勾股定理證明-G198
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH .
2. AH 上取一點 S ，使得 HS AC b，以 HS 為邊長向外作正方形 HSFG . 3. BK 上取一點T ，使得 KT BC a，以 KT 為邊長向外作正方形 KTED . 4. 過 D 點作平行 BC 的直線，交TE 於U 點。
5. 過 A 點作平行 CB 的直線，交 KH 於 M 點。
6. 分別過 H 點, B 點作平行 AC 的直線，交 AM 於 N 點, O 點。
7. AM 上取一點 P ，使得 NPBC，過 P 點作平行 AC 的直線，交 AH 於 Q 點。
8. 過 G 點作平行 AC 的直線，交 AH 於 R 點。
9. 過 K 點作垂直 AM 的直線，交 AM 於V 點。
A B
H
C
K D
E
G F
R
N
M S P
Q
O
T U
V
【求證過程】
以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 HSFG 的面 積加上正方形 KTED 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 BAO 與三角形 GRH 全等：
設 CAB x, CBA y，且已知x y 90。因為 BO // AC ，所以 90
CBA ABD
, ABO90 CBAx CAB。因為 AB // HK ，所以
BAO AMH
，又因為 AM // CB，所以 CBA AMH，可推得 BAO CBA， 又BA AB，因此
BAO ABC
(ASA 全等).
因為 RG // AC ，所以 RGH CAB，又RHG90 ACB, GH b AH，因 此
GRH ABC
(ASA 全等).
故
BAO GRH
. 2. 證明三角形 AHN 與三角形 ABC 全等：
因為 NH // AC ，所以 NHM CABx。又因為
90 90
AHN NHM CAB y CBA
, AH c AB，所以 AHN ABC
(ASA 全等).
3. 證明三角形 HMN 與三角形 DUE 全等：
因為 AM // CB，所以 NMH CBA y。因為UD // CB，所以 UDK CBA y， 又因為 EUD UDK，所以
NMH EUD y
.
因為 AHN ABC，所以HNBC a，又 90 90
NHM x y EUD EDU
，因此
HMN DUE
(AAS 全等).
4. 證明四邊形 PNHQ 與四邊形TKDU 全等：
因為 QHN y UDK, QPN 90 UTK, PNH 90 TKD，所以
PNHQ TKDU
四邊形 與四邊形 的四個內角都對應相等，
又 PN a TK, NH a KD，因此
PNHQ TKDU
四邊形 四邊形 .
5. 證明四邊形 BOVK 與四邊形 GFSR 全等：
因為KBO CBA y 90ox90 RGH RGF , BOV 90 GFS, 90
OVK FSR
，所以
四邊形 BOVK 與四邊形 GFSR 中四個角都對應相等。
因為 BAO ABC，所以 BO b GF ，又因為 GRH ABC，所以 GR c AB， 因此
BOVK GFSR
四邊形 四邊形 .
6. 證明三角形 AQP 與三角形 KMV 全等：
因為四邊形BOVK 四邊形GFSR，所以VK SR b a ANPN AP。又 90
APQ KVM
, PAQx 90y 90 KMV VKM，因此 AQP KMV
(ASA 全等).
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH BAO AQP PNHQ
HMN BOMK
GRH KMV UTKD
DUE BOMK
四邊形 四邊形
正方形 面積 面積 面積 面積
面積 面積
面積 面積 面積
面積
四邊形
四邊形
面積
(
(
GRH KMV BOMK
DUE UTKD
GRH BOVK KTED
GRH GFSR KTED
四邊形
四邊形
面積 面積 面積)
面積 面積)
面積 四邊形 面積 正方形 面積 四邊形 正方
面積 面積 形 面積
正方形HSFG面積正方形KTED面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 18 日想到的。
2. 心得：此證明利用切割的方法，將正方形ABKH 切割成五個區塊，再證明這五個區 塊的面積等於正方形 HSFG 的面積加上正方形 KTED 的面積，就能得到三個 正方形的面積關係，進而推導出勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：
(1) 在魯米斯書中所繪的圖形並沒有V 點，有V 點是為了方便證明三角形 AQP 的面積 加上四邊形 BOMK 的面積等於四邊形 GFSR 的面積。先證明三角形 AQP 與三角 形 KMV 全等，再證明四邊形 BOVK 與四邊形 GFSR 全等，就能證得三角形 AQP 的 面積加上四邊形 BOMK 的面積等於四邊形 GFSR 的面積。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
