三角等式

三角等式

法蘭克老師

1 三角恆等式

在三角形ABC中，我們令三角形的三邊長分別為BC = a與AC = b與AB = c且令三角∠BAC = α與∠ABC = β與∠ACB = γ。 則三角形的內角與邊長有以下的關係：

cos α = b²+ c²− a² 2bc ， cos β = a²+ c²− b²

2ac ， cos γ = a²+ b²− c²

2bc 。 在解析幾何學中，我們把上述關係稱為餘弦定理。

今天我們希望使用餘弦定理來計算cos(α− β)。對任意的θ ∈ R而言，恆有cos(−θ) = cos(θ)。

我們不仿假設0 ≤ β < α < 2π。以原點為圓心以1為半徑作圓，在其上我們取相異兩點A = (cos α, sin α)與B = (cos β, sin β)。

1

利用餘弦定理我們可以推出

cos(α− β) =OA²+ OB²− AB²

2OA· OB 。 (1.0)

由於A, B在單位圓上，OA = OB = 1，又

AB²= (cos α− cos β)²+ (sin α− sin β)²

= (cos²α− 2 cos α cos β + cos²β) + (sin²α− 2 sin α sin β + sin²β)，

= (cos²α +sin²α) + (cos²β +sin²β)− 2(cos α cos β sin α sin β)，

= 2− 2(cos α cos β sin α sin β)。

將上式帶入(1)後，我們得出

cos(α− β) = cos α cos β + sin α sin β。

利用cos(−θ) = cos θ且sin(−θ) = − sin θ，我們可以立刻推出：

cos(α + β) = cos(α− (−β))

=cos α cos(−β) + sin α sin(−β)

=cos α cos β− sin α sin β。

利用cos(π/2− θ) = sin θ與sin(π/2 − θ) = cos θ我們可以推出：

sin(α + β) = cos(π

2 − (α + β))

=cos( (π

2 − α) − β)

=cos(π 2 − α)

cos β + sin(π 2 − α)

sin β

=sin α cos β + cos α sin β。

2

同理：

sin(α− β) = sin α cos β − cos α sin β。

所以我們得到了以下的恆等式：

cos(α∓ β) = cos α cos β ± sin α sin β sin(α± β) = sin α cos β ± cos α sin β。

我們可以利用上述四式推得：

cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cos α cos β cos(α + β)− cos(α − β) = −2 sin α sin β

sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sin α cos β sin(α + β)− sin(α − β) = 2 cos α sin β，

或是：

cos α cos β = cos(α + β) + cos(α− β) 2

sin α sin β =−cos(α + β)− cos(α − β) 2

sin α cos β = sin(α + β) + sin(α− β) 2

cos α sin β = sin(α + β)− sin(α − β)

2 。

令x = α + β且y = sin α− β。則α = (x + y)/2且β = (x − y)/2．於是上式可改寫為：

cos x + cos y = 2 cosx + y

2 cosx− y 2 cos x− cos y = −2 sinx + y

2 sinx− y 2 sin x + sin y = 2 sinx + y

2 cosx− y 2 sin x− sin y = 2 cosx + y

2 sinx− y 2 。

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