二 次 函 數

能力指標分年細目 平滑曲線不僅給人柔和的美感，也開啟數學 奇妙的世界，給人無限想像的空間。

1-1 簡易二次函數 的圖形

9-a-01

能以具體情境來理解 二次函數的意義。

9-a-02

能理解二次函數的樣 式並繪出其圖形。

9-a-04

能計算二次函數的最 大值與最小值。

9-a-06

能理解二次函數的圖 形與拋物線的概念。

9-a-07

能理解拋物線的線對 稱性質。

1-2 配方法與二次 函數的圖形 9-a-02

能理解二次函數的樣 式並繪出其圖形。

9-a-03

能利用配方法繪出二 次函數的圖形。

9-a-04

能計算二次函數的最 大值與最小值。

9-a-06

能理解二次函數的圖 形與拋物線的概念。

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0 91



教具指示器

■ 教學掛圖(I) 1A-4、2A-4

1-3 二次函數的應 用問題

9-a-05

能應用二次函數最 大值與最小值的簡 單性質。

基測停看聽

　　二次函數課程內容為97年之後的考試重點試題，試題內容分為圖形、二次函數的 配方法與應用問題。

　　二次函數圖形可分：圖形與拋物線、圖形的平移、從圖形看最大值與最小值、圖 形與軸的交點。

　　二次函數的配方法則是熱門考題，它與一元二次方程式的配方法在教學上須加以 釐清。

　　二次函數的應用問題，通常在活用最大值與最小值的性質；教學重點是配方法。

本章由第二冊的一次函數引入二次 函數，從繪圖到應用，逐步帶領同學探 討各類型的二次函數。

本章的學習雖然會有較多的挑戰，

卻是學習下一階段數學的重要基礎。

1-1 簡易二次函數的圖形

•認識二次函數

•y＝ax²的圖形

•y＝ax²＋k 的最大值與最小值

•二次函數圖形的上下移動

1-2 配方法與二次函數的圖形

•y＝a（x－h）²＋k 的最大值與最小值

•二次函數圖形的左右移動

•y＝a（x－h）²＋k 的圖形

•配方法

•圖形與兩軸的交點

1-3 二次函數的應用問題

•最大值或最小值的應用

二 次 函 數

第 章

教學活動內容

1-1 簡易二次函數的圖形

由具體情境理解二次函數的意義，並認識二次函數的數學樣式。

以描點方式繪製 y＝ax² 的圖形，了解其圖形為拋物線，並知道其開口方向、最 高（低）點與對稱軸。

繪製形如 y＝ax² 的二次函數圖形，了解其圖形均為拋物線，並比較圖形的各種 特性。

利用不等式找出形如y＝ax²與y＝ax²＋k 的二次函數的最大值或最小值。

描繪形如y＝ax²＋k 的二次函數圖形，並了解其圖形可由 y＝ax²的圖形上下移動 而得。

活動5 活動4 活動3 活動2 活動1

1-2 配方法與二次函數的圖形

找出形如y＝a（x－h）²與y＝a（x－h）²＋k 的二次函數的最大值或最小值。

描繪形如y＝a（x－h）²的二次函數圖形，並了解其圖形可由y＝ax²的圖形左右移 動而得。

描繪形如 y＝a（x－h）²＋k 的二次函數圖形，並了解其圖形可由移動 y＝ax² 的圖 形，使得頂點由（0 , 0）移至（h , k）而得。

利用配方法，將形如 y＝ax²＋bx＋c，a≠0 的二次函數，轉變成 y＝a（x－h）²＋k 的形式，並求其最大值或最小值。

由公式的推導，了解形如 y＝ax²＋bx＋c 的二次函數，其圖形均是拋物線，並能 描繪其圖形。

了解二次函數的圖形與兩軸的相交關係，了解其圖形與 x 軸的交點坐標，即為其 對應的一元二次方程式的解。

活動6 活動5 活動4 活動3 活動2 活動1

1-3 二次函數的應用問題

應用二次函數的最大值或最小值的性質解題。

活動1

二次函數

第 章

6

-1

教材地位分析

7

八下第2 章 線對稱圖形 七下第3 章 線型函數

高中數學 多項函數 八上第4 章

一元二次方程式

§1-1 認識二次函數

§1-1 y＝ax²的圖形

§1-1

二次函數圖形的上下移動

§1-1

y＝ax²＋k 的最大值與最小值

§1-2

y＝a（x－h）²＋k 的最大值與最小值

§1-2

二次函數圖形的左右移動

§1-2

y＝a（x－h）²＋k 的圖形

§1-2 配方法

§1-2 圖形與兩軸交點

§1-3

最大值或最小值的應用

8

教材設計理念

1-1 簡易二次函數的圖形

在 1-1 節中，由一次函數直接引入二次函數的介紹，並利用實例來加強與複習函數 的概念與函數符號的使用。首先介紹形如 y＝ax² 的二次函數圖形，與拋物線及其開口方 向、頂點（最高點和最低點）的意義。為了便於圖形的比較及後面關於圖形的移動觀 察，製作附件y＝±x²、y＝±2x²、y＝± x²六個圖形的透明片供學生操作。

在熟悉 y＝ax² 的圖形特性後，即引入利用不等式來找最大值或最小值的方法。介紹 形如 y＝ax²＋k 的二次函數圖形時，便先以不等式找出函數的最大值或最小值所在的坐 標，再以此為依據，選擇兩組可能的對稱點來畫圖。課本之後其他形式的二次函數圖 形，也都會以此方式介紹。

1 2

1-2 配方法與二次函數的圖形

在1-2 節中，介紹將 x²改為（x－h）²，形如y＝a（x－h）²與 y＝a（x－h）²＋k 的二次 函數圖形。這些簡易二次函數的圖形特性，都是以歸納的方式得到結論，為了便於觀察 與加深學生的學習印象，我們不僅使用透明片，也利用需要部分填充的表格來歸納，並 在結論時增加示意圖來強化學習記憶。

基於一元二次方程式 ax²＋bx＋c＝0 由配方法推導公式的經驗，我們加入將二次函 數的一般式y＝ax²＋bx＋c，直接配方成 y＝a（x＋ ）²＋ 的形式化介紹，來得 到所有二次函數的圖形皆為拋物線的結論。為了讓學生較容易接受，我們會先安排一些 配方的實例與練習，再進行形式化的說明。

4ac－b² b 4a

2a

-3

9

1-3 二次函數的應用問題

在 1-3 節中，我們介紹如何利用二次函數來解決情境問題，主要是最大值與最小值 的應用，也有圖形與兩軸交點的應用。因考量本節的完整性，所以將其先備知識（圖形 與兩軸相交情形的探討）安排在1-2 節。

評量注意事項

1評量二次函數圖形的描繪時，因畫平滑曲線對國中學生或許有些困難，若所畫圖形不 夠平滑，請勿苛求。如學生所描的點少於 5 點，或所選擇的點不完全對稱，而圖形大 致無誤時，亦請盡量不必要求完美。

2當問題有多種解法時，如果並未特別限制，只要正確即可，不必在形式上要求統一。

例如，求二次函數的最大值或最小值時，可用配方法或公式等方法。

3應用問題的情境不宜太複雜。

4含多概念或較難的問題，不宜命題，若有必要，請盡量以分成小題的方式來簡化或降 低難度。

10

若 v 代表此質點在時間 t 時的速度，v_x 與 v_y 分別代表此質點在時間 t 時速 度的水平分量與垂直分量。因無水平加速度分量，故速度的水平分量不變，即 v_x＝v_0x＝v₀cosθ，而速度的垂直分量受到向下的等加速度 g 的影響，在時間 t 時為v_y＝v_0y－gt＝v₀sinθ－gt，因此這個質點在時間 t 時，它所在位置的 x 坐標 與 y 坐標分別為 x＝v_0xt＝（v₀cosθ）t，y＝v_0yt－ gt²＝（v₀sinθ）t－ gt²，合 併上面二式，消去 t 得 y＝（tanθ）x－ x²，上式中 v₀、tanθ、cosθ 與 g 均為常數，故其形式就是 y＝ax－bx²，a、b 為常數的二次函數，因此拋擲 物體所經的路線可用二次函數來描述。

g 2（v₀cosθ）²

1 2 1

2 一. 參考資料

拋擲物體所經的路線為何可用二次函數來描述：

設有一質點在時間 t＝0 時，以仰角 θ 投擲出去，初速度為 v₀，則其初速度的 水平分量v_0x＝v₀cosθ，垂直分量 v_0y＝v₀sinθ。若不計空氣阻力，則此質點有一向下 的等加速度g，如下圖所示：

相關教學資源

x y

O

θ g v₀

v

P（x , y）

-

11

二. 參考書目

1《國民中學數學科教科書第四冊》（1985 年） 國立編譯館主編　國立編譯館 2《國民中學數學教科書第四冊》（1999 年） 國立編譯館主編　國立編譯館 3《國民中學選修數學教科書第四冊》（1999 年） 國立編譯館主編　國立編譯館 4《國民中學數學教師手冊第四冊》（1999 年） 國立編譯館主編　國立編譯館

三. 相關網站

1我的網：http://www.worldone.com.tw 2文教網：http://www.hle.com.tw

3臺北市教育入口網：http://www.tp.edu.tw/elearning

教學時數

■ 10小時

活動 1

由 具體情 境 理 解 二 次 函 數 的 意 義 ， 並 認 識 二 次 函 數的數學樣式。

教學眉批

■ 函數的意義雖然七 下已學習過，老師 仍宜舉例複習。

■ 由一次函數的意義 引入二次函數的意 義 ， 其 x² 項 的 係 數不為0，仍宜強 調。

■ 學生於九上的理化 課本已學習自由落 體的公式。

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■ 已知函數 f （x）＝x²－200x＋199，試求 f （1）＋ f （199）之值。0

認識二次函數

1

1 ^{簡易二次函數的圖形}

1

6

第二冊我們學過，在兩個變數 x 與 y 的關係式中，如果給定一個變數 x 的 值，就恰好可得到一個對應變數y 的值，則稱 y 是 x 的函數（function），且 x 為 自變數，y 為應變數。其中形如y＝ax＋b，a≠0 的函數，自變數 x 最高的次數為 一次，稱為一次函數，例如：y＝3x－5，y＝－2x＋1，y＝5x 等。

而形如 y＝ax²＋bx＋c，a≠0 的函數，自變數 x 最高的次數為二次，稱為 二次函數，例如：

1邊長為 x 的正方形，若其面積為 y，則可得關係式 y＝x²，式中給定一個變 數x 的值，就恰好可得到一個對應變數 y 的值，也就是說 y 是 x 的函數，且 為二次函數。

2大小兩數的乘積為 y，若大數為 x，且小數比大數少 3，則可得關係式 y＝x（x －3）＝x²－3x ，也就是說 y 是 x 的函數，且為二次函數。

3一個小彈珠從 100 公尺高的地方落下，經過 t 秒鐘後，它離地面的高度為 h 公尺，根據物理學的自由落體公式，h 與 t 滿足關係式 h＝100－4.9t²，也 就是說h 是 t 的函數，且為二次函數。

下面哪些是一次函數？哪些是二次函數？

1y＝2－x 2y＝3 3y＝－2 x²－3x＋1

4y＝x（x＋1） 5y＝ ³₂ x²＋ ¹₃ x＋1 6y＝－0.2 x＋5

一次函數：1 、6

二次函數：3 、4 、5

對應能力指標 9-a-01

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■ MPB 二次函數 P1∼4 6

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1設 f （x）＝2（x－a）²＋b，若 f （3）－ f （0）＝－18，則 a＝？3

2已知函數 f （x）＝ 1

x － 1

x＋1 ，試求 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋ … … ＋ f （20）之值。

20 21

教學眉批

■ 函數符號也常配合 應變數所代表量的 意義來使用，例如 以T （x）表示時間 函數，以 A （x）表 示面積函數。

■ 另解：

f （1）＋ f （2）＋

f （ 3 ）＋ … … ＋ f （19）＋ f （20）

＝ 1＋4＋7＋ … …

＋55＋58

＝（1＋58）×20÷2 ＝590

1

例

7

當 y 是 x 的函數時，常用符號y＝f（x）來表示它們之間的關係，並用 f（a）

代表x＝ a 時所對應的函數值。

例如：二次函數y＝x（x－3），可寫成 y＝f（x）＝x（x－3）

∴f（0）＝0×（0－3）＝0 f（2）＝2×（2－3）＝－2

f（ ）＝ ×（ －3）＝ ×（－ ）＝－

f（－0.1）＝（－0.1）×（－0.1－3）＝（－0.1）×（－3.1）＝0.31

在一個問題中同時討論幾個函數時，常用 f（x）、g（x）、h（x）、… … 表示 不同的函數。

5 4 1

2 5

2 5

2 5 2 5 2

已知函數f（x）＝x²＋3，g（x）＝（x＋1）（x＋2），試求 f（－1）＋g（－2）之值。

∵f（－1）＝（－1）^2＋3＝4

g（－2）＝（－2＋1）（－2＋2）＝0

∴f（－1）＋g（－2）＝4＋0＝4

1已知函數 y＝2（x－3）²＋5，若此函數在 x＝2 與 x＝3 的函數值分別為 a、 b，試求 a＋b 之值。

2已知函數f（x）＝3x－2，試求 f（1）＋f（2）＋f（3）＋……＋f（19）＋f（20）

之值。

搭配習作P5 基礎題1

x＝2，y＝a＝2（2－3）²

＋ 5＝7

＋ 5＝5

∴a＋b＝7＋5＝12

f（1）＋ f（2）＋ f（3）＋……＋ f（19）＋ f（20）

＝（ 3×1－2）＋（3×2－2）＋（3×3－2）＋……＋（3×19－2）＋（3×20－2）

＝ 3（1＋2＋3＋……＋19＋20）－2×20

＝ 590

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■ 類題熟練本P1

■ 十分鍾輕鬆考基礎篇 第 1 回



教具指示器

■ 教學掛圖(II) 1A-42

活動 2

以 描點方 式 繪 製 y ＝ a x

形 ， 了 解 其 圖 形 為 拋 物 線 ， 並 知 道 其 開 口 方 向 、 最 高

（低）點與對稱軸。

教學眉批

■ 表格中左右兩邊有

「 … 」的 記 號 ， 教 師宜提醒學生它所 代表的含意，因為 它跟後面二次函數 的圖形開口有極密 切的關係。

■ 教材中針對繪圖的 練習題，均提供坐 標格讓學生使用。

若教師要增加學生 繪圖的練習，宜交 代 學 生 攜 帶 方 格 紙 ， 或 幫 學 生 準 備。

■ 由圖 1-1 可知：二 次函數的圖形不像 線型函數的圖形那 麼簡單（描兩點就 可 以 將 圖 形 定 下 來），因此有必要 進一步描較多的點 來觀察。

y＝ax

的圖形

2

我們知道一次函數在坐標平面上所描繪出的圖形是一條直線，而二次函數 在坐標平面上會描繪出怎樣的圖形呢？

現在就以如何畫出二次函數y＝x²的圖形，當作探討的起點。

首先選擇一些簡易的整數作為x 值，然後求出對應的 y 值，以列表方式呈 現如下：

接著將上表中數對所對應的點描到坐標平面上。為使圖形準確起見，本節 中的圖形都會盡可能畫在方格紙上，如圖 1-1。在本章中，若無特別說明，則 方格紙的格子長皆為1 單位長。

8 ^第 1 章．二次函數

x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …

y ^… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 0 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1

為了更清楚的觀察函數圖形，我們在0 和 1 之間多取一些 x 值，並求出對 應的y 值，如下表：

圖1-1

（1,1）

（－1,1）

（2,4）

（－2,4）

（3,9）

（－3,9）

x y

O

（4,16）

（－4,16）

對應能力指標 9-a-01、9-a-02、

9-a-06、9-a-07

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1二次函數 y＝x²，在 x＝a 時，y＝169，則 a＝ 。 2二次函數 y＝－x²，在 x＝b 時，y＝－3，則 b＝± 3 。

±13



教具指示器

■ 教學掛圖(II) 2A-42

教學眉批

■ 以 0 . 0 5 為 單 位 長，可使所描的點 大都會落在格子點 上、下 0.01 單位 的位置，讓學生較 容 易 來 檢 查 這 些 點。

■ 圖 1-2 為以直線段 所連接出的圖形，

雖然已明顯呈現出 平滑曲線的樣式與 感覺，但仍宜再強 調「當所描的點愈 密，愈可看出圖形 是 一 條 平 滑 的 曲 線。」

■ 學生可用描圖紙描 下圖 1-3，對摺操 作來驗證線對稱圖 形。

■ 圖形的最低點、最 高點、開口向上、

開口向下，都是觀 察圖形的現象所給 與的名稱，並未給 予數學上嚴謹的定 義。

■ 整個圖形會一直向 上延伸，與第 8 頁 表 格 中 左 右 兩 邊 的 記 號「 … 」相 呼 應。

9

因為在 0 與 1 之間的格 子太小，不易描出上表這些 數對所對應的點，為了方便 觀察，我們暫時以格子長為 0.05 單位長的放大方式來描 點，並依序以線段連接這些 點，如圖1-2，可發現它們幾 乎可連成一條平滑的曲線。

圖1-2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ^x y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

其實，當我們取的數對 愈多，描在坐標平面上的點 就愈密，愈容易看出圖形是 一條平滑的曲線，最後可得 到如圖1-3 的圖形：

x y

O 圖1-3

（4,16）

（－4,16）

（3,9）

（－3,9）

（1,1）

（－1,1）

（2,4）

（－2,4）

由圖 1-3 可知：（－4 , 16）的對稱點（4 , 16），（－3 , 9）的對稱點（3 , 9），

… … 都在圖形上，故二次函數 y＝x²的圖形，是以 y 軸為對稱軸的線對稱圖 形，而且這個圖形有一個最低點（0 , 0）。因為整個圖形會一直向上延伸，且不 會在上方相交，所以我們說此圖形開口向上。

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■ 坐標平面上 P 點坐標為（－2 , 3），則：

1 若 A、P 兩點是以 y 軸為對稱軸的對稱點，則 A 點坐標為 。 2若 B、P 兩點是以 x 軸為對稱軸的對稱點，則 B 點坐標為 。

（2 , 3）

（－2 ,－3）



教學眉批

■ 學 生 可 用 描 圖 紙 描下 y＝－x² 的圖 形，對摺操作來驗 證是否為線對稱圖 形。

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 1B-42

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■ 類題熟練本 P1

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■ 有關二次函數 y＝－2x² 圖形的敘述，下列何者錯誤？

A圖形為拋物線 B圖形開口向下 C圖形有最低點 D圖形為線對稱圖形 C

10 ^第 1 章．二次函數

2

例

描繪二次函數y＝－x²的圖形。

在例題2 中，二次函數 y＝－x²的圖形，也是以y 軸為對稱軸的線對稱圖 形，而且這個圖形有一個最高點（0 , 0）。因為整個圖形會一直向下延伸，且不 會在下方相交，所以我們說此圖形開口向下。

首先將x 和 y 的對應值列表如下：

接下來描點，並仿照 y＝x²的圖形畫法，以平滑的曲線將這些點連接起 來，如下圖：

x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ^{… －}16 －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 －16 …

（－1,－1） （1,－1）

（－2,－4） （2,－4）

（－3,－9） （3,－9）

（－4,－16） （4,－16）

x y

O 趣味數學

■ 0∼10 的數字中，

哪個數字不開車？

10，因為酒（9）後 不開車。

10

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 2B-42

教學眉批

■ 教師可投擲小物體 讓 學 生 觀 察 拋 物 線。

■ 拋物線延伸至遠方 的 部 分 看 似 直 線 段，實際上不是，

當 學 生 有 此 誤 解 時，教師可視學生 程度補充說明。

■ 提 醒 學 生 ， 透 明 片在 1-2 節仍要使 用， 不要遺失。

■ 教師可補充 y＝x² 與 y＝－x² 兩圖形 的組合圖形，仍為 線對稱圖形，且此 圖形以兩軸為對稱 軸。

■ 由 圖 形 的 疊 合 來 確認 y＝x² 的圖形 亦為拋物線，與 y

＝－x² 的圖形只有 方位的差異。

■ 拋物線的最低點稱 為拋物線的頂點，

學生易因字意而有 疑惑，教師可舉例 釋疑。

11

圖1-4

拿出第 145 頁的附件 1 與附件 2，試比較 右圖中 y＝x² 和 y＝－x² 這兩個圖形的形 狀、開口方向與開口大小。

動動腦

由動動腦可知：

y＝x²與 y＝－x²的圖形可以疊合，開口大小相同，只是開口方向相反，所以 y＝x²的圖形也稱為拋物線。不論是 y＝－x²圖形的最高點或是 y＝x²圖形的最 低點都稱為拋物線的頂點，且對稱軸都一定會通過拋物線頂點。

y

x

y＝－x²

O

y＝x²

（－2,4） （2,4）

（－1,1） （1,1）

（－2,－4） （2,－4）

（－1,－1） （1,－1）

當我們投擲物體時，該物體所經過的路線稱為拋物線。圖 1-4 中，籃球所 經過的路線就是拋物線的一部分。而在例題 2 中， y＝－x²的圖形也稱為拋物 線。

兩圖形的形狀相同，且可完全疊合，

開口方向相反，開口大小相同。

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■ 有關二次函數 y＝3x² 與 y＝－3x² 圖形的敘述，下列何者錯誤？

A圖形均為拋物線 B圖形開口方向相同 C圖形開口大小相同 D有相同的頂點 B

11

活動 3

繪 製 形 如 y

＝ax

形 ， 了 解 其 圖 形 均 為 拋 物 線 ， 並 比 較 圖形的各種特性。

教學眉批

■ 本教材以二次函數 的形式來劃分與進 行，1-1 節介紹 y

＝ax² 與 y＝ax²＋k 的形式，1-2 節介 紹將 x² 改為（x－

h）² 形如 y＝a （x－

h）² 與 y＝a （x－h）

2＋ k 的形式，最 後介紹 y＝ax²＋bx

＋c 的形式。

■ 例題 3 的第1 小題 講解後，可先讓學 生練習隨堂練習第 1小題，再進行動 動腦第 1 題。

■ y＝－2x² 的圖形描 點，因考慮方格紙 的範圍，所以 x 值 取± 1

2 與± 3 2 。

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 3A-42

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■ 類題熟練本 P2

12 ^第 1 章．二次函數

3

例

描繪下列二次函數的圖形：

1y＝－ ¹₂x² 2y＝－2x²

接著我們將改變 x²項的係數，探討形如 y＝ax²，a≠0 的二次函數圖形，

看看當a 改變時，y＝ax²圖形的變化情形。

（－3,－⁹₂） （3,－ ）9 2

（－2,－2） ^（2,－2）

（－1,－ ）1

2 （1,－ ）1 2

1首先將x 和 y 的對應值列表如下：

接下來描點，並以平滑的曲線將這些點連接起來，如圖1。

x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ^{… －}8 － ⁹₂ －2 － ¹₂ 0 － ¹₂ －2 － ⁹₂ －8 …

O

（－4,－8） （4,－8）

y

x 2首先將x 和 y 的對應值列表如下：

接下來描點，並以平滑的曲線將這些點連接起來，如圖2。

x … －2 － ³₂ －1 － ¹₂ 0 ¹₂ 1 ³₂ 2 … y ^{… －}8 － ⁹₂ －2 － ¹₂ 0 － ¹₂ －2 － ⁹₂ －8 …

（－³₂,－⁹₂） （³₂,－⁹₂）

（－1,－2） （1,－2）

（－¹₂,－¹₂） O （¹₂,－¹₂）

（－2,－8）

y

x

y＝－ ¹x² 2

y＝－2x²

圖1 圖2

（2,－8）

搭配習作P6 基礎題3

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■ 描繪二次函數 y＝ 5

2 x² 的圖形。

x y

O

（－2,10）

（－1, 5 2 ）

（2,10）

（1, 5 2 ） 12

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■ 類題熟練本P2 教學眉批

■ 初畫拋物線，學生 會有畫不好的挫折 感，宜多給學生鼓 勵。

■ 若要補充練習，提 醒 學 生 利 用 方 格 紙，並參考例題 3 的取點方式。

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ࡣ቏ۊ㆛

■ 描繪二次函數 y＝－ 3

2 x² 的圖形。 x

y O

（－1,－ 3 2 ）

（－2,－6）

（1,－ 3 2 ）

（2,－6）

（0,0）

13 在例題3 中，二次函數 y＝－¹ x²與y＝－2x²的圖形也稱為拋物線。

2

描繪下列二次函數的圖形：

1y＝ ¹₂ x²

x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …

y … …

2y＝2x²

x … －₂ － －1 － 0 1 ³ 2 …

2 1

2 1

2 3

2

y … …

8

2 0 2

2 1

2 1

2 9

2

8

2 0 2

2 1

2 1

2 9

2

x y

O

x y

O

（－4,8） （4,8）

（－3, ）⁹₂ （3, ）⁹₂

（－2,2）

（－1, ）¹₂

（2,2）

（1, ）¹₂

（－2,8）

（－1,2）

（－³₂, ）⁹₂

（－¹₂, ）¹₂

（2,8）

（1,2）

（³₂, ）⁹₂

（¹₂, ）¹₂

13

教學眉批

■ 教師可引導學生觀 察 x² 項係數的絕 對值。

■ 提醒學生，這些透 明片在 1-2 節仍要 使用，不可遺失。

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 3B-42

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■ 在坐標平面上，A （－1 , a）與 B （－a , b）為拋物線 y＝2x² 上的兩點，求 ‾AB 。 37 14 ^第 1 章．二次函數

1拿出第145 頁的附件 3 與附件 4，試比較 右圖中 y＝ x²與 y＝－ x² 這兩個圖 形的形狀、開口方向與開口大小。

1 2 1

2 動動腦

2拿出第146 頁的附件 5 與附件 6，試比較 右圖中 y＝2x²與 y＝－2x²這兩個圖形的 形狀、開口方向與開口大小。

O x

y

O x

y y＝ ¹₂ x²

y＝－ ¹₂ x²

y＝2x²

y＝－2x²

（－3, ）⁹₂ （3, ）⁹₂

（－3,－⁹₂） （3,－⁹₂）

（－2,2） （2,2）

（－2,－2） （2,－2）

（－³₂, ）⁹₂ （³₂, ）⁹₂

（－1,2） （1,2）

（－³₂,－⁹₂） （³₂,－⁹₂）

（－1,－2） （1,－2）

由動 動腦 可知：

1y＝ x² 的圖形可和 y＝－ x² 的圖形疊合，開口大小相同，只是開口 方向相反。

2y＝2x² 的 圖形可和 y＝－2x² 的圖形疊合，開口大小相同，只 是 開 口 方向 相反 。

因此 y＝ ¹ x² 與 y＝2x² 的圖形也都是拋物線。

2

1 2 1

2

兩圖形的形狀相同，且可完全疊合，

開口方向相反，開口大小相同。

兩圖形的形狀相同，且可完全疊合，

開口方向相反，開口大小相同。

1

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 4A-42

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■ 類題熟練本 P2 教學眉批

■ 教 材 歸 納 y ＝ a x² 的 圖 形 時 ， 共 舉 了 6 個例子，如圖 1-5。

■ 教 師 可 補 充 ， 圖 1-5 中的 6 個二次 函數的圖形所組合 的圖形，仍為線對 稱圖形，對稱軸為 兩軸。

■ 本結論也適用於所 有的二次函數，而 且隱含二次函數極 值的概念，是簡潔 易記的重點，教師 宜要求學生都能熟 記。

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■ 若二次函數 y＝ax² 與 y＝bx² 的圖形開口方向相反，則二次函數 y＝abx² 的圖形開口 方向為何？開口向下

15 如圖1-5，把前面所畫的二次函數圖形，都畫在同一個坐標平面上：

4

例

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲：y＝3x² 乙：y＝－3x² 丙：y＝－ ³₂x² 丁：y＝ ³₄x² 1 ∵甲、丁兩個函數的x² 係數為正數，∴甲、丁的圖形開口向上。

反之，乙、丙的圖形開口向下。

2各圖形均以（0 , 0）為頂點，且均以 y 軸為對稱軸。

3∵｜3｜＝｜－3｜＞｜－ ｜＞｜ ｜，∴開口大小為：甲＝乙＜丙＜丁³₂ ³₄ 事實上，形如 y＝ax² 的二次函數圖形，都是以（0 , 0）為頂點，以 y 軸為 對稱軸的拋物線，且

1當a＞0 時，圖形的開口向上，頂點是最低點。

2當a＜0 時，圖形的開口向下，頂點是最高點。

3｜a｜愈小，其圖形開口愈大。

圖1-5 y

O x y＝2x²

y＝x² y＝ x²

y＝－ x² y＝－x² y＝－2x²

1 2 1 2

由圖 1-5 可知，上述的二次函數圖形都是拋物線，而且都有相同的頂點

（0 , 0），與相同的對稱軸（ y 軸）。其中 y＝2x²、y＝x²與 y＝ x²的圖形 開口向上且愈來愈大，頂點（0 , 0）是最低點；而 y＝－2x²、y＝－x²與 y＝－ ¹₂ x²的圖形開口向下且愈來愈大，頂點（0 , 0）是最高點。

1 2

1

！

■ 91 基測 II 第 17 題

教學眉批

■ 教 師 可 連 接 ‾AB 後，問學生 ‾AB 與 x 軸是否平行？

‾AB 的方程式為何？

並進一步將例題 5 的 題 幹 轉 述 為 ：

「 如 右 圖 ， 直 線 y

＝4 與 y＝ 1 2 x

2 的 圖形在第一象限交 於 A 點，在第二象 限交於 B 點，試求 A、B 兩點的坐標 及‾AB 的長度。」如 此將更有助於例題 6 的教學。

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■ 類題熟練本 P3

■ 歷屆基測試題 P3

16 ^第 1 章．二次函數

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開口 大小：

甲：y＝－²₃ x² 乙：y＝－¹₃ x² 丙：y＝²₃ x² 丁：y＝－ ³₄x²

5

例

如右圖，A、B 兩點分別在第一、

二象限內，且兩點均在 y＝ x²的 圖形上，並與x 軸相距 4 單位。

試求：1A、B 兩點的坐標。

2‾^{AB 的長度。}

1 2

由圖可知A、B 兩點的 y 坐標均為 4，且分別在第一、二象限內，

故可設A（a , 4）、B（b , 4），其中 a＞0、b＜0。

兩點均在y＝ x²的圖形上，分別將其坐標代入函數得：

4＝ a² 4＝ b²

a²＝8 b²＝8

a＝2 2（a＞0） b＝－2 2（b ＜0）

因此可得A（2 2 , 4）、B（－2 2 , 4）

‾AB＝∣2 2 －（－2 2 ）∣＝4 2 1 2 1

2

1 2

y＝ ¹₂x²

B A

4 4

x y

O

甲：開口向下，頂點（ 0 , 0），對稱軸為 y 軸。

乙：開口向下，頂點（ 0 , 0），對稱軸為 y 軸。

丙：開口向上，頂點（ 0 , 0），對稱軸為 y 軸。

丁：開口向下，頂點（ 0 , 0），對稱軸為 y 軸。

開口大小：丁＜甲＝丙＜乙

搭配習作P7 基礎題5

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■ 比較下列各二次函數圖形的開口大小：乙＞甲＞丙＞丁 甲：y＝－ 1

2 x² 乙：y＝ 1

3 x² 丙：y＝x² 丁：y＝－2x² 16

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■ 類題熟練本 P3 教學眉批

■ 隨堂練習第 2 題：

提醒學生注意方程 式 的 解 要 符 合 題 意。

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1若二次函數 y＝ax² 的圖形通過（－2 , 8）與（4 , b），求 a＋b 之值。34 2若二次函數 y＝－ 1

2 x² 的圖形通過（a , a），求 a 之值。a＝0 或－2

1若二次函數 y＝2x²的圖形通過坐標（－3 , a），而 y＝bx²的圖形通 過坐標（－2 , －12），試求 a、b 之值。

2如圖，A、B 兩點均在 y＝－x²的圖形上，其中 A 點在第三象限 內，與 x 軸相距 2 單位，B 點在第四象限內，與 y 軸相距 2 單位，

試求 A、B 兩點的坐標。

17

由圖可知A、B 兩點的 y 坐標均為 4，且均在函數 y＝ x²的圖形上，

∴將y＝4 代入該函數可求得它們的 x 坐標：

4＝ x²，x²＝8，x＝±2 2。

又A、B 兩點分別在第一、二象限內，

因此可得A（2 2 , 4）、B（－2 2 , 4）

‾AB＝∣2 2 －（－2 2 ）∣＝4 2 1

2

1 解二 2

y＝－x² 2 B 2 A

x y

O

∵

的圖形通過（－ 3 , a）

∴將（－ 3 , a）代入得 a＝2（－3）

＝ 18 又

的圖形通過（－ 2 , －12）

∴將（－ 2 , －12）代入得－12＝b（－2）

，

設

∵A、B 兩點均在 y＝－x

的圖形上，

∴分別將（a , －2）、（2 , b）代入得：

－ 2＝－a

，

，

故

1

教學眉批

■ 透 過 例 題6 ， 可 了 解平行於 x 軸的直 線被二次函數 y＝

a x²的 圖 形 所 截 線 段間的關係。

■ 教師可畫簡圖，幫 助學生了解線段間 的大小關係。

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■ 類題熟練本 P3、4

■ 十分鐘輕鬆考基礎篇 第 2 回

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ࡣ቏ۊ㆛

■ 坐標平面上，直線 x＝－1 與 x 軸交於 H 點，且分別與 y＝－ 1

2 x²、y＝－ 2 3 x²、 y＝－ 3

4 x² 的圖形交於 A、B、C 三點。求‾AH 、‾BH 、‾CH ，並比較其大小。

‾AH ＝ 1

2 、‾BH ＝ 2

3 、‾CH ＝ 3

4 ，‾CH ＞‾BH ＞‾AH 18 ^第 1 章．二次函數

6

例

在坐標平面上，直線 y＝1 分別與 y＝x²、y＝ x²、y＝ x²的圖形在第 一象限內相交於A、B、C 三點，在第二象限內相交於 D、E、F 三點。試 比較‾AD、‾BE、‾CF 長度的大小。

1 3 1

2

∵y＝x²、y＝ x²、y＝ x²的圖形都是以（0 , 0）為頂點的拋物線，

又x² 項係數均大於0，

且｜1｜＞｜ ｜＞｜ ｜，

可知圖形的開口向上且愈來愈大

∴依題意可圖示如下：

1 3 1

2

1 3 1

2

觀察圖形可發現：‾CF ＞‾BE ＞‾AD。

D

E A ^{B C} y＝1

（0,0）

y＝x² y＝ ¹₂ x²

y＝ ¹₃x²

x y

O F

坐標平面上 y＝x²的圖形，分別與直線 y＝2、y＝3、y＝4 在第一象限內 相交於 A、B、C 三點，在第二象限內相交於 D、E、F 三點。試比較

‾AD、‾BE、‾CF 三線段長度的大小。

依題意圖示如右，

觀察圖形可發現：

x y

O

y＝x² y＝4

y＝3 y＝2

C B A F

E D 1

ೖ̖ۊ㆛

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■ 下列各函數圖形，何者與 x 軸不相交？

A y＝3x²＋1 B y＝3x²－1 C y＝x²－3 D y＝－x²＋2

A

活動 4

利 用 不 等 式 找出形如 y＝ax

與

＋k 的二次函 數 的 最 大 值 或 最 小 值。

教學眉批

■ 在熟悉形如 y＝ax² 的二次函數之後，

即介紹二次函數的 最大值或最小值，

是要建立畫拋物線 要先描出頂點的觀 念，並應用於後續 其他形式二次函數 的繪圖。

■ 有 關 不 等 式 的 運 算，教師可視學生 情況適度複習。

■ 當二次函數的自變 數有範圍限制時，

最大值與最小值就 可 能 同 時 存 在 。

（請參考第 65 頁的 數學萬花筒）

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 4B-42

y＝ax

＋ k 的最大值與最小值

3

19

形如 y＝ax²，a＞0 的二次函數，其圖形開口向上，有最低點（0 , 0），由 圖1-6 可知，此類函數在 x＝0 時，有最小值 y＝0。

相反的，形如 y＝ax²，a＜0 的二次函數，其圖形開口向下，有最高點

（0 , 0），由圖 1-6 可知，此類函數在 x＝0 時，有最大值 y＝0。

其實不經由畫圖，我們也可由不等式發現此現象：

1若y＝ax²，a＞0 ：

∵x²≧0，∴ax²≧0，

即函數值y≧0，

又x＝0 時，ax²＝0，

故此函數在x＝0 時，有最小值 y＝0。

2若y＝ax²，a＜0 ：

∵x²≧0，∴ax²≦0，

即函數值y≦0，

又x＝0 時，ax²＝0，

故此函數在x＝0 時，有最大值 y＝0。

因為拋物線 y＝ax² 的開口方向只有向上或向下，因此當此類函數有最小 值時，就不可能有最大值；若有最大值時，就不可能有最小值。

圖1-6 x

y

O

x y

O

y＝ax² a＞0

（0,0）

（0,0）

y＝ax² a＜0

對應能力指標 9-a-04、9-a-06

1

教學眉批

■ 教師亦可利用下列 方式解釋最大值或 最小值：

1 當 一 定 數 加 一 變 數 時 ， 所 加 的 變 數 其 值 最 小 時 ， 和為最小值。

y＝3x²－4 ＝－4＋3x²， 當 x＝0 時，

3x² 最小，

y ＝ － 4 ＋ 0 ＝ － 4 為最小值。

2 當 一 定 數 減 一 變 數 時 ， 所 減 的 變 數 其 值 最 小 時 ， 差為最大值。

y＝－x²＋2

＝2－x²， 當x＝0 時，

x²最小，

y＝2－0＝2 為最 大值。

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■ 類題熟練本P4

ೖ̖ۊ㆛

ೖ̖ۊ㆛

■ 若二次函數 y＝3x²＋k 的圖形上移 7 個單位後會與 y＝ax²＋1 的圖形重合，則 a＋k 之 值為何？

A 9 B －9 C 3 D －3 D

20 ^第 1 章．二次函數

為了便於描繪形如 y＝ax²＋k，k≠0 的二次函數圖形，我們先來練習如何 利用不等式，找出此類二次函數的最大值或最小值。

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最 大值或最小值。

1y＝2x²－5 2y＝－3x²＋4

7

例

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最 大值或最小值。

1y＝3x²－4 2y＝－x²＋2

1∵3x²≧0，

3x²－4≧0－4，

∴y＝3x²－4≧－4，

又x＝0 時，3x²－4＝－4，

故函數在x＝0 時，有最小值 y＝－4。

2∵－x²≦0，

－x²＋2≦0＋2，

∴y＝－x²＋2≦2，

又x＝0 時，－x²＋2＝2，

故函數在x＝0 時，有最大值 y＝2。

∵ 2x

≧ 0 2x

－ 5≧－5

∴

－ 5≧－5 又

故函數在

有最小值

∵－ 3x

≦ 0

－ 3x

＋ 4≦4

∴

＋ 4≦4 又

故函數在

有最大值

搭配習作P5 基礎題2 20

教學眉批

■ 先說明例題 7 並讓 學生做完練習，再 進行 y＝ax²＋k 的 最大值或最小值的 教學，學生比較容 易了解。

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ࡣ቏ۊ㆛

1已知 a＜0，求二次函數 y＝ax²－3 的最大值或最小值。有最大值為－3

2已知 b＞0，求二次函數 y＝bx²＋ 1

2 的最大值或最小值。有最小值為 1 2

21

3y＝ x²＋1 4y＝－4x²－ ³ 2 1

3

一般而言，形如y＝ax²＋k，k≠0 的二次函數：

1若a＞0 ：

∵ax²≧0，

ax²＋k≧0＋k，

∴y＝ax²＋k≧k，

且x＝0 時，ax²＋k＝k，

故此函數在x＝0 時，有最小值 y＝k。

2若a＜0 ：

∵ax²≦0，

ax²＋k≦0＋k，

∴y＝ax²＋k≦k，

且x＝0 時，ax²＋k＝k，

故此函數在x＝0 時，有最大值 y＝k。

也就是說，形如y＝ax²＋k，k≠0 的二次函數，可以得到下面的結論：

1若a＞0，函數在 x ＝0 時，有最小值 k。

2若a＜0，函數在 x ＝0 時，有最大值 k。

∵

≧ 0

＋ 1≧1

∴

＋ 1≧1 又

故函數在

有最小值

1 3 1 3 1

3

∵－ 4x

≦ 0

－ 4x

－ ≦－

∴y＝－4x

－ ≦－

又

， 故函數在

有最大值

。

3 2

3 2 3

2 3 2 3

2

21

活動 5

描 繪 形 如 y

＝ax

＋k 的二次函 數 圖 形 ， 並 了 解 其 圖形可由 y＝ax

圖 形 上 下 移 動 而 得。

教學眉批

■ 由形如 y＝ax² 的 二 次 函 數 圖 形 經 驗，描繪其他形式 的 二 次 函 數 圖 形 時，其最大值或最 小 值 所 在 的 坐 標 點，是繪圖重要的 依據。

■ 教師可試著進一步 簡 化 列 表 方 式 如 下：

x 0 ±1 ±2 … y 1 2 5 …

ⶪह྆ḻݽ

■ 類題熟練本 P5

ࡣ቏ۊ㆛

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■ 描繪二次函數 y＝－x²＋8 的圖形。

x y

O

（－2,4）

（－1,7）

（2,4）

（0,8）

（1,7）

二次函數圖形的上下移動

4 ^{對應能力指標} 9-a-01、9-a-02

22 ^第 1 章．二次函數

接下來，讓我們來看一些形如y＝ax²＋k，k≠0 的二次函數圖形。

8

例

描繪二次函數y＝x²＋1 的圖形。

∵x²項係數是1，大於 0，

∴函數在x＝0 時，有最小值 y＝1。

因此從x＝0 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如下：

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 5 10 …

在下面的坐標平面上，描繪二次函數y＝x²－1 的圖形：

y … …

x … …

x y

O

（－1,2）

（－2,5）

（1,2）

（0,1）

（2,5）

（－3,10） （3,10）

x y

O

8 3 0 －1 0 3 8

－3 －2 －1 0 1 2 3

搭配習作P6 基礎題3

（－3,8） （3,8）

（－2,3） （2,3）

（－1,0） （1,0）

（0,－1）

22

ೖ̖ۊ㆛

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■ 求二次函數 y＝－3x²＋ 9

5 圖形的頂點到 x 軸的距離。 9 5

教具指示器

■ 教學掛圖(II) 5A-42

ⶪह྆ḻݽ

■ 類題熟練本 P6 教學眉批

■ 教師可利用 y＝x² 的曲線板，在掛圖 上疊合比較與上下 移動。

■ 教 材 中 不 用「 平 移 」這 個 數 學 名 詞 ， 而 用「 移 動 」 的一般說法，並指 出移動的方向。

■ 教 師 說 明 例 題 9 時 ， 可 酌 量 增 描 一、兩組對稱點，

繪圖時，才不會有 太大的誤差。

23

由動動腦可知：

y＝x²－1 與 y＝x²＋1 的圖形均可和 y＝x² 的圖形疊合，所以這三個圖形都是 拋物線，其開口大小相同。且知將 y＝x² 的圖形向上移動 1 個單位，便是 y＝x²＋1 的圖形；而向下移動 1 個單位，便是 y＝x²－1 的圖形，因此這三個 圖形均為開口向上且有相同的對稱軸（y 軸）。

拿出第 145 頁的附件 1，疊在右圖 中 y＝x²、y＝x²－1 和 y＝x²＋1 這三個圖形上，比較它們的形狀、

開口方向與開口大小。

動動腦

y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1

x y

O

y＝ax²＋k 的繪圖（a＜0）

例

描繪二次函數y＝－ ¹₂x²－1 的圖形。

9

∵x²項係數小於0，∴函數在 x＝0 時，有最大值 y＝－1。

因此從x ＝0 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如下：

然後描點並畫平滑曲線如下圖：

x … －₃ －2 －1 0 1 2 3 … y … －¹¹₂ －3 －³₂ －1 － ³₂ －3 －¹¹₂ …

（－2,－3）

（0,－1）

（2,－3） x y

O

（－1,－ ）3

2 （1,－ ）3 2

（－3,－11）

2 （3,－11） 2

圖形的形狀相同，且可完全疊合，

開口方向、開口大小也相同。

搭配習作P6 基礎題3

23