110 下高二數學 A 習作(ch4.3) 第 1 頁 翰林版 CJT
Ch 4.3 矩陣的應用 習作 二年_____班 座號：____ 姓名：
例題 1 轉移矩陣的判斷 下列哪些是轉移矩陣？
(A) 0.3 0.5 0.7 0.6
(B) 0.7 0.1 0.3 0.9
(C) 5 2 4 13
3 5 13 3
− −
− −
(D) 11 3 4 3 4 11 3 3
− −
− −
(E) 1.3 0.5 0.3 0.5
−
解：符合「每個元都介於 0 與 1 之間」及「每行之和都為 1」兩個條件的方陣可以是轉移矩陣 (A)X：每個元都介於 0 與 1 之間，但第二行之和 0.5＋0.6＝1.1 ≠ 1，故不是轉移矩陣 (B)○：每個元都介於 0 與 1 之間，且第一行與第二行之和都是 1，所以是轉移矩陣 (C)○：每個元都介於 0 與 1 之間，且第一行與第二行之和都是 1，所以是轉移矩陣 (D)X：雖然各行之和都是 1，但是有一個元 3－3＜0，所以不是轉移矩陣
(E)X：雖然各行之和都是 1，但是有一個元−0.3 < 0，所以不是轉移矩陣 故選(B)(C)
例題 2 轉移矩陣的應用
早餐店販賣漢堡與蛋餅，根據統計發現，購買漢堡的顧客第二天有 60 %的人繼續購買漢堡，其餘 40 %改買蛋餅；購買蛋 餅的顧客第二天有 30 %繼續購買蛋餅，其餘 70 %則改買漢堡。已知星期一購買漢堡與蛋餅的顧客各占 50 %，假設這些 顧客會繼續來購買早餐，試求：
(1)此早餐店顧客購買漢堡與蛋餅變化情形的轉移矩陣 (2)星期三(兩天後)購買漢堡與蛋餅的比例
解：(1)轉移矩陣為
(2)將星期一購買漢堡與蛋餅的比例用機率向量表示 X0＝ 0.5 0.5
則星期二為 X1＝AX0＝ 0.6 0.7 0.5 0.65
0.4 0.3 0.5 0.35
=
星期三為 X2＝AX1＝ 0.6 0.7 0.65 0.635 0.4 0.3 0.35 0.365
=
得知星期三有 63.5 % 購買漢堡，36.5 % 購買蛋餅
例題 3 轉移矩陣、乘法反方陣的相關問題
已知 A＝
0.4 a b
c
為一轉移矩陣且乘法反方陣不存在，試求序組(a，b，c) 解：∵ A 為轉移矩陣，∴ a＋0.4＝1，b＋c＝1，得 a＝0.6
又 A 的乘法反方陣不存在，所以 det A＝0，即 0.6 0.4 0
b
c = ，則 0.6c＝0.4b，移項得 2 c=3b 代入 b＋c＝1，得5
3b=1，因此 b＝0.6，c＝0.4，故得序組(a，b，c)＝(0.6，0.6，0.4) A＝ 0.6 0.7
0.4 0.3
漢堡 蛋餅 漢堡 蛋餅
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例題 4 線性變換矩陣
(1)已知線性變換矩陣 A 將 1 0
變換到 2 3
， 0 1
變換到 1 2
−
，若矩陣 A 點 P(2，3)變換到 P′，試求點 P′坐標 (2)已知線性變換矩陣 B 將點 P(−1，1)變換到點 P′(2，3)，將點 Q(2，1)變換到點 Q′(5，9)，試求矩陣 B
解：(1)由已知 A＝ 2 1 3 2
−
， 2 2 1 2 1
3 3 2 3 12
A −
= =
，點 P'坐標為(1，12) (2)由題意，B 1 2 2 5
1 1 3 9
−
=
，
∴B＝
2 5 1 2 1
3 9 1 1
− −
＝ 2 5 1 1 2
3 9 3 1 1
−
− − −
＝
2 5 1 2
1
3 9 1 1
3
−
− −
− ＝ 1 3 9 1 3
6 15 2 5
3
− −
− − =
−
例題 5 線性變換的點坐標與面積比
(1)在平面上定義變換矩陣 A＝ 2 5 3 8
，則：
① 矩陣 A 把 P(−4，2)變換到 P′，試求 P′點坐標
② 矩陣 A 把 Q 變換到 Q′(1，2)，試求 Q 點坐標
(2)已知平面上三點 P(1，2)，Q(3，−1)，R(0，4)，若 P、Q、R 三點經過 A＝ 3 2 2 2
線性變換後，得到 P'、Q'、R′三點，
試求 P Q
v
′ ′與 P R
v
′ ′所張出的平行四邊形面積
解：(1)① 2 5 4 2
3 8 2 4
X Y
−
= =
，故 P′點坐標為(2，4)
②detA＝16－15＝1，得 A−1＝1 8 5 8 5
3 2 3 2
1
− −
− =−
設 Q 點坐標為(x，y)，則 1 2 A x
y
=
，∴ 1 1 8 5 1 2
2 3 2 2 1
x A y
− − −
= = =
−
故 Q 點坐標為(−2，1)
(2)PQ
v
＝(2，−3)，PR
v
＝(−1，2)，∴PQ
v
、PR
v
所張出的平行四邊形面積為 2 1
4 3 1 3 2
− = − =
│− │
又 3 2
det 2
2 2
A =│ │= ，故所求面積為 1×2＝2
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例題 6 伸縮變換與伸縮矩陣
設 A＝ 2 0 0 3
，坐標平面上三點 O(0，0)，P(3，−2)，Q(1，1)經由 A 線性變換至 O'、P'、Q' 三點，試求：
(1) O'、P'、Q' 三點的坐標 (2) △O'P'Q' 面積
(3) △OPQ 面積 (4) △O'P'Q' 與△OPQ 面積的比值
解：(1) O' 點坐標為 2 0 0 0
0 3 0 0
=
，P' 點坐標為 2 0 3 6
0 3 2 6
− =−
，Q' 點坐標為 2 0 1 2
0 3 1 3
=
故 O' 點坐標為(0，0)，P' 點坐標為(6，−6)，Q' 點坐標為(2，3)
(2)O P
v
′ ′＝(6，−6)，O Q
v
′ ′＝(2，3)，△O'P'Q' 面積為1 6 2 6 3 15
2 =
│− │
(3)OP
v
＝(3，−2)，OQ
v
＝(1，1)，△OPQ 面積為1 3 1 5 2 1
2 = 2
│− │
(4) △O'P'Q' 面積與△OPQ 面積比值為15 5 6 2
=
例題 7 鏡射變換
已知直線 L 方程式 x－y－1＝0，則：
(1)在直線 L 上取兩點 A(4，3)，B(－1，－2)，試求 A、B 對 x 軸作鏡射後的點 A'、B' 的坐標 (2)直線 L 對 x 軸作鏡射後的圖形為直線 L'，試求 L' 的方程式
解：(1)由題目知 θ＝0°，鏡射矩陣為 cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos 0 0 1
° °
° − °= −
A' 點坐標為 1 0 4 4
0 1 3 3
− =−
，B' 點坐標為 1 0 1 1
0 1 2 2
− −
− − =
故 A' 點坐標為(4，－3)，B' 點坐標為(－1，2)
(2)直線 L' 即A B
wv
′ ′， 2 ( 3)
3 ( 4 )
y+ = − −1 4 x−
− − ，整理得 x＋y－1＝0
例題 8 旋轉變換
如右圖，坐標平面上有一個中心在原點 O 的正八邊形 ABCDEFGH，已知 A 點坐標為(4，2)，試求：
(1) B 點坐標 (2) E 點坐標 解：(1)將 A 點旋轉 45°恰與 B 點重合，
B 點坐標為 cos 45 sin 45 4 sin 45 cos 45 2
° − °
° °
＝
2 2
4 2
2 2
2 2 2 3 2
2 2
−
=
⇒B 點坐標為( 2，3 2)
(2)同理，E 點坐標為 cos180 sin180 4 1 0 4 4
sin180 cos180 2 0 1 2 2
° − ° − −
= =
° ° − −
故 E 點坐標為(−4，−2)
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例題 9 推移變換
設 A＝ 1 2 0 1
是一個 x 方向的推移矩陣，已知 O(0，0)、P(1，0)、Q(1，3)、R(0，3)四點，將此四點經由推移矩陣 A 變 換得 O'、P'、Q'、R' 四點，試求：
(1) O'，P'，Q'，R' 四點的坐標
(2)計算原四邊形面積與變換後的四邊形面積
解：(1) O' 點坐標為 1 2 0 0
0 1 0 0
=
，P' 點坐標為 1 2 1 1
0 1 0 0
=
Q' 點坐標為 1 2 1 7
0 1 3 3
=
，R' 點坐標為 1 2 0 6
0 1 3 3
=
故 O' 點坐標為(0，0)，P' 點坐標為(1，0)，Q' 點坐標為(7，3)，R' 點坐標為(6，3) (2)將 O，P，Q，R，O'，P'，Q'，R' 標示在平面坐標點上，如右圖
顯然原四邊形 OPQR 面積為 1×3＝3，變換後的四邊形 O'P'Q'R' 面積為 1×3＝3
例題 10 綜合變換
定義坐標平面上點(x，y)變換為
2 2
1 0 2 2
0 2 2 2
2 2
x y
=
−
。試求：
(1)點(x，y)經過哪些變換？
(2)點(2，4)經過變換以後的新坐標
解：(1)設
2 2
cos sin
2 2
sin cos
2 2
2 2
θ θ
θ θ
−
=
−
，得 cosθ＝ 2
2 ，sinθ＝ 2
− 2 ，∴θ＝−45°，
此為順時針 45°的旋轉矩陣 1 0 0 2
為伸縮矩陣，x 坐標不變，y 坐標變為 2 倍
⇒知本題的變換是將點(x，y)先順時針旋轉 45°，再將新的 y 坐標伸縮為 2 倍
(2)
2 2
1 0 2 2 2 1 0 3 2 3 2
0 2 2 2 4 0 2 2 2 2
2 2
= =
−
故點(2，4)經過變換後的坐標為(3 2，2 2)
