6-1、6-2 多項函數圖形與兩軸的交點

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Precalculus，Ch6 多項函數與有理函數，Cheng‐Fang Su

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主題一多項函數的定義

一、若變數 y 為變數 x 的函數，且 y 可以用 x 的一個多項式 f (x)表示，即 y＝f (x)，這樣的函數 就稱為多項函數。

二、通常由多項式 f (x)所定的多項函數就稱函數 f，由多項式 g (x)所定的多項函數就稱函數 g，…

等，定一個多項函數 f 所用的多項式 f (x)若為 n 次，則 f 稱為 n 次函數。

【例】f (x)＝⁹

5x + 32 為一次函數或線型函數；g (x)＝－x² + 10x 為二次函數；

h(x)＝ 2x³－x²－4x + 5 為三次函數。

三、一般而言，我們可將 n 次函數表示為：y f x( )a x_n ⁿ a_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a₀。 四、由零多項式所定的函數，稱為零函數，即 y＝f (x)＝0，零函數的函數值恆為 0。

五、函數 y＝f (x)，將變數 x 的範圍內的每一個值 a，在坐標平面上取點(a，f (a))，則所有這樣 的點所成的圖形稱為函數 f 的圖形。

六、多項函數圖形的一些性質：

1. 多項函數的圖形是連續不斷的。

2. n 次函數的圖形與 x 軸至多有 n 個交點。

3. 多項函數的領導係數若為正數，則函數圖形最右方是上揚的（即 x 夠大時，函數值會趨近 於無窮大），領導係數若為負數，則函數圖形最右方是往下跑的。

主題二多項函數圖形與兩軸的交點

一、與 y 軸的交點（或者我們稱之為「截點」，y-intercepts）：

將 x＝0 代入ya x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a₀，可得到ya₀，

所以 n 次多項函數（或簡稱 n 次函數）與 y 軸必交於一點 (0, a )。 ₀

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二、與 x 軸的交點（或者我們稱之為「截點」，x-intercepts）：

將 y＝0 代入ya x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a₀，可得到a x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a ₀0。

所以 n 次函數與 x 軸的交點個數取決於a x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a ₀0的實數根個數，

而a x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹  a x₁ a ₀0的實數根即 n 次函數與 x 軸的交點 x 坐標。

【例】設 f(x)＝2x－3，g (x)＝

－

x² + 4x＋5，h (x)＝x² + x＋1，

試分別求出此三函數圖形與 x 軸及 y 軸的交點。

《補充一》設 a、b、cR，試分析 ax² + bx＋c＝0 的根：

1.我們可利用配方法導出 ax² + bx＋c＝0 的公式解為

2 4

2

b b ac

x a

  

 。

2.由

2 4

2

b b ac

x a

  

 中之 b²4ac值判斷出：

(i) 若b²4ac＞0，則 ax² + bx＋c＝0 有兩相異實根。

 y＝ax² + bx + c 與 x 軸相交於相異兩點。

(ii) 若b²4ac＝0，則 ax² + bx＋c＝0 有重根。

 y＝ax² + bx + c 與 x 軸相交於一點（即相切於頂點）。

(iii) 若b²4ac＜0，則 ax² + bx＋c＝0 無實數根（但有兩共軛虛根）。

 y＝ax² + bx + c 與 x 軸無交點。

《補充二》二次函數 f (x)＝ax² + bx + c

1.定義：函數 f (x)＝ax² + bx + c，其中 a、b、cR，且 a≠0，即為一個二次函數。

2.aR，a≠0，二次函數 y＝ax²的圖形均為拋物線：

(1)當 a＞0 時，拋物線開口向上；當 a＜0 時，拋物線開口向下。

(3)

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(2)當∣a∣愈大，圖形開口愈小；當∣a∣愈小，圖形開口愈大。

(3)圖形對稱於 y 軸，y 軸稱為拋物線 y＝ax²的對稱軸。

(4)圖形的頂點為原點(0，0)。

(5) y＝ax²與 y＝－ax²的圖形對稱為 x 軸。

3. aR，a≠0，二次函數 y＝a(x

－

h)²的圖形為拋物線：

(1)若 f (x)＝ax²，g (x)＝a(x

－

h)²，則 g 的圖形即為 f 的圖形左右平移∣h∣單位。

(若 h＞0，則向右平移；若 h＜0，則向左平移。)

【例】f (x)＝2x²，g (x)＝2(x

－

1)²，則 g 的圖形即為 f 的圖形向右平移 1 單位。

(2) y＝a(x

－

h)²的圖形為一拋物線，其對稱軸為 x＝h，頂點為(h，0)。

4. aR，a≠0，二次函數 y＝a(x

－

h)²+ k 的圖形為拋物線：

(1) 二次函數 y＝a(x

－

h)²+ k 的圖形即 y＝ax²的圖形向左或向右平移∣h∣單位

（若 h＞0，則向右平移；若 h＜0，則向左平移），再向上或向下平移∣k∣單 位（若 k＞0，則向上平移；若 k＜0，則向下平移）所得的圖形。

【例】 y＝2(x－1)²+ 3 的圖形即 y＝2x²的圖形向右平移 1 單位再向上平移 3 單位。

(2) y＝a(x

－

h)²+ k 的圖形為一拋物線，其對稱軸為 x

＝

h，頂點為(h，k)。

5. y＝ax² + bx + c 可經由配方，化為 y

＝

a(x

－

h)²+ k 的形式，

即

2 4

( )

2 4

b b ac y a x

a a

    。

6.二次函數的圖形均為拋物線，對稱軸為

2 x b

  a，頂點為

2 4

( , )

2 4

b b ac

a a

   。

7.當 a＞0，開口向上，頂點是最低點，函數的最小值為

2 4

4 b ac

a

  。

當 a＜0，開口向下，頂點是最高點，函數的最大值為

2 4

4 b ac

a

  。