一、行列式的性质
性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等 . 1
行列式 称为行列式 的转置行列式 . DT D 记
ann
a a
22 11
n n
a a a
2 1 12
2 1
21
n
n a
a
a
D
2 1 21
n n
a a a
n
n a
a a
2 1
12
DT
ann
a a
22 11
证明 记 D det aij 的转置行列式
,
2 1
2 22
21
1 12
11
nn n
n
n n T
b b
b
b b
b
b b
b D
i, j 1,2, ,n,
a
bij ij
即 按定义
1 1 1 2 2 1 11 22 .
t p p np t p p p n
T
n
n a a a
b b
b
D
又因为行列式 D 可表示为
1 11 22 .
t p p p n a n
a a
D
故 D DT . 证毕
性质性质 2 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 .2 证明证明 设行列式
,
2 1
2 22
21
1 12
11
1
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b D
说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .
是由行列式 变换 两行得到的 ,D det aij i, j
于是 D1 1 tb1p1 bipi bjpj bnpn
1 ta1p1 aipi ajpj anpn
1 ta1p1 aipj ajpi anpn ,
,
1 为自然排列
其中 i jn
1 的逆序数.
为排列 p pi pj pn
t
1,
1 p p p t
p i j n 的逆序数为
设排列 则有
即当 时 ,k i, j bkp akp;当 时 ,k i, j ,
, jp ip
jp
ip a b a
b
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零 .
证明 互换相同的两行，有 .
0
D
, D D
1 t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1p1 aipj ajpi anpn D.证毕
, 5 7
1 5
7 1
2 6
6
8 5
3
. 8 2 5 8
2 5
3
6 1
5 6 7
5 6 7
3 6 1 2
6 6
8 5
3
性质性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都3 乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式 .k k
nn n
n
in i
i
n
a a
a
ka ka
ka
a a
a
2 1
2 1
1 12
11
nn n
n
in i
i
n
a a
a
a a
a
a a
a
k
2 1
2 1
1 12
11
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因推论 子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
证明
nn n
n
in i
i
in i
i
n
a a
a
ka ka
ka
a a
a
a a
a
2 1
2 1
2 1
1 12
11
nn n
n
in i
i
in i
i
n
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
k
2 1
2 1
2 1
1 12
11
0.
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和 .
nn ni
ni n
n
n i
i
n i
i
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a D
) (
) (
) (
2 1
2 2
2 22
21
1 1
1 12
11
则 D 等于下列两个行列式之和：
nn ni
n
n i
n i
nn ni
n
n i
n i
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a D
1
2 2
21
1 1
11
1
2 2
21
1 1
11
例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去，
行列式不变．
nj nj
ni n
j j
i
n j
i
a a
a a
a a
a a
a a
a a
1
2 2
2 21
1 1
1 11
nj nj
nj ni
n
j j
j i
n j
j i
j i
a a
ka a
a
a a
ka a
a
a a
ka a
a kr r
) (
) (
) (
1
2 2
2 2
21
1 1
1 1
11
例如 k
例１
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 2
4 0
2
5 9
7 3
3
1 3
2 1
1
D
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
j
i kr
r
3
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 2
4 0
2
5 9
7 3
3
1 3
2 1
1
D
3
解
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 2
4 0
2
2 0
1 0
0
1 3
2 1
1 3 1
2
r r
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 4
0 2
0
2 0
1 0
0
1 3
2 1
1
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 2
4 0
2
2 0
1 0
0
1 3
2 1
1 3 1
2
r r
2
3
1
2 2r
r
4
4
2 r
r
2 2
2 0
0
2 0
1 0
0
1 4
0 2
0
3 5
1 2
0
1 3
2 1
1
2 2
2 0
0
3 5
1 2
0
1 4
0 2
0
2 0
1 0
0
1 3
2 1
1
1
4 4r
r
1
3 3r
r
2 2
2 0
0
0 1
0 0
0
2 1
1 0
0
3 5
1 2 0
1 3
2 1 1
3
4 r
r
2 2
2 0
0
2 0
1 0
0
2 1
1 0
0
3 5
1 2
0
1 3
2 1
1
2
3 r
r
2
6 0
0 0
0
0 1
0 0
0
2 1
1 0
0
3 5
1 2
0
1 3
2 1
1
2 1 6
4
5 4r
r
.
12
6 4
0 0
0
0 1
0 0
0
2 1
1 0
0
3 5
1 2 0
1 3
2 1 1
3 5 2r r
4
例 2 计算 阶行列式n
a b
b b
b a
b b
b b
a b
b b
b a
D
解
n b b b a
a
b a
b b
n a
b b
a b
n a
b b
b b
n a
1 1 1 1
D
将第 都加到第一列得2 ,3, ,n
a b
b
b a
b
b b
a
b b
b
b n
a
1 1 1 1 )
1 (
b a b
a b a
b b
b
b n
a
1
) 1
( 0
0
( 1) ( ) 1.
a n b a b n
例 3
nn n
n
nk n
k kk k
k
b b
b b
c c
c c
a a
a a
D
1
1 11
1
1 11
1
1 11
0 设
, )
det(
1
1 11
1
kk k
k ij
a a
a a
a D
det( ) ,
1
1 11
2
nn n
n ij
b b
b b
b D
2.
1D D D 证明
证明
; 0
11 1
11
1 kk
kk k
p p
p p
p
D
设为
化为下三角形行列式
，把 作运算
对 D1 ri krj D1
化为下三角形行列式 把
作运算
对 D2 ci kc j , D2
. 0
11 1
11
2 nn
nk n
q q
p q
q
D
设为
, 0
1 11
1
1 11
1 11
nn n
nk n
k kk k
q q
q c
c
c c
p p
p D
化为下三角形行列式 把
算
列作运
，再对后 行作运算
的前 对
D kc
c
n kr
r k
D
j i
j i
,
nn
kk q q
p p
D 11 11
故 D1D2.
( 行列式中行与列具有同 等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立 ).
计算行列式常用方法： (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算 得行列式的值．
三、小结
行列式的 6 个性质
思考题
阶行列式 计算4
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
d d d d
c c c c
b b b b
a a a a
D
已知 abcd 1
思考题解答
解
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
d d d
c c c
b b b
a a a
D
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
d d d
c c c
b b b
a a a
d d d
c c c
b b b
a a a
abcd
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
d d d
c c c
b b b
a a a
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
2 2 2 2
3
.
0
