最後介紹連續函數的中間值定理

1-3 函數的極限

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函數的極限﹐這是微積分學中的核心概念之一。透過函數的極限﹐可以定義連續函數（即

直接觀察圖形沒有斷點的函數）。最後介紹連續函數的中間值定理。我們熟悉的勘根定理﹐就

是中間值定理的應用。

※函數的極限

對於函數 y＝f（x）﹐若能找到一個實數 L 使得：

“當 x 趨近於實數 a 時﹐f（x）也會趨近於 L”﹐

則我們稱函數 f（x）在 x＝a 時的極限是 L﹐記為

a

lim f（x）＝L 。 x

善用直觀與配合函數圖形﹐可以求得一些極限。

舉例：當 x 趨近 3 時，函數 f（x）＝x＋2 會趨近 5

例題1 --- 計算下列各極限：(1)

2

lim x

sin x。 (2) lim0 x x 。

--- (1)當 x 趨近 π

2 時﹐sin x 的函數值會趨近於 1﹐故

2

lim x

sin x＝1。

(2)當 x 趨近於 0 時﹐|x|的函數值 會趨近於 0﹐故 lim0



x |x|=0。

隨堂練習 --- 計算下列各極限：(1)

lim2



x x²。 (2) lim1





x x³。 (3) lim2



x 4。

---

※概念釐清

所謂“ x 趨近於 a ”是“ x 愈來愈靠近 a ”﹐而不是“ x＝a ”。

圖所代表的函數中﹐g（x）在 x＝a 沒有定義﹐h（x）在 x＝a 有定義﹐但值不是 L。

然而﹐這三個函數在 x＝a 的極限卻都是 L。亦即﹐在求 f（x）在 x＝a 的極限

a

lim f（x）x

時﹐並不需要考慮 f（a）的值。

並不是每一個函數在 x＝a 都有極限。

極限值

a

lim f（x）不存在 極限值x

a

lim f（x）不存在 x

(1)當 x 趨近 a 時﹐x 由左側或右側靠近時﹐f（x）趨近的值並不相同 (2)當 x 趨近於 a 時﹐f（x）值趨近無限大﹐這樣也稱

a

lim f（x）不存在。 x

例題2 --- 函數 f（x）如圖求：(1)

lim1





x f（x）。 (2) lim0



x f（x）。 (3) lim4



x f（x）。 (4) lim6



x f（x）。

---

(1)(2)不存在 (3)2 (4)1

隨堂練習 --- 承例題 2﹐試求：

(1)lim1



x f（x）。 (2) lim2



x f（x）。 (3) lim3



x f（x）。 (4) lim5



x f（x）。

---

※極限存在的條件：觀察左極限與右極限

f（x）在 x＝a 有極限 L  f（x）在 x＝a 的左極限等於右極限﹐

亦即

a

lim f（x）＝L  x _

a

xlim f（x）＝L 且 _

a

xlim f（x）＝L

“ x 從左邊趨近 a 時﹐f（x）趨近的值”稱為“ f（x）在 x＝a 的左極限”﹐記為 _

a

xlim f（x）

“ x 從右邊趨近 a 時﹐f（x）趨近的值”稱為“ f（x）在 x＝a 的右極限”﹐記為 _

a

xlim f（x）

例題3 --- 利用左極限及右極限說明

lim0 x

x x

 不存在。

--- 當 x 由左側趨近 0 時，x＜0，故 |x|＝－x，此時

lim0 x

x x

  ＝

lim0 x

x x

 

 ＝^lim_x₀（－1）＝－1。

當 x 由右側趨近 0 時，x＞0，故 |x|＝x，此時 lim0 x

x x

  ＝

lim0 x

x x

  ＝_x^lim₀ 1＝1。

因左極限不等於右極限，故 lim0

x

x x

 不存在。

隨堂練習 --- 說明 0

lim1

x^ x 不存在。

---

※函數極限的運算性質

若函數 f（x）與 g（x）在 x＝a 時極限存在且 ^lim_{x a} f（x）＝L，^lim_{x a} g（x）＝M，

則下列極限存在：

(1) ^lim_{x a} （ f（x）±g（x））＝L±M。

(2) ^lim_{x a} （cf（x））＝cL，c 為常數。

(3) ^lim_{x a} （ f（x）‧g（x））＝L‧M。

(4) 若 M≠0，則 ( ) lim^{x a} ( ) f x g x

 ＝ ^L

M 。 (5) 若 L＞0，則 ^lim_{x a} ^{f x( )}＝ L 。

※多項式與有理函數的極限

若 f（x），g（x）為多項式，則：

(1) ^lim_{x a} f（x）＝ f（a）。

(2) ^{limx a}

( ) ( ) f x g x ＝

( ) ( ) f a

g a （g（a）≠0）。

例題4 --- 計算下列各極限：(1) ^lim_x0（（x＋1）（x＋2）（x＋3））。 (2) ³ ₂

3

3 2 lim^x 1

x x x



 

 。

--- (1) 6 (2) 19/5。

隨堂練習 --- 計算下列各極限：(1) ^lim_x2（（x²＋x＋2）（x－1））。 (2) ²₂

1

lim 1

1

x

x x x x



 

  。

---

例題5 ---

計算下列各極限：(1) ²

2

lim 4 2

x

x x





 。 (2)

3

lim 1 2 3

x

x x



 

 。

--- (1)4 (2)1/4

隨堂練習 ---

計算下列各極限：(1) ²

1

3 2

lim 1

x

x x x



 

 。 (2) ^lim₉ ⁹ 3

x

x x





 。

---

例題6 ---

已知 ²

1

lim 4

1

x

x ax x



 

 存在。試求實數 a 及此極限的值。

--- 觀察 x＝1 代入分母為 0。但此極限存在，表示分子必有（x－1）可與之約掉。

故 x＝1 代入分子也為 0，即1＋a＋4＝0，得 a＝－5。

原式化為 ²

1

5 4 lim^x 1

x x x



 

 ＝

1

( 1)( 4)

lim^x 1

x x

x



 

 ＝^lim_x1（x－4）＝－3。

隨堂練習 ---

已知 ²

lim3

3

x

x x a x



 

 存在，試求實數 a 及此極限的值。

---

※連續函數

直觀上來看，連續函數就是“圖形沒有斷掉”。例如：一次函數，二次函數，指數函數，

對數函數，正弦函數，餘弦函數等。藉由極限的觀念我們可以精確地定義連續函數。

函數在 x＝a 是連續 函數在 x＝a 是不連續 函數在 x＝a 不是連續 結論：表示不論 x 由左邊或右邊趨近 a 時，函數必須要有極限，且此極限恰好就是 f（a），

即 ^lim_{x a} f（x）＝f（a） 。

※函數在某一點連續

設函數 f（x）在一區間上有定義，a 為該區間中的一點。

(1) 若 a 為該區間的內點，且 ^lim_{x a} f（x）＝f（a）， 則稱 f（x）在 x＝a 連續。

(2) 若 a 為該區間的左端點，且 _{x a}^lim  f（x）＝f（a），則稱 f（x）在 x＝a 連續。

(3) 若 a 為該區間的右端點，且 _{x a}^lim  f（x）＝f（a），則稱 f（x）在 x＝a 連續。

例題7 --- 下列(1)～(3)各表示不同的函數圖形，試利用連續函數的定義，判斷哪些函數在 x＝0 是連續 的？

--- (1)因為 f1（0）＝1，^lim_x0 f1（x）＝1＝f1（0）， 故函數 y＝f1（x）在 x＝0 連續。

(2)因為 f2（0）＝2，^lim_x0 f2（x）＝1≠f2（0）， 故函數 y＝f2（x）在 x＝0 不連續。

(3)因為 ^lim_x₀ f3（x）＝0，_x^lim₀ f3（x）＝1，所以 ^lim_x0 f3（x）不存在，故函數 f3（x）在 x

＝0 不連續。

隨堂練習 --- 如圖，函數 f（x）的圖形在哪些點不連續？

---

例題8 --- (1)證明 f（x）＝x 在 x＝1 是連續的。

(2)證明 f（x）＝x 在實數集合上是連續函數。

--- (1)^lim_x1 f（x）＝^lim_x1 x＝1，且 f（1）＝1，故 ^lim_x1 f（x）＝f（1），即 f（x）在 x＝1 連續。

(2)令 a 為任意實數，則^lim_{x a} f（x）＝^lim_{x a} x＝a，又 f（a）＝a，故 ^lim_{x a} f（x）＝f（a），

即 f（x）在整個實數集合上是連續的。

隨堂練習 --- (1)若函數 f（x）＝x²，則 f（x）在 x＝2 是否連續？

(2)證明常數函數 f（x）＝c 在實數集合上是連續函數。

---

※連續函數的四則運算

若函數 f（x）與 g（x）在 x＝a 連續，則下列函數在 x＝a 也連續：

(1) f（x）＋g（x）。

(2) f（x）－g（x）。

(3) f（x）‧g（x）。

(4) ( ) ( ) f x

g x ，其中 g（a）≠0。

由例題 8 及其隨堂練習，可知 f（x）＝x 與 f（x）＝c 都是連續函數。反覆利用性質(3)

可得單項式函數 f（x）＝cxⁿ（n 為正整數）是連續函數。再利用性質(1)，可得多項式函數

f（x）＝cn xⁿ＋cn^－1x^n－1＋…＋c1x＋c0 也是連續函數。

※多項式函數是連續函數

多項式函數f（x）＝cn xⁿ＋cn^－1x^n－1＋…＋c2 x²＋c1x＋c0 是連續函數。

※連續函數的合成

若 f（x）在 x＝a 連續，g（x）在 x＝f（a）連續，

則合成函數（g。f）（x）在 x＝a 連續。

例題9 --- 若 a 為實數，且 f（x）＝ ₂3 , 1

2 2, 1 x a x

x x x

 

   

 是連續函數，試求 a 的值。

---

在 x＜1 或 x＞1 時函數分別為多項式函，

故為連續。今在 x＝1 也要連續，由定義必須有^limx1 f（x）＝f（1），左極限 ^limx1 f（x）＝^limx1（3x＋a）＝3＋a，右極限 ^limx1 f（x）＝^xlim1（x²－2x＋2）＝1，且 f

（1）＝1²－2．1＋2＝1，由 3＋a＝1，得 a＝－2。

隨堂練習 --- 若 a 為實數，且 f（x）＝

2 , 3

2 4 , 3

x x a x

x x

   

   

 是連續函數，試求 a 的值。

---

※中間值定理

設 a，b 為兩實數，a＜b，且 f（x）是在區間[ a，b ]上的連續函數，

若 k 是介於 f（a）與 f（b）間的實數，則必有一實數 c 滿足 a＜c＜b 且 f（c）＝k

注意這個定理只保證 c 一定找得到（有可能不只一個），但並沒有告訴我們要如何找。

若 f（x）為連續函數，由中間值定理立即得到：當 f（a）和 f（b）為一正一負時，則 在 a，b 之間必有一實數 c 使得 f（c）＝0，這就是勘根定理。

※勘根定理

設 a，b 為兩實數。連續函數 f（x）滿足 f（a）‧f（b）＜0，則 f（x）＝0 在 a，b 之間必有一實根 c。

註：勘根定理無法告訴我們有幾個根，但是它保證至少有一個根。

例題10 --- 若 x 是正實數且為 x‧2^x＝1000 的根，試問 x 落在哪兩個相鄰正整數之間？

--- 令 f（x）＝x‧2^x－1000，

因為 x，2^x 都是連續函數，故 f（x）也是連續函數。

因 f（7）＝7‧2⁷－1000＝896－1000＜0，

f（8）＝8‧2⁸－1000＝2048－1000＞0，

故由勘根定理知 f（x）＝0 有根在 7 與 8 之間。

隨堂練習 --- 若 x 是正實數且 x²‧3^x＝3¹⁰，又 x 落在正整數 k、k＋1 之間，試求 k 的值。

---

例題11 --- 如圖是一塊不規則形狀的蔥油餅，試證明存在一條直線，可以沿著這條直線一刀把蔥油餅切 成面積相等的兩半。

---

隨便固定一個切的方向，以鉛直為例。設蔥油餅面積為 R。如圖刀由左側

平行移動至右側時，掃過的蔥油餅面積連續地由 0 變化到 R。因此由中間值定理，中間必有 某個時刻掃過的面積恰為1/2R，此時下刀即可！

習題1-3

一、基本題

1. 一函數 f（x）的圖形如圖所示，

分別當 x＝1，2，3，4，5，6，7 時，試求：

(1) 極限是否存在？若存在，試求其值。

(2) 是否連續？

2. 試求下列各極限：

(1) ^lim_x2（x²＋3x＋1）。 (2)

0

limcos 1

x

x x

  。

(3) ₂²

3

5 6 lim^x 8 15

x x x x



 

  。 (4)

2

6 8

lim^x 2 x

x



 

 。

3. 令多項式函數 f（x）＝x³－2x²－5x＋8。若 f（x）＝0 的實根在某兩個相鄰整數之間，試 求出三組這樣的相鄰整數。

4. 函數 f（x）＝

2 3 , 1

0 , 1

6 , 1

x x

x x x

 

 

   



，試求：

(1) ^lim_x1 f（x）是否存在？

(2) f（x）在 x＝1 是否連續？

5. 試求 ₂

1

1 3

lim 1 1

x

x x

x x



 

  

   

 。

二、進階題

6. 設 f（x）為實係數二次多項式，其常數項為 2。已知

1

lim ( ) 1

x

f x x

  ＝3，試求 f（x）。

7 已知 f（x）＝x‧2^x 為連續函數，試求正整數 k 值，使得在 k 與 k＋1 之間有一個實數 c 滿足 f（c）＝2²¹。

8. 設 a，b 為實數，且

2

lim2

( 2)( 2)

x

x ax b

x x



 

  ＝3，試求 a，b 的值。

9. 設函數 f（x）＝

2 , 1

, 1 3

2 , 3 x ax b x

x

  

    

  



是連續函數，試求 a，b 的值。

三、挑戰題

10. 如圖所示，AB 是單位圓的弧長，其所對的圓心角 θ 為銳角，O 為單位圓圓心，直線 BC 為圓的切線。

(1) 試求三角形 OAB，扇形 OAB 及三角形 OBC 的面積。

(2) 利用(1)證明 sin θ ≤ θ ≤ tan θ。

(3) 利用(2)證明 cos θ ≤ ^sin

 ≤ 1。

(4) 試求

0

limsin







 的值。