第五节函数的极值与 最大值最小值

二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法

第五节

函数的极值与

最大值最小值

第三章

一、函数的极值及其求法

定义 :设函数 f (x)在(a,b)内有定义, x₀ (a,b),

， 的一个邻域

若存在x_{0 在其中当} x  x_{0 时 ,}

, ) (

)

(x f x₀

f 

(1) 则称 为 的极大点 , ⁰

x f (x)

称 为函数的极大值

;

) (x₀ f

, ) (

)

(x f x₀

f 

(2) 则称 为 的极小点 ,

x0 f (x)

称 为函数的极小值 .f (x₀) 极大点与极小点统称为极值点 .

注意 :

x3

x1 x₂ x₄ x₅ x

a

^b

o y

4 1, x

x _为极大点

5 2 , x

x _为极小点

x3 _{不是极值点}

2) 对常见函数 , 极值可能出现在导数为 0 或

不存在的点 .

1) 函数的极值是函数的局部性质 . 3

12 9

2 )

(x  x³  x²  x  f

例如 ^{(P146 例 4)}

1

x _{为极大点 ,} f (1)  2 _是极大值 1

) 2 ( 

f _是极小值

 2

x _{为极小点 ,}

1 2

o x y

1 2

定理 1 ^{( 极值第一判别法 )}

, )

( 在 ₀ 的某邻域内连续

设函数 f x x _{且在去心邻域}

内有导数 ,

0时, 由小到大通过

当x x

(1) f (x) _{“ 左正右负” ,}

; )

( 在 ₀ 取极小值

则 f x x (2) f (x) _{“ 左负右正” ,}

. )

( 在 ₀ 取极大值

则 f x x

例 1. 求函数f (x)  (x 1)x³² _{的极值 .}

解 :1) 求导数 f (x)  x³²  (x 1) ₃² x^{ 31} ₃⁵ ₃ ⁵²

x x



 2) 求极值可疑点

令 f  x( )  0 , _得 x₁  ₅²; _令 f  x( )   , _得 x₂  0 3) 列表判别

x ) (x f 

) (x f

 0

52

0

  

0  0.33

) 0 ,

( (0 , ₅²) (₅²,  )

 0

 x _是极大点

， 其极大值为 f (0)  0 是极小点，其极小值为

52



x f (₅²)  0.33

定理 2 ^{( 极值第二判别法 )} 二阶导数 , 且

处具有 在点

设函数 f (x) x₀ ,

0 )

( ₀ 

f  x f  x( ₀)  0 ,

0 )

( )

1

( 若 f  x₀  则 在点 取极大值 ;f (x)

x

₀

, 0 )

( )

2

( 若 f  x₀  则 在点 取极小值 .f (x)

x

₀

 

证 : (1) f (x₀)

0

0) (

) lim (

0 x x

x f x

f

x

x 

 

 

 0

) lim (

0 x x

x f

x

x 

 



, 0

)

( ₀ 知

由 f  x  _存在



 0,_当⁰  x  x₀ 



_时^{, ( ) 0}

0

 

 x x

x f

时，

故当 x₀ 



 x  x₀ ^{f  x( )  0;} 时，

当x₀  x  x₀ 



f  x( )  0,

x

0 x₀^

0

x 



_

由第一判别法知 f (x)在 x₀ 取极大值. (2) 类似可证 .

例 2. 求函数f (x)  x( ² 1)³ 1_{的极值 .} 解 : 1) 求导

数 f (x)  6x (x² 1)², f (x)  6(x² 1)(5x² 1) 2) 求驻点

令 f  x( )  0, _得驻点 x₁  1, x₂  0, x₃ 1 3) 判别

因 f (0)  6  0, 故 为极小值

;

0 )

0 (  f

又 f (1)  f (1)  0, 故需用第一判别法判别 . ,

1 )

( 在 左右邻域内不变号

由于 f  x x  

. 1

)

( 在   没有极值

 f x x

1 x y

1

二、最大值与最小值问题

, ]

, [ )

( 在闭区间 上连续

若函数 f x a b _{则其最值只能}

在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法 :

(1) 求 在 内的极值可疑点f (x) ( ba, ) xm

x

x₁ , ₂ ,  , (2) 最大值





 max

M f (x₁), f (x₂),, f (x_m), f (a), f (b) 最小值m  min



f (x₁), f (x₂) ,, f (x_m), f (a), f (b)



特别 :

• 当 在 内只有一个极值可疑点 时 ,

) (x

f [ ba, ]

• 当 在 上单调 时 ,

) (x

f [ ba, ] 最值必在端点处达到 . 若在此点取极大 值 , 则也是最大

值 . ( 小 )

• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出

的可疑点是否为最大 值点或最小值点 . ( 小 )

) 12 9

2

( x

²

 x 

12 2

4 )

9

( 

²

  



  81  96  0

0 12

9

2

²

  

 x x

)

( x x

f 

4 0

1  

 x

25

0  x 

4 0

1  

 x

25

0  x  例 3. 求函数 f (x)  2x³  9x² 12x _在闭区间[ ₄¹ , ₂⁵ ] 上的最大值和最小值 .

解 : 显然f (x)C[ ₄¹, ⁵₂ ], _且



  ) (x

f  (2x³  9x² 12x), , 12 9

2x³  x²  x



 

 )(x

f  6x² 18x 12 12 18

6x²  x 

内有极值可疑点 在[ , ]

)

(x  ₄¹ ₂⁵

f x₁  0, x₂ 1, x₃  2

, 3 )

(^₄¹  ¹⁹₃₂

f f (0)  0, f (1)  5, f (2)  4, f (₂⁵)  5 故函数在 x  0 取最小值 0 ; 在 x 1_及2⁵ _{取最大值 5}

. , ) 2 )(

1 (

6  

 x x

, ) 2 )(

1 (

6  



 x x

25

1 2

41



因此也可通过 例 3. 求函数

说明 :

) ( )

(x  f ² x



)



(x 求最值点 .

) (x

与 f 最值点相同 , 由于



(x)

令

x x

x x

f ( )  2 ³  9 ² 12 _在闭区间[ ₄¹ , ₂⁵ ] 上的最大值和最小值 .

( k 为某一常数 )

例 4. 铁路上 AB 段的距离为 100 km , 工厂 C 距 A 处 20AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货条 D 点应如何选取 ? ²⁰

A B

100

C 解 : 设AD  x (km),

x

则 ^{CD  202  x2 ,} )

100 (

3 20

5k ² x² k x

y     ^{(0  x 100)}

, ) 400 3

( 5 ₂ 

 

 x

k x

y 32

) 400

( 5 400

x2

k

y   

令 y 0, _得 x 15, _又 y  _x15  0, 所以 为唯一 的

15 x

极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .

总运费 物从 B 运到工厂 C 的运费最

省 ,

从而为最小点 ,

问 D

Km , 公路 ,

用开始移动 ,

F



例 5. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作

P 解 : 克服摩擦的水平分力F_x  F cos



正压力 P  F_y  5g F sin





 F cos

 

(5g F sin



)

即 ,

sin cos

5









  g

F



[0, ^₂]

令



(



)  cos







sin



则问题转化为求



(



) _{的最大值问题 .}

F

 _{为多少时才可使}

力 _{设摩擦系数}F



 0.25, _{问力 与水平面夹角F}^ 的大小最小 ?











( )  sin  cos











( )  cos  sin 令



(



)  0, _解得





 arctan  arctan0.25 14 ^2 ,

0 )

( 





而







14^2^ 时



(



)取最大值, 因而 F 取最小值

.

解 :

F



P 即

令

则问题转化为求 的最大值问题 . sin ,

cos 5









  g

F



[0, ^₂]











( )  cos  sin )

(









清楚 ( 视角 _{最大 ) ?} 观察者的眼睛 1.8 m ,

例 6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边 高于

x

4 . 1

8 .



1

解 : 设观察者与墙的距离为 x m

, 则





x

8 . 1 4

.

arctan1 

8, . arctan1

 x x (0, )

 



_{2 2}

2 . 3

2 . 3





x ² 1.8²

8 . 1

 

x ( 3.2 )( 1.8 )

) 76 . 5 (

4 . 1

2 2

2 2

2







 

x x

x

令



  0, _得驻点 ^{x  2.4(0, )}

根据问题的实际意义 , 观察者最佳站位存在 唯一 ,,

驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .

问观察者在距墙多远处看图才最

内容小结

1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点

:

使导数为 0 或不存在的点 (2) 第一充分条件

) (x

f  _过 x_{0由正变负} f (x₀)_为极大值 )

(x

f  _过 x_{0由负变正} f (x₀)_为极小值 (3) 第二充分条件

0 )

( ,

0 )

( ₀   ₀ 

 x f x

f f (x₀) _为极大值

) (x₀

f _为极小值

0 )

( ,

0 )

( ₀   ₀ 

 x f x

f

 

最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .

思考与练习

2. 连续函数的最值

1. 设 ^1,

) (

) ( )

lim ( ₂  





 x a

a f x

f

a

x 则在点 a 处 ( ).

) ( )

(A f x _{的导数存在 ,}且 f  a( )  0； )

( )

(B f x _{取得极大值}

;

) ( )

(C f x _{取得极小值 ;} )

( )

(D f x _{的导数不存在 .}

B

提示 : 利用极限的保号性 .

2. 设 f (x) _在 x  0 的某邻域内连续 , 且f (0)  0, ,

cos 2 1

) lim (

0 



 x

x f

x 则在点 x  0 _处

f (x ) ( ).

(A) 不可导 ;

(B) 可导 , 且f (0)  0; (C) 取得极大值 ;

(D) 取得极小值 .

D

提示 : 利用极限的保号性 .

3. 设y  f (x) 是方程 y   2 y  4 y  0 _{的一个解 ,} 若 f (x₀)  0,

且

f  x⁽ 0⁾  ^0, 则 f (x) _在 x₀ ( )

(A) 取得极大值

;(B) 取得极小值

;(C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 提示 :. 将 xf ( )代入方程,

0 )

( 4 )

( ₀   ₀ 

 x f x f

A

得 令 x  x₀ ,

试问 为何值时 ,

a

f x a x sin 3x 3

sin 1 )

(  

3



 2

在 x 时取得极值 还是极小 .,

解 :

 )(x 

 f 由题意应有

 )  3 (2 f

 2

 a

又  f  )(x  ) 3 (2 f 

) (x

 f 取得极大值为 f (₃² )  3

Ex:

^1.

, 3 cos

cos x x

a 

3 ) (2 3 cos 3 )

cos(2  

a  0

, 3 sin 3

sin

2 x  x

  0

求出该极值 , 并指出它是极大