平行尺規作圖

A 

L  E 

1 B  D 

C  A 

1 L  B 

A 

L  E 

1 B  D 

C 

F 

L 

A 

A 

L  E 

1 B  D 

C 

F  M 

2 

在前面的作圖，都是有關垂直的作圖部分，但在幾何學中我們亦常用到平行的觀念及性質，

所以我們接著來介紹如何畫平行線的尺規作圖。

平行尺規作圖：給定任一直線及線外一點，作出過此點且與此直線平行的直線。

【已知】直線 L 與線外ㄧ點 A。

【求作】過 A 點作ㄧ平行線 M 與 L 平行。

【作法一】步驟一: 過線外一點 A 隨意畫與 L 交錯之直線，

交直線 L 於 A 點，所設成的角為 Ð 1。

步驟二: 分別以 A、B 為圓心，相同長度為半徑畫弧，交點分別為 C、D、E。

步驟三: 以 E 為圓心， CD 為半徑畫弧，交點為 F 點。

步驟四: 連接 AF 線段即為所求。

【作法二】 步驟一: 過 A 點作 AH suur

^

L。

步驟二: 過 A 點作直線 M 垂直 AH suur

，則 M//L。 

L 

A 

H 

L 

A 

H 

M

同側內角和 小於兩直角

延長後相交

L

1 

L

2 

L 

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

古希臘的幾何，也就是歐幾里德的幾何是由公設所建立，其中公設五是很重要的，此公設 又稱之為平行公設，是有關平行的幾何。

【公設五】若一直線和兩直線相交，且其中一側的同側內角和小於兩直角，則將此兩直線 延長後，會交於同側內角和小於二直角的一側。

平行線的定義與性質 平行線的定義:

由【公設五】我們給定兩直線將平行的定義。在平面的兩條直線，若有一直線能同時 垂直於這兩條直線，就說這兩條直線互相平行。且平行的兩條直線永不相交。如下圖，

直線 L ₁ 與 L ₂ 平行，記作 L ₁ /

/

L ₂ ，讀作「L ₁ 平行於 L ₂ 」。

平行觀念：

(1) 兩平行線之間保持相同的距離，且無限延伸後沒有交點。

(2) 一線段若垂直於平行線中的一條直線，必垂直於平行線中的另一條直線。

截線：在一平面上，直線 L 分別與直線 L ₁ 與 L ₂ 相交於不同兩點時，則 L 叫做 L ₁ 與  L ₂ 的截線。如下圖，L 叫做 L ₁ 與 L ₂ 的截線。

截角：直線 L 為 L ₁ 與 L ₂ 的截線，形成 8 個截角，如下圖。 

L

1 

L

2 

L

1 

L

2

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

(1)同位角相等：

Ð 1 在 L ₁ 的右上方， Ð 5 在 L ₂ 的右上方，位置相同都 在右上方，故稱∠1 與∠5 為同位角，同理，∠4 與∠8、

∠2 與∠6、∠3 與∠7 都是同位角。在此我們可知:

∠1＝∠5；∠4＝∠8；∠2＝∠6；∠3＝∠7。

【證明】如右圖，做 AC 線段，同時垂直於 L ₁ 與 L ₂ 。 在

D

ADB 與

D

AEC 中，∠B＝∠C 皆為直角，

且∠BAD＝∠CAE。

在

D

ADB 中，∠A＋∠B＋ Ð 1＝180 ⁰ (三角形內角和 180 ⁰ )。

在

D

AEC 中，∠A＋∠C＋ Ð 5＝180 ⁰ (三角形內角和 180 ⁰ )。

Þ Ð 1＝ Ð 5，故同位角相等。

(2)內錯角相等：

∠5 與∠3、∠4 與∠6，都在 L ₁ 與 L ₂ 的內側，但交錯在  L 的兩邊，故稱為內錯角，在此我們可知∠3＝∠5；

∠4＝∠6。

【證明】如右圖，∵∠1＝∠3(對頂角相等) 又Q ∠1＝∠5(同位角相等)

∴∠3＝∠5，故內錯角相等。

(3)同側內角互補：

∠5 與∠4 都在 L ₁ 與 L ₂ 的內側，且在 L 的同一側，

故稱為同側內角；同理，∠3 與∠6 也為同側內角。

在此我們可知∠4＋∠5 ＝ 180 ⁰ ；∠3＋∠6 ＝ 180 ⁰ 。

【證明一】∠1＋∠4＝180 ⁰ 

∵∠1＝∠5(同位角相等)

∴∠4＋∠5＝180 ⁰ 

【證明二】如右圖，做 AB 線段，同時垂直於 L ₁ 與 L ₂ 。

∵四邊形 ABCD 內角和為 360 ⁰ 

∴∠A＋∠B＋∠5＋∠4＝360 ⁰

Þ ∠4＋∠5=360 ⁰ －90 ⁰ －90 ⁰ ＝180 ⁰ ， 故同側內角互補。 

1 4 

5 8 

D 

E  A 

L

1 

L

2 

B 

C 

L

1 

L

2 

L 

3  4 

6  5 

A 

B  C 

D

L

1 

L

2 

L 

1  2  3 

A  B 

A  B 

65 

^O 

1  65 

^O 

2 

情形一 情形二 

L1  L2 

L3 

1 

L4  100 ⁰ 

100 ⁰  80 ⁰ 

【範例】如圖，L ₁  // L ₂ ，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的一條截線，∠1＝55 ⁰ ，求∠2、∠3？

【解說】∵L ₁  // L ₂ 

∴∠1＝∠2＝55 ⁰ （內錯角相等）

∠1＋∠3＝180 ⁰  （同側內角互補）

∠3＝180 ⁰ －55 ⁰ ＝125 ⁰ 

【範例】(1) 如附圖，直線 L1、L2、L3、L4 中，互相平行的有______。

(2) 其中∠1 ＝______。

【解說】(1) L₃ // L₄ （∵同側內角互補）

(2) ∠1 ＝180 ⁰ －100 ⁰ ＝80 ⁰ 

【範例】設∠A 與∠B 的兩邊互相平行，若∠A＝65 ⁰ ，求∠B＝？

【解說】

可能有兩種情形(如右圖)：

（1） ∠1＝∠A＝65 ⁰ （同位角相等），

∠B＝∠1＝65 ⁰ （同位角相等）

（2） ∠2＝∠A＝65 ⁰ （內錯角相等）

∠B＝180 ⁰ －∠2＝180 ⁰ －65 ⁰ ＝115 ⁰ （同側內角互補）

平行線的判別:

在前面我們知道，L ₁ // L ₂ ，L 為 L ₁ 與 L ₂ 的截線，則有同位角相等、內錯角相等 及同側內角互補的性質，那反過來假設 L ₁ 與的 L ₂ 被一直線所截，則此三性質是否也可 推得 L ₁ // L ₂ ？

(1)兩條直線被一直線所截，若截出的同位角相等，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＝∠2

【證明】過 A 點作直線 P，使 P

^

L ₂ 於 A。

Þ ∠2＋∠y＝90 ⁰ …○ ¹

∠1＋∠y＝180 ⁰ －x…○ ²

○ ² －○ ¹ ∠1－∠2＝90 ⁰ －x

∵∠1＝∠2 (同位角相等)。

∴x＝90 ⁰ ，故 L ₁ // L ₂ 。 

L

1 

L

2 

L  1 

2  P 

y  x  1 

A

L

1 

L

2 

X  O  O  X 

X  O  O  X 

L 

L1 

L2 

L 

x  y 1  z 4 

L1 

L2 

L 

1 

3  x 

y 

(2)兩條直線被一直線所截，若截出的內錯角相等，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＝∠3

【證明】∠x＋∠1＝180 ⁰ 

∠3＋∠y＝180 ⁰ Þ ∠x＝∠y 

By(1)故 L ₁ // L ₂ 。

(3)兩條直線被一直線所截，若截出的同側內角互補，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＋∠4＝180 ⁰ 

【證明】∠y＋∠1＝180 ⁰ …○ ¹

∠z＋∠4＝90 ⁰ …○ ²

∠x＝∠y＋∠z (外角定理)…○ ³ 

○ ¹ ＋○ ² ＋○ ³

Þ (∠y＋∠1)＋(∠z＋∠4)＋∠x＝180 ⁰ ＋90 ⁰ ＋(∠y＋∠z) Þ ∠1＋∠4＋∠x＝270 ⁰ 

∵∠1＋∠4＝180

∴x＝90 ⁰ ，故 L ₁ // L ₂ 。

【結論】若兩平行線被一直線所截，則(1)同位角相等；(2)內錯角相等；(3)同側內角 互補。

若兩條直線被一直線所截若(1)同位角相等；(2)內錯角相等；(3)同側內角互 補，三者其中一個成立，則此兩直線平行。

若兩條平行線被截線所截時，形成的八個角，角度只有兩種，如圖所示。

A 

B 

C 

L1

L2 

1 

2 

L  A 

B 

C 

L1

L2  3 

4  1 

2 

A 

B 

C 

L

1

L

2  1 

2 

L  A 

B 

C 

L1

L2  3 

4  1 

2 

1  L 

M  2 

3  4 

A 

B 

C 

D 

A  L 

M  B  N 

D  3  C  4 

5  6 

1 

平行線性質的應用：對於平行線，除了常用平行線性質：(1)同位角相等；(2)內錯角相等；

(3)同側內角互補，我們將介紹幾個相關延伸性質。

1. 若 L ₁  // L ₂ ，則∠ABC＝∠1＋∠2

【證明】過 B 點作 L 平行 L ₁ ，

∵L ₁  // L ₂  ∴ L // L ₂

Þ ∠1 ＝∠3，∠2＝∠4 (內錯角相等) 故∠ABC＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2。

2. 若 L ₁  // L ₂ ，則∠1＋∠ABC＋∠2＝360 ⁰ 

【證明】過 B 點作 L 平行 L ₁ ，

∵L ₁  // L ₂  ∴ L // L ₂ Þ ∠1 ＋∠3＝180 ⁰ ，

∠2 ＋∠4＝180 ⁰ （同側內角互補）

故∠1＋∠ABC＋∠2＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360 ⁰ 

3. 如右圖，若 L // M，則∠1＋∠3＝∠2＋∠4。

【證明】過 B 點作 N 平行 L，

∵L // M ∴ N // M Þ ∠1 ＝∠5，

∠3＝∠4 ＋∠6

故∠1＋∠3＝∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠4

L 

V 

A 

B  H  C 

A ^' 

L 

V 

A 

B  C 

A ^' 

A 

B  C 

1 

D  2  E 

4.平行線上的三角形面積（同底等高的概念）

當 A 點在 L 上移動時…

D

ABC 的形狀會隨之改變，但是

D

ABC 的面積是不變的。

說明： 

D ABC

的底永遠是 BC （同底） 

ABC

D

的高 AH 是定值（等高）（ AH 即為平行線

L

、

V 

的距離）

那假設 L 與 V 不平行的話，如下圖:

當 A 點在 L 上移動時…

D

ABC 的形狀會隨之改變，則

D

ABC 的面積會隨著高度不同 而改變。

說明: 

D ABC

的底永遠是 BC （同底） 

ABC

D

的高會隨著 L、V 之間的距離不同而改變，所以面積也會跟著改變。 

ABC

D

面積 ñ D 

A

^' 

BC

面積

5.利用平行線性質證明三角形內角和＝180 ⁰  如圖，試證明∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180 ⁰ 

【證明】過 A 點作直線 L 平行 BC 

∵∠ABC＝∠1；∠ACB＝∠2 （內錯角相等）

∴△ABC 內角和＝∠ACB＋∠ABC＋∠BAC 

＝∠2＋∠1＋∠BAC＝180 ⁰  6.利用平行線性質證明外角定理

如圖，試證明∠1＝∠ABC＋∠BAC 

【證明】 過 A 點作直線 DE // BC 

∵∠ABC＝∠2（內錯角相等）

∴∠1＝∠DAC 

＝∠2＋∠BAC 

＝∠ABC＋∠BAC 

A  L 

B  C 

1  2

L 

M 

130 ⁰  x ⁰  125 ⁰ 

A 

C  B  D 

E 

D' 

1  L 

M  76 ⁰ 

43 ⁰  A 

B 

C 

D  45 ⁰ 

1  2  45 

⁰ 

35 

⁰ 

L 

M 

A  B 

C  D 

E 

G 

F  H 

I 

【範例】如圖，若 L // M，求∠1＝？∠2＝？

【解說】∠1＝35 ⁰ （內錯角相等）

∠2＝35 ⁰ ＋45 ⁰ ＝80 ⁰ 

【範例】如圖，若 L // M，求 x＝？

【解說】130 ⁰ ＋x＋125 ⁰ ＝360 ⁰ 

∴x＝105 ⁰ 

【範例】如圖，若 L // M，求∠1＝？

【解說】∠1＋76 ⁰ ＝45 ⁰ ＋43 ⁰ 

∴∠1＝12 ⁰ 

【範例】如附圖，長方形 ABCD 中，沿 AC 摺疊，D 點 落在 D＇點上，若∠DAC＝25 ⁰ ，則：

(1) ∠ACD＝？ (2) ∠AEB＝？  (3) ∠ECD＝？

【解說】(1) △ADC 中，∠DAC＝25 ⁰ ，∠D＝90 ⁰ 

∴∠ACD＝180 ⁰ －25 ⁰ －90 ⁰ ＝65 ⁰ ＝∠ACD＇

(2) ∵∠DAC＝∠D’AC＝25 ⁰ 

∴∠DAE＝∠DAC＋∠D’AC＝50 ⁰ 

∴∠DAE＝∠AEB＝50 ⁰ （內錯角相等）

(3) ∵∠ACE＝∠DAC＝25 ⁰ （內錯角相等）

∴∠ECD’＝∠ACD’－∠ACE＝65 ⁰ －25 ⁰ ＝40 ⁰ 

【範例】如附圖，AB  //CD  ，且正五邊形 EFGHI 的 頂點 H、F 分別在 AB  、CD  上，又∠GFD 的 度數是∠EFC 的 3 倍，求：(1) ∠GFD =？

(2) ∠AHI  =？

【解說】(1) 正五邊形一內角＝ 

5  180  )  2  5 

(  - ´ ⁰

＝108 ⁰  設∠EFC  ＝x ⁰  ∴∠GFD  ＝3x ⁰

Þ x ⁰ ＋108 ⁰ ＋3x ⁰ ＝180 ⁰ ，x ⁰ ＝18 ⁰  故∠GFD  ＝ 18 ⁰ ×3 ＝54 ⁰ 

(2) ∵AB  //CD  ∴∠HGF =∠BHG +∠GFD 

∴ 108 ⁰  ＝∠BHG  ＋  54 ⁰ ，∠BHG  ＝ 54 ⁰ 

∴∠AHI  ＝ 180 ⁰ －54 ⁰ －108 ⁰ ＝18 ⁰

L1 

L2 

A  B 

C  3 

1 

2 4

L 

M  A 

2 

1  P 

【範例】如附圖，有一條光線 L1經過兩個互相垂直 的平面鏡反射後，反射光線為 L₂，那麼 L¹ 和 L2 是否平行？為什麼？

【解說】∠ABC  ＝ 90 ⁰ Þ ∠1 ＋ ∠2=90 ⁰ ， 又∠1 ＝∠3，∠2 ＝∠4，

所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4＝180 ⁰ （同側內角互補）

，故 L₁ // L₂。

【範例】若 L // M  ，選出面積相同的圖形

【解說】甲面積：甲= 

2 

1

´ 4 ´ H=2H  乙面積：乙=3H 

丙面積：丙=2H  丁面積：丁= 

2 

1

´ 4 ´ H=2H 

戊面積：戊= 

2 

1

´ (3+1) ´ H=2H 

【範例】如圖，已知 L // M，若∠1＝40 ⁰ 、∠2＝70 ⁰ 、

∠A＝25 ⁰ ，則∠P＝______度。

【解說】∠P＝∠1 ＋∠2 －∠A

＝110 ⁰  － 25 ⁰ 

＝ 85 ⁰ 

【範例】如圖，已知 L//M，請問：

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等於_________度。

【解說】作 

L  、 

₁ 

L  、 

₂ 

L  平行

₃ 

L 

∵

L

// 

L 

₁  ∴∠1＝∠a (同位角相等)

∵ 

L  // 

₁ 

L 

₂  ∴∠a＋∠2＝∠b (同位角相等)

∵ 

L  // 

₂ 

L 

₃  ∴∠b＋∠3＝∠c (同位角相等) 則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5

＝∠a+∠2+∠3+∠4+∠5

＝∠b+∠3+∠4+∠5

＝∠c+∠4+∠5＝180 ⁰ 

甲 乙 丙 丁 戊 H 

L 

M 

L 

M  1 

2  3 

4  5 

2 3 4

5

L

M a

b

c

1

L

1

L

2

L

3

【範例】如附圖，已知

AB

//

DE 

，若∠1 ＝ 80 ⁰ ，

∠2 ＝ 40 ⁰ ， 則∠3 ＝______。

【解說】作

¾  ¾®

_AB  與

¬  ¾¾

_ED 

∵

AB

//

DE 

∴∠1 ＝∠4 ＝ 80 ⁰ (內錯角相等)

∴∠5＝180 ⁰ －∠4＝180 ⁰ －80 ⁰ ＝100 ⁰ 

∠3 ＝∠2＋∠5＝40 ⁰ ＋100 ⁰ ＝140 ⁰ 

【範例一】 【練習一】

如圖，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的截線，求：

(1) ∠1＝_____度，∠1 的內錯角是___，其 度數是_____度。

(2) ∠2＝_____度，∠3 的同位角是___，其 度數是_____度。

解答:

∠1＝180 ⁰ -150 ⁰ ＝30 ⁰ 

∠1 的內錯角是∠5＝95 ⁰ 

∠2＝150 ⁰ ，∠3 的同位角是∠5＝95 ⁰ 

如圖，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的截線，設∠1＝50 ⁰ 求：

(1)∠3 的內錯角是___，其度數是_____度。

∠3 的同側內角是___，其度數是____度。

(2)∠5 的同位角是___，其度數是_____度。

(3) ∠4 的鄰角是______，其度數是____度。

(4) ∠6 的對頂角是___，其度數是_____度。

解答:

∠3 的內錯角是∠6＝180 ⁰ －50 ⁰ ＝130 ⁰ 

∠3 的同側內角是＝∠5＝50 ⁰ 

∠5 的同位角是∠1＝50 ⁰ 

∠4 的鄰角是∠2 或∠3＝130 ⁰ 

∠6 的對頂角是∠7＝180 ⁰ －50 ⁰ ＝130 ⁰ 

【範例二】 【練習二】

如圖，L ₁  // L ₂ ，求∠ABC＝？

解答:

∠ABC＝180 ⁰ －150 ⁰ ＋40 ⁰ ＝70 ⁰ 

如圖，已知 L // M，則∠1＋∠2＝？

解答:

∠1＝112 ⁰ -57 ⁰ ＝55 ⁰ 

L

1 

L

2 

L  1  2  4  3 

6  5  8  7 

A  B 

C 

D 

E  1 

2  3 

A  B 

C 

D  E 

1 

2  3 

4  5 

2  1  3 

5 4  6  150 ⁰ 

95 ⁰  L1 

L2 

L 

L1 

L2 

A 

B 

C  150 ⁰ 

40 ⁰ 

1 

112 ⁰ 

57 ⁰ 

43 ⁰ 

150 ⁰  2 

L 

M

45 ⁰ 

1 

2 

3  4 

60 ⁰  L 

M 

【範例三】 【練習三】

如圖，L // M，∠1：∠2 ＝ 4：5，且

∠3 ＝ 99 ⁰ ，則∠1 ＝？

解答:

（1）∠ABC＝180 ⁰ －150 ⁰ ＋40 ⁰ ＝70 ⁰ 

（2）設∠1＝4x ⁰ ，∠2＝5x ⁰ 

∠3＝∠1＋∠2＝4x ⁰ ＋5x ⁰ ＝99 ⁰ Þ x＝11

Þ ∠1＝4x ⁰ ＝44 ⁰ 

如圖，已知 L // M，若∠1＝( 7x＋1) ⁰ 

，∠2 = ( 3x＋8 ) ⁰ ，則∠1＋∠4＝？

解答:

（1）∠1＝112 ⁰ -57 ⁰ ＝55 ⁰ 

∠2＝180 ⁰ －150 ⁰ ＋43 ⁰ ＝73 ⁰ 

∠1＋∠2＝55 ⁰ ＋73 ⁰ ＝128 ⁰ 

（2）∠1 ＝∠2 + 45 ⁰

Þ 7x + 1 ＝ 3x + 8 + 45

∴x ＝ 13

∴∠1 ＝ 92 ⁰ ，∠2 ＝ 47 ⁰ ＝∠3

∴∠4 ＝ 73 ⁰ 

∴∠1＋∠4＝165 ⁰ 

【範例四】 【練習四】

如圖，L¹ // L²，若∠1 = 100 ⁰ ，∠2 = 150 ⁰ 

，則∠3 =？

解答:

∵∠1 +∠2 +∠3 =360 ⁰ Þ ∠3＝360 ⁰ －∠1 －∠2

＝360 ⁰ －100 ⁰ －150 ⁰  ＝110 ⁰ 

如圖，AE //DF ，∠A +∠B +∠C +∠D =？

解答:

∠A +∠B +∠C +∠D =3×180 ⁰ ＝540 ⁰ 

【範例五】 【練習五】

如圖，L // M，若∠1 ＝ 12 ⁰ 、∠2 = 33 ⁰ 、

∠3 = 95 ⁰ ，則∠4 ＝？

解答:

∠1＋∠3＝∠2＋∠4 Þ 12 ⁰ ＋95 ⁰ ＝33 ⁰ ＋∠4 Þ ∠4＝107 ⁰ -33 ⁰ ＝74 ⁰ 

如圖，L1 // L2，求∠1 的度數。

解答：作 L³ // L¹ // L⁴ // L²， 所以∠2 ＝ 20 ⁰ ，

∠3 ＝ 110 ⁰  － 20 ⁰  ＝ 90 ⁰ ，

∠4 ＝ 180 ⁰  － 90 ⁰  ＝ 90 ⁰ ，

∠5 ＝ 40 ⁰ ，

∴∠1＝∠4 +∠5＝ 90 ⁰ ＋40 ⁰ ＝130 ⁰ 

L1 

L2 

A 

B 

C  1 

2  3 

L1 

L2 

1 

2  3 

A  B 

C 

D 

E 

F 

L 

M 

1  2 

3 

4 

L1 

L2 

20 ⁰  110 ⁰ 

1  40 ⁰

A 

B  C 

D  1  2  E 

【範例六】 【練習六】

(1)如圖，已知 AB // DE ，若∠1 = 80 ⁰ ，

∠2 = 40 ⁰ ，則∠3 =______。

(2) 如圖，∠1 ＝∠A，且 10∠1 ＝ 5∠B ＝ 2∠C＝則∠B＝______度。

解答:

(1)∵∠3 ＝∠2 + ( 180 ⁰ –∠1)

＝ 40 ⁰  + 100 ⁰ 

＝ 140 ⁰ 

(2)10∠1 ＝ 5∠B ＝ 2∠C Þ 10∠A ＝ 5∠B ＝ 2∠C Þ ∠A :∠B :∠C＝1:2:5

∵∠A ＋∠B ＋∠C＝180 ⁰ 

∠B ＝ 

² 

8 

×180 ⁰ ＝45 ⁰ 

(1) 如圖，已知 L // M，四邊形 ABCD 為正 方形，若∠1＝150 ⁰ ，則∠2＝？

(2) 如圖，∠1 ＝15 ⁰ ，∠2 ＝50 ⁰ ，則當

∠3＝？時 

AD //  EF 

。

解答:

(1)∠1＝∠4＋∠A＝∠4＋90 ⁰ Þ ∠4＝∠1－90 ⁰ 

＝150 ⁰ －90 ⁰ 

＝60 ⁰ ＝∠3

∠2＝∠ABC－∠3

＝90 ⁰ －60 ⁰ ＝30 ⁰ 

(2)若 

AD // EF 

Þ ∠3＋∠4＝180 ⁰ 

∵∠4＝∠1＋∠2＝15 ⁰ ＋50 ⁰ ＝65 ⁰ 

∠3＝180 ⁰ －∠4＝180 ⁰ －65 ⁰ ＝115 ⁰ 

【範例七】 【練習七】

如圖，L // M，

ABCD

為正方形，求 

Ð 1

。

解答:

∠ABC＝x ⁰ ＋2x ⁰ ＝90 ⁰ Þ x＝30

∠ADB＝45 ⁰ ＝∠1＋（180 ⁰ －90 ⁰ －2×30 ⁰ ） Þ ∠1＝45 ⁰ －30 ⁰ ＝15 ⁰ 

如圖，L // M，

ABCD

為正方形，求 

Ð 1

解答:

∠ABC＝3x ⁰ ＋2x ⁰ ＝90 ⁰ Þ x＝18

∠ADB＝45 ⁰ ＝∠1＋（180 ⁰ －90 ⁰ －3×18 ⁰ ）

∠1＝45 ⁰ －36 ⁰ ＝9 ⁰ 

A  B 

C 

D  E 

1 

3  2 

A 

B 

C 

D  1 

2 

L 

M 

A 

B  C 

D 

E 

F  1 

2  4  3 

A 

B 

C  D 

L 

M 

1  2x 

x 

A 

B 

C  D 

L 

M 

1  3x 

2x

【範例八】 【練習八】

如圖，U//V，

ABCDE

為正五邊形，求 y ⁰ 

解答:

∠ABC＝ 

5  )  2  5  ( -

×180 ⁰ ＝108 ⁰ ＝4x ⁰ ＋5x ⁰ Þ x＝12

4x＋y＋108 ⁰ ＝180 ⁰ 

y＝180 ⁰ －108 ⁰ －48 ⁰ ＝24 ⁰ 

如圖，U//V，

ABCDE

為正五邊形，求 y ⁰ 

解答:

∠ABC＝ 

5  )  2  5  ( -

×180 ⁰ ＝108 ⁰ ＝7x ⁰ ＋5x ⁰ Þ x＝9

5x＋y＋108 ⁰ ＝180 ⁰ 

y＝180 ⁰ －108 ⁰ －45 ⁰ ＝27 ⁰ 

【範例九】 【練習九】

如圖，若 L//M，求∠1。

解答:

∠2＝78 ⁰ －31 ⁰ ＝47 ⁰ 

∠2＋∠1＋62＝180 ⁰ 

∴∠1＝180 ⁰ －∠2－62 ⁰ ＝71 ⁰ 

如圖，若 L//M，求∠1。

解答:

∠1＝∠2＝25 ⁰ ＋41 ⁰ ＝66 ⁰ 

【範例十】 【練習十】

如圖，已知 AB // CD ，L 為截線， EP 平分

∠BEF， FP 平分∠EFD，試說明 EP 與 FP 之間 的關係。

如圖，已知 AB // CD ，L 為截線， EP 平分

∠BEF， FP 平分∠EFD，且∠BEF＝120 ⁰ ，試 問：(1) ∠1、∠2、∠3、∠4 各多少度?

(2)∠1＋∠3＝?

解答:

∠1＝∠2＝120 ⁰ ÷2＝60 ⁰ 

∠EFD＝180 ⁰ －60 ⁰ ＝120 ⁰ 

∴∠3＝∠4＝60 ⁰ 

∠1＋∠3＝120 ⁰ 

A 

B 

C 

D  E  4x 

5x 

y  U 

V 

A 

B 

C 

D  E  5x 

7x 

y  U 

V 

L 

1  M  78 ^O 

62 ^O  31 ^O 

L 

1  M  78 ^O 

62 ^O  31 ^O 

2 

L 

M  A 

B  C 

D  41 ^O  25 ^O 

1 

L 

M  A 

B  C 

D  41 ^O  25 ^O 

1  2 

B 

D  A

C 

E 

P 

F 

L 

B 

D  A

C 

E 

P 

F 

L  1  2 

3  4