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“C43N2” — 2019/6/5 — 17:42 — page 1 — #1
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本期專訪 Graham 教授。 他對 Ramsey 理論、 計算幾何、 準隨機性理論都有 基礎性重大貢獻, 數學修養豐富多元。 他以無窮的好奇心, 多方探索, 觸類旁通, 故 而博學多聞, 視野寬廣。 訪談涵蓋寬廣的議題, 他各有獨到的見解, 含藏歲月淬煉出 的深刻智慧。
訪談的核心議題是電腦與數學的互動。 如同徑賽記錄, 計算的極限不斷提升。
於今電腦輔助證明蔚然成風, 但那些證明是否可信賴? 是否如黑箱作業? 而到了 2099 年, 電腦是否真能寫出幾乎所有數學證明? 屆時數學家有何存在價值? 我們 或該思索 : 在人工智慧的自動化發展過程中, 是否有可能迸現出意識、 品味、 洞察 力? 若然, 其品味是否會與人類殊異?
丘成桐教授講述幾何學的發展 : 畢達哥拉斯開啟先河, 歐幾理得、 笛卡兒為 牛頓奠基, 高斯、 黎曼引領出張量分析及愛因斯坦的廣義相對論, 其後有規範場論、
Yang-Mills 理論、 弦論、 Calabi-Yau 空間, 而今幾何在圖論及電腦科學廣被應用。
丘教授觀照全局, 精準評析, 並概述他與合作者近年來在電腦圖像方面的豐碩成果。
衡諸歷史, 幾何與物理相輔相成, 密不可分。 而今, 電腦科學與數學相互滋養, 我們不免好奇 : 資料科學是否會激發出新的數學? 人工智慧是否會幫我們解決懸 宕至今的數學難題?
本期轉載甫辭世的 Atiyah 教授 2014 年的訪談錄。 他善於敘事, 言語引人入 勝, 訪談中大篇幅討論數學與物理的互動, 細緻深刻。
Yang-Mills 理論於 1954 年提出。 1963 年 Atiyah-Singer 指標定理被提 出, 可用以計算出自對偶 Yang-Mills 方程解的模空間維數。 其後多年 Yang-Mills 理論進展停滯, 直到 1977 年 Atiyah-Hitchin-Singer 探討瞬子 (instantons) 的形變, 及 1978 年 Atiyah-Drinfield-Hitchin-Manin 建構瞬子來探討 Yang- Mills 方程的解, 才開啓數學家與物理學家之間的對話。 藉 Witten 等物理學家之 助, Atiyah-Singer 指標理論與量子場論、 弦論建立起重要聯繫。 其後, 物理洞察力 不時引導出重大數學定理, 諸如: 1982 年 Witten 連結了超對稱與無窮維 Morse 理論, 1983 年 Donaldson 以 Yang-Mills 探討四維流形的拓樸。 訪談錄回顧了這 段歷史。
考慮映射 fc : z 7→ z2+ c, 其中變數 z 和參數 c 為複數。 固定 c, 經 fc 迭 代而不會跑到複數平面上無限遠處的點 z, 形成 fc 的填充 (filled) 朱利亞集, 其邊 界為朱利亞集 Jc。而那些讓原點 0 經 fc 迭代而不會跑到無限遠的參數 c, 則形成 Mandelbrot 集 M。 參數 c 位於 M 之上, 若且唯若 fc 的朱利亞集為連通。 當參 數 c 從 M 的外部移動到 M 之上時, 不連通的朱利亞集 Jc 如何變為連通? 陳怡 全教授探討此問題, 並陳述他的最新研究成果。
梁惠禎 2019 年 6 月 1
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第 四 十 三 卷
第 二 期
有朋自遠方來一一
專訪 Ronald Graham 教授· · · · 3 幾何對現代科學的影響 · · · · 丘成桐 15 漫步科研 一一 康托朱利亞集之退化 · · · · 陳怡全 24
Muirhead 不等式 ( 齊次對稱不等式 )
三元之輪換形分割 (上) · · · 吳建生 27 Atiyah 爵士訪談錄 · · · · 35 抽籤的公平性 · · · · 周伯欣 49 Buffon 投針問題 · · · · 黃 越 55 解常係數線性微分方程和遞推關係的新方法 一一
秦九韶和亥維賽的遺產 · · · 林開亮 63 回響 : 托勒密定理的證明補充 · · · · 連威翔 80 文學與數學的一場對話 · · · · 張慈珊 · 李雪甄 84 兩個有趣的幾何不等式鏈 · · · · 趙忠華 94 圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質 · · · · 胡 穎 97
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