問題徵答

問題徵答

黃光明 提供

令 N 為平面上 n 點的集合。

令 P 為將 N 分為 p 不相交子集, P1, . . . , P_p 的一個剖分, ^Sp

i=1

p_i = N。

令 C(Pi) 為 Pi 的凸包。 如果對任何 i, j, C(Pi)^TC(Pi) = ∅, 則稱 P 為 一良性剖分 (反之則為惡性)。

設 F 為滿足下一條件之剖分集合 (N 給定): 若 P ∈ F 為一惡性剖分, 則 F 中必含另一剖分 P^′ 與 P 僅異於 兩子集 P_i, P_j (即 P^′ 將 P_i^SP_j 重分 為 P_i^′, P_j^′) 使得 C(Pi)^TC(Pj) 6= ∅ 變為 C(P_i^′)^TC(P_j^′) = ∅。 下圖中顯示 將 P2, P3 重排成 P2^′, P3^′。

P :

1 2

3 4

5

6

7

8

P1= {1, 3}, P²= {2, 7, 8}, P³= {4, 5, 6}

P^′ :

P1^′= {1, 3}, P2^′= {2, 4, 5}, P3^′= {6, 7, 8}

試證, 或舉出反例, F 中必含一良性剖 分。

提示: 1. 如果有一非負剖分函數 f (P ), 譬如 f (P ) 為 C(Pi) 面積之和, 使 得在上述 P 到 P^′ 的變換中 f (P ) 恆大於 f (P^′), 則因 F 為有一限集 合, 在有限多次的變換後 f (P ) 即不 能再下降, 此時的 P 必為良性。

2. 變換時 Pi 與 P_i^′ 含同樣多點並 不重要。 如果在文首 P 不限定含 「p」

子集, 則變換時也可容許將兩子集重 分為任意多不相交的子集。

∗ 給出正確解答者, 將被邀為一篇有關剖分 的文章的合作者。

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