分數的運算

矮？哪一個的高度是另一個的

¹ ₂

1

2 3 4 5 6 7

在國小，各位同學都學習了分數 的四則運算，但是當時我們所運算的 分數全部都是正數。

在第 1 章，我們開始接觸 「負數」

這個新領域。因此，接下來我們將要 在這一章中探索負分數的運算規則。

學會了這一章後，我們計算數量問題 的能力，又能再向前邁進一大步。

分數的運算

2-1

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•

•

•

2-2

•

•

2-3

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2-4

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•

•

8

2

因數與倍數

1

國小時我們曾經學過因數、倍數，現在讓我們來複習什麼是因數，什麼是 倍數。

如果甲數和乙數都是非零的正整數，而且甲數可以整除乙數，那麼我們就 說甲數是乙數的因數，而乙數是甲數的倍數。

例如：13 可以整除 156，因此 13 是 156 的因數，156 是 13 的倍數；

16 不可以整除 100，因此 16 不是 100 的因數，100 不是 16 的倍數。

有甲、乙、丙三個正整數，如果甲＝乙×丙，則乙、丙都可以整除甲，

因此乙、丙都是甲的因數，甲是乙、丙的倍數。

因數、倍數可不可以是負數呢？我們知道 156＝（－13）×（－12），

又－156＝13×（－12），所以－13 是 156 的因數，－156 是 13 的倍數。

下列敘述哪些是正確的？（答案不只一個）

1 91 是 7 的倍數 2 11 是 1212 的因數 3 164 是 17 的倍數 4 －31 是 899 的因數

因數中大於 0 的稱為正因數，小於 0 的稱為負因數，反過來說，倍數中大 於 0 的稱為正倍數，小於 0 的稱為負倍數。在國中階段，如果沒有特別說明，

因數都是指正因數，倍數都是指正倍數。

對於任意非零整數 a，因為 0＝a×0，a 可以整除 0 ，所以 0 是任何非零 整數的倍數，而 1 可以整除任何整數，所以

1 ^{質因數分解}

1 是任何整數的因數，而所有整數都是 1 的倍數。

1 、4

2

例如：8、26、314、7422、15610 都是 2 的倍數。

755、6210 都是 5 的倍數。

如果一個整數的個位數字是偶數，那麼這個整數就是 2 的倍數。

如果一個整數的個位數字是 0 或 5，那麼這個整數就是 5 的倍數。

如果 149 □ 是 2 的倍數，則 □ 可能為 0、2、4、6、8，

如果 149 □ 是 5 的倍數，則 □ 可能為 0 或 5，

所以 149 □ 既是 2 的倍數，也是 5 的倍數，則 □＝0

有一個四位數 149□，既是 2 的倍數，也是 5 的倍數，則 □＝？

判斷 2、5 的倍數

例

1

想想看， 3 的倍數要怎麼判斷呢？

例如：要判斷 427 是不是 3 的倍數，可以將 427 寫成 427＝400＋20＋7。

圖 2-1

由圖 2-1，我們也可以將 427 寫成 427＝4×100 ＋2×10 ＋7 ＝4×（99＋1） ＋2×（9＋1）＋7 ＝4×99＋4 ＋2×9＋2 ＋7 ＝（4×99＋2×9）＋（4＋

2

7

故 427 除以 3 的餘數與 4＋2＋7 除以 3 的餘數相同。因為 4＋2＋7＝13 不是 3 的倍數，所以 427 不是 3 的倍數。也就是說，

3 的倍數

如果一個整數的每位數字和是 3 的倍數，那麼這個整數就是 3 的倍數，否則 就不是 3 的倍數。

搭配習作 P27 基礎題 1

故 1368 除以 9 的餘數與 1＋3＋6＋8 除以 9 的餘數相同。因為 1＋3＋6＋8＝18 是 9 的倍數，所以 1368 是 9 的倍數。也就是說，

9 的倍數要怎麼判斷呢？

例如，要判斷 1368 是不是 9 的倍數，可以將 1368 寫成 1368 ＝1×1000 ＋3×100 ＋6×10 ＋8 ＝1×（999＋1）＋3×（99＋1）＋6×（9＋1）＋8 ＝1×999＋1 ＋3×99＋3 ＋6×9＋6 ＋8 ＝（1×999＋3×99＋6×9）＋（1＋

3

6

8

9 的倍數

如果一個整數的每位數字和是 9 的倍數，那麼這個整數就是 9 的倍數，否則 就不是 9 的倍數。

如果一個整數是 9 的倍數，則它一定是 3 的倍數嗎？

反之，如果一個整數是 3 的倍數，則它一定是 9 的倍數嗎？

1536 的各位數字和為 5＋3＋6＝14

14 不能被 3 整除，所以 536 不是 3 的倍數。

14 不能被 9 整除，所以 536 不是 9 的倍數。

24173 的各位數字和為 4＋1＋7＋3＝15 15 能被 3 整除，所以 4173 是 3 的倍數。

15 不能被 9 整除，所以 4173 不是 9 的倍數。

判斷 536、4173 是不是 3 的倍數？是不是 9 的倍數？

判別 3、9 的倍數

例

2

不一定

搭配習作 P27 基礎題 1

判斷 4 的倍數、8 的倍數

9876847956 是不是 4 的倍數呢？

　　當然可以直接利用除法判斷，但也有更簡便的方法：只要看末兩位數 字 56 是不是 4 的倍數即可。

　　因為 100＝25×4，所以 100 的倍數都是 4 的倍數，

　　而 9876847956＝9876847900＋56，

　　所以我們知道，要判斷一個數是否為 4 的倍數，只要判別該數的末兩 位數字是否為 4 的倍數即可。

那麼，79867897596 是不是 8 的倍數呢？

　　想想看，除了直接利用除法之外，還有沒有更簡便的方法呢？

　　（提示：1000＝125×8）

分別找出下列各數中何者含有因數 2、3、5、9？

76、459、147、237、66、89、815、1234、6592 含有因數 2 的數：

含有因數 3 的數：

含有因數 5 的數：

含有因數 9 的數：

因為 7 □ 6 是 3 的倍數，所以 7 □ 6 的數字和 7＋□＋6 須為 3 的倍數，

而 7＋□＋6＝13＋□，

13＋□＝15 或 18 或 21，所以 □＝2 或 5 或 8

有一個三位數 7 □ 6 是 3 的倍數，則 □ 可能為哪些數？

判別 3 的倍數

例

3

3 的倍數

76、66、1234、6592 459、147、237、66 815

459

搭配習作 P27 基礎題 1

那麼要判斷一個整數是不是 11 的倍數，除了試除之外，是否有比較簡便 的判別方法呢？

例如：要判斷 42537 是不是 11 的倍數，我們可以將 42537 寫成

42537＝4×10000 ＋2×1000 ＋5×100 ＋3×10 ＋7 ＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5×（99＋1）＋3×（11－1）＋7 ＝4×9999＋4 ＋2×1001

－ 2 ＋5×99＋5 ＋3×11 － 3 ＋7

－ 2

5 － 3

7

我們可以這樣看：

奇數位數字和

4 2 5 3 7 計算兩者的差 16－

5

4＋5＋7＝16

2＋3＝5

所以 42537 除以 11 的餘數與 4－2＋5－3＋7 除以 11 的餘數相同。

因為 4－2＋5－3＋7＝（4＋5＋7）－（2＋3）＝11，所以 42537 是 11 的倍數。

也就是說，

9999＝11×909 1001＝11×91 99＝11×9 11 的倍數

若 「奇數位數字和」 － 「偶數位數字和」 ＝11 的倍數 （包含 0），

則這個整數就是 11 的 倍數，否則就不是 11 的倍數。

1判斷 2345、123321 是不是 11 的倍數？

2有一個五位數 92 □ 45 是 11 的倍數，則 □＝？

奇數位數字和 9＋7＋0＝16

9 8 7 6 0 　16－14＝2

偶數位數字和 8＋6＝14 奇數位數字和 2＋2＝4

9 2 6 2 　15－4＝11

偶數位數字和 9＋6＝15

19262 的奇數位數字和為 2＋2＝4，

偶數位數字和為 9＋6＝15。

15－4＝11，

所以 9262 是 11 的倍數。

298760 的奇數位數字和為 9＋7＋0＝16，

偶數位數字和為 8＋6＝14。

16－14＝2 不是 11 的倍數，

所以 98760 不是 11 的倍數。

判斷 9262、98760 是不是 11 的倍數？

判別 11 的倍數

例

4

2345 不是 11 的倍數，

123321 是 11 的倍數。

□＝ 3

搭配習作 P27 基礎題 1

如果甲數是一個大於 1 的整數，則可以寫成甲數＝1×甲數，所以一個大 於 1 的整數至少有 1 和它本身兩個因數。如果一個大於 1 的整數只有 1 和本身 兩個因數，我們就稱它為質數。例如：

2＝1×2 2 只有 1、2 兩個因數，所以 2 是質數。

3＝1×3 3 只有 1、3 兩個因數，所以 3 是質數。

4＝1×4＝2×2 1、2、4 都是 4 的因數，所以 4 不是質數。

5＝1×5 5 只有 1、5 兩個因數，所以 5 是質數。

6＝1×6＝2×3 1、2、3、6 都是 6 的因數，所以 6 不是質數。

7＝1×7 7 只有 1、7 兩個因數，所以 7 是質數。

像 4、6、…… 這些正整數，除了 1 和本身之外還有其他的因數，就稱為 合數。而 1 既不是質數，也不是合數。

寫出 12、13、14、15 的因數，並判斷這四個數中，哪些是質數？

哪些是合數？

8＝1×8＝2×4， 8 的因數有 1、2、4、8，所以 8 是合數。

9＝1×9＝3×3， 9 的因數有 1、3、9，所以 9 是合數。

10＝1×10＝2×5， 10 的因數有 1、2、5、10，所以 10 是合數。

11＝1×11， 11 的因數只有 1、11，所以 11 是質數。

寫出 8、9、10、11 的因數，並判斷這四個數中，哪些是質數？

哪些是合數？

質數、合數的判別

例

5

質數與合數

2

12 的因數有 1、2、3、4、6、12，所以 12 是合數。

13 的因數只有 1、13，所以 13 是質數。

14 的因數有 1、2、7、14，所以 14 是合數。

15 的因數有 1、3、5、15，所以 15 是合數。

對應能力指標7-n-09

我們發現，在 2 的倍數中，除了 2 以外，其餘的數至少都有 1、2 及它本 身三個因數，所以都不是質數。同樣地，在 3 的倍數中，除了 3 以外，其餘的 數至少都有 1、3 及它本身三個因數，所以都不是質數。利用這個觀念，我們 可以依照下列步驟從圖 2-2 找出 1 到 100 中所有的質數：

（各位同學依老師的指示，自行操作。 ） 步驟如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 步驟 1： 因為 1 不是質數，也不是合數，

所以刪去 1。

步驟 2： 因為 2 是質數，因此圈出 2 並刪 去其餘 2 的倍數。

步驟 3： 圈出 3 並刪去其餘 3 的倍數。

步驟 4：圈出 5 並刪去其餘 5 的倍數。

步驟 5：圈出 7 並刪去其餘 7 的倍數。

在步驟 2 時，刪去的第一個數是 4，

也就是 2×2。

在步驟 4 時，因為 10、15、20 都已 在之前的步驟中被刪去，所以刪去的 第一個數是 25，也就是 5×5。

在步驟 3 時，因為 6（＝3×2）已在 步驟 2 時被刪去，所以刪去的第一 個數是 9，也就是 3×3。

在 步驟 5 時，因為 14、21、28、35 都已在之前的步驟中被刪去，所以刪 去的第一個數是 49，也就是 7×7。

圖 2-2

想想看，為什麼步驟 1 ～步驟 5 可以找出 100 以內所有的質數呢？

100 以內的質數

3

判斷 79、87、97 三數中哪些是質數？哪些是合數？

73 不含因數 2、3、5、7，所以 73 是質數。

89 不含因數 2、3、5、7，所以 89 是質數。

91÷7＝13，即 91 含有因數 7，所以 91 是合數。

判斷 73、89、91 三數中哪些是質數？哪些是合數？

質數、合數的判別

例

6

而我們知道，在 100 以內的整數中，11 的倍數如下：

11是質數，

22＝11×2　是 2 的倍數，

33＝11×3　是 3 的倍數，

44＝11×4＝11×2×2　是 2 的倍數，

55＝11×5　是 5 的倍數，

同理 66、77、88、99 也都是 2 或 3 或 5 或 7 的倍數，所以都已在 步驟

2

5

同樣地，13、17、19、…… 的倍數中比 100 小的數（除了本身以外），也 都是 2 或 3 或 5 或 7 的倍數，也會在 步驟

2

5 中被刪去，所以 2、3、

5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

71、73、79、83、89、97 共 25 個數，就是 100 以內的質數。

因此我們知道 ： 1 到 100 的整數中 （除了 1、 2、 3、 5、 7 之外），沒有因 數 2、 3、 5、 7 的就是質數，而含有因數 2、 3、 5、 7 的則是合數。

79、97 是質數，87 是合數。

18＝1×18

＝2×9

＝3×6

所以 18 的因數有 1、2、3、6、9、18，

其中 2、3 是質數，

所以 18 的質因數有 2 和 3。

寫出 18 所有的因數，並指出 18 的質因數。

因數與質因數

例

7

如果甲數是乙數的因數，且甲數是質數，我們就稱甲數為乙數的質因數。

例如：15＝1×15 ＝3×5

所以 15 的因數有 1、3、5、15，其中 3、5 是質數，稱為 15 的質因數。

在例題 7 中，我們將 18 分解為 2×9，而 9 又可以分解為 3×3，所以我們 知道 18＝2×9

＝2×（3×3）

＝2×3×3

其中 2、3 都是 18 的質因數。一般而言，如果我們將一個整數完全分解為幾個 質數的連乘積，那麼我們就說是對這個整數作質因數分解。

將 18 作質因數分解可得 18＝2×3×3，很明顯地，1、2、3、2×3、

3×3、2×3×3 都能整除 18，它們都是 18 的因數。也就是說，

一個整數作質因數分解後，任取一個質因數或幾個質因數的乘積，都是原數 的因數。

標準分解式

4

搭配習作 P27、28 基礎題 2、3 對應能力指標7-n-10

24 2 12

2 6 2 3

在例題 8 中，我們以不同的方式將 24 質因數分解為 2×2×2×3，也可以 用指數記法寫成 2³×3。

一般來說，我們通常由最小的質因數開始分解，例如：

我們可以把左式記錄成：

2 24 2 12 2 6 3

這種記錄的方式就叫做短除法。

24

＝ 3×8

＝ 2×4

＝ 2×2

2 4 2 2

24

4 6 2 3 2 2

解 三

先分解為 3 和 8 的乘積 24＝3×8

＝3×2×4 ＝3×2×2×2

解 三

先分解為 4 和 6 的乘積 24＝4×6

＝2×2×2×3 將 24 作質因數分解。

質因數分解

例

8

在數學上，為了方便溝通起見，約定做完質因數分解後，把較小的質因數 寫在前面，較大的寫在後面，遇有相同的質因數連乘時，就以指數形式來表示。

例如：420＝2×2×3×5×7 ＝2²×3×5×7

最後的式子就稱為該數的標準分解式。

搭配習作 P28 基礎題 4

將下列各數寫成標準分解式：

1260 2756 32970

1020＝2×2×3×5×17＝2²×3×5×17 所以 1020 的相異質因數有 2、3、5、17。

2 1020 2 510 3 255 5 85 17

720＝2×2×2×2×3×3×5＝2⁴×3²×5 將 720 寫成標準分解式。

標準分解式

例

9

2 720 2 360 2 180 2 90 3 45 3 15 5

將 1020 寫成標準分解式，並寫出 1020 的相異質因數。

標準分解式

例

10

搭配習作 P28 基礎題 4

搭配習作 P28 基礎題 4

2

× 5×13

× 3

× 7

× 5×11

將 588 寫成標準分解式，並寫出 588 的相異質因數。

!因數與倍數：如果甲數和乙數都是整數，且甲數可以整除乙數，則甲 數是乙數的因數，乙數是甲數的倍數。

@2、3、5、9、11 的倍數的判別法：

2 的倍數：個位數字是偶數。

3 的倍數：每位數字的和是 3 的倍數。

5 的倍數：個位數字是 0、5。

9 的倍數：每位數字的和是 9 的倍數。

11 的倍數： 「 奇數位數字和」與「偶數位數字和」的差是 11 的倍數 （包含 0）。

#質數與合數：如果一個大於 1 的整數，只有 1 和本身兩個因數，就稱 它為質數。如果一個大於 1 的整數，除了 1 和本身之外還有其他因 數，就稱它為合數。

$100 以內的質數與合數：1 既不是質數，也不是合數；2、3、5、7 為 質數；除此之外，不含因數 2、3、5、7 的就是質數，含有因數 2、

3、5、7 的則是合數。

%

^

&標準分解式：把一個數質因數分解後，再將較小的質因數寫在前面，

較大的寫在後面，遇有相同的質因數連乘時，就以指數形式來表示，

例如 72＝2×2×2×3×3＝2³×3²。

588＝2

× 3×7

588 的相異質因數有 2、3、7

1 於下列各數字中，分別找出 2、3、5、9、11 的倍數：

102、573、4851、5335、954、28160

2 的倍數： 3 的倍數：

5 的倍數： 9 的倍數：

11 的倍數：

2 將右圖中的質數連起來，

恰好可形成一個英文字母，

試問這個英文字母是哪個 字呢？

3 寫出 105 所有的因數，並指出 105 的質因數有哪些？

4 將下列各數寫成標準分解式：

1168 2117 3528 456700

5 志玲拿了 18 個大小相同的正方體積木玩分堆的遊戲，每堆積木的個數都一 樣，不能剩下；而且每堆至少 2 個，但不能多於 10 個。試問她有哪幾種分 堆的方法？請你幫她一一寫出來。

59 61 19 29 51 47 63 14 36 49 23 2 97 57 26 17 25 15 12 10 3 1 91 93 56

自 我 評 量 1-1 2-1

102、954、28160 102、573、4851、954

5335、28160 4851、954

4851、5335、28160

Ｆ

105 的因數有 1、3、5、7、15、21、35、105

質因數為

2

× 3×11 2

× 3

× 5

× 7

4 種，18＝2×9＝3×6＝6×3＝9×2。

2

× 3×7 3

× 13