勾股定理證明-G236

(1)

勾股定理證明-G236

【作輔助圖】

1. 直角三角形ABC 中，過 A 作 AB 的垂直線 AD 並與 AB 等長。

2. 接著過 D 作 AC 的垂足 E 。

3. 延伸 BC 至 F 使 CF 與 DE 等長，並連 DF 。 4. 最後過 D 作AB 的平行線，交 CF 於 G 。

A B

C D

E F

G

【求證過程】

先作輔助線作出四邊形 ABFD 及其分割。在證明一組全等三角形及一組相似三角 形後，透過相似三角形邊長成比例的性質，將小三角形的三邊都以代數 , ,a b c 表示。最 後由兩種方式的面積拆解得到的等式，可以整理推導出畢氏定理關係式。

1. 不難發現 ABC 及 DAE 為全等的直角三角形，以下我們給出證明：

其中因為

90 ,

ACB DEA

   

並且

, AB AD 以及

90 ,

CBA CAB EAD

     

所以可以得到

ABC DAE

   (AAS 全等).

2. 也可以看出ABC及 DGF 相似，以下也給個證明：

因為DFG90  ACB,FGD CBA(同側內角), 所以可以得到 ABC DGF

  (AA 相似).

3. 將 DGF 的三邊長皆以直角三角形 ABC 的三邊 , ,a b c 表示：

其中

, DF CE b a 另外由 ABC DGF可以得知

(2)

( ) (1 ),

AB c a

DG DF b a c

b b

 AC     以及

( ) (1 ).

BC a a

GF DF b a a

b b

 AC     4. 由兩種拆解方式得到的面積等式開始推導：

因為

, ABC ACFD ABFD DGF DGBA

     

所以可以得到面積關係式

 

1 1 1 1

(1 )( ) (1 )

2 2 2 2

a a

ab b b b a a b a c c c

b b

 

             展開得到

3 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,

a ac

ab b b ab ab a a c c

b b

         

整理出

3 2

2 2 2 1

2 2 2 , a ac b c a ab

b b

    

2 2 2 2 2 2

( ) 0, 2

a b c a a b c

   b    也就是



² ² ²



¹ ^0,

2 a b c a

b

 

     其中已知a2b , 因此a² b² c² 0.

此即為畢氏定理關係式

2 2 2

. a b c

【註與心得】

1. 來源：此證明是來自 J. G. Thompson 在 1888 年的證明。收錄在 Loomis 的《勾股定理》中的幾何篇中編號第236 號。

2. 心得：這個證明用到的數學知識雖然並非困難，但是代數化簡的計算過程複雜。

特別是其中不直接簡單地得到畢氏定理關係式，而是從因式分解中整理出來，在教學上不建議，比較像是拼湊出來的結果。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：數學能力指標中，有幾項是這樣：

(3)

S-4-15：能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的相似再透過等量公理來推理出畢氏定理關係式。