最大角位移

θmax ^∆t

平衡點角速度 θ^&max

總時間(sec) 平均週期(sec)

225°

平均

180°

平均

135°

平均

90°

平均

45°

平均

2. 以θ&_max²為y軸，θ_max²為x 軸，在方格紙上做圖，並算出迴歸直線。

第二部分：剛性係數之量測 1.測量週期

T^⊥ T^∥

次數 4 次時間 週期 4 次時間 週期 1

2 3 平均值

2. 用游標尺分別量度圓環的厚 a、寬 Δr 、兩倍內徑 2c 以及用螺旋測微器 量度鋼絲直徑2R 各五次。

次數 a Δr (= b-c) 2c 2R

1 2 3 4 5 平均值

標準差

a= cm﹔b= cm﹔c= cm﹔M = g。

I_⊥= ； I_{/ /} = 。 R = cm ﹔_l = cm。

3. 計算n = 。

第三部分：由剛性係數求轉動慣量

T

次數 4 次時間 週期

1 2 3 平均值

K = ； I = 。

次數 圓盤質量 圓盤直徑 2R 1

2 3 平均值

標準差

理論 I = ； 百分誤差 = 。

思考問題

1. 利用扭擺可以用來測量不規則物體的轉動慣量嗎？ 有什麼要特別注意的？

2. 試著藉由理論推導，說明第一部份實驗中θ^&_max^2- θ_max^{2關係圖的斜率代表什麼} 意義。

3. 如果圓環的厚度（即 a）非常小，則 I_⊥ 和 I_{/ /} 之間有何關係？

4. 你所測得的 n 誤差多大？ 實驗中最大的誤差來源在那裡？

附錄：

下面我們考慮實驗中使用的扭擺。由於吊掛扭擺所用的鋼絲可視為長圓柱 狀，所以我們討論圓柱體的扭轉形變。假設一圓柱長 _l，半徑 R，上端固定，

垂直懸掛，只在下端受一外加力矩作用，使此圓柱扭轉，見下圖(a)。假設未扭 轉時圓柱上的鉛直線段 AB，在扭轉後移至 AC，圓柱上的角 BAC為 φ，而底 面上弧 BC 的圓心角為θ，則我們可以得到下列近似關係式：lφ= Rθ =BC 弧。

現在考慮底端圓面的情形。我們可將這個 圓區域視為許多圓環組合而成，見左圖(b)。

任意取其中一環半徑為 r，環寬為 dr 的空心 圓柱，將之沿長軸方向切開後可展開為一長 方體。則此環被扭轉角度θ時，相當於所展開 的長方體產生rθ 的側向形變。如果所受之應 力 為 dF ， 面 積 為 dA=₂π_{r d⋅ r} ^{， 切 應 變 為}

l

r /θ ^{，則剛性係數} n 為：

dr dF r l l

r

r r n F

S S

θ π θ

π ε

σ

2 2

/ d 2 /

d ⋅ =

=

= ，

即 dF 2 n r²dr l π θ

= ，此力對圓心 O 造成之力矩為 dτ = ⋅r dF，積分可得所有 外力在整個圓面上對圓心 O 之力矩

τ=

∫

∫

nI l l n R l R n R l

R n R

n l τ π θ π θ π δ _P δ

πθ

τ _{⇒ = = = =}

= 2 2 2

2 ^{4 3 3}

4 　　 　　 ，

由此可得對實心的圓柱體而言，其polar moment of inertiaI_P =πR³/2。此時若圓 柱保持平衡不動，則必存在由回復力造成之力矩 −π θ

2 n R⁴

l 。

φ A

B C

O R θ

R r

d

(a) (b)

r l