（ ）如右圖，直線 L 與 垂直於 A 點，且
＝ 10 。以 O 為圓心， r 為半徑作一圓
，請問當 r 為下列哪一個值時
，可使 L
為此圓的割線？
(A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 13 OA
OA D
當 L 為圓 O 的割線時，則半徑
＞ L 與圓心 O 的距離，∴ r ＞ ＝ 10 ，故答案為 (D)
OA
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（ ）圓 O
1及圓 O
2的半徑分別為 2 公分、 4 公分，若 ＝ 7 公分，則下列哪 一個圖可以表示圓 O
1及圓 O
2的位置 關係？
(A) (B)(C) (D)
∵ 圓 O
1的半徑長＋圓 O
2的半徑長＝ 2 ＋ 4 ＝ 6
＜ 7 ，
∴ 圓 O
1與圓 O
2是外離，故答案為 (C) C
2 1
O O
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（ ）如右圖， 為圓 O 直徑， P 、 Q 、 R 、
S 為圓上相異四點，則下列敘述何者 正確？
(A)∠APB 為銳角 (B)∠AQB 為直 角
(C)∠ARB 為鈍角 (D)∠ASB ＜∠
ARB
AB
∵ 半圓所對的圓周角皆為直角，
∴∠APB ＝∠ AQB ＝∠ ARB
＝∠ ASB ＝ 90
° 。 B
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如右圖，兩個同心圓，其中小圓為池塘，
綠色圓環為草坪，如果用一根長 10 公尺的 棍子 作為大圓的一弦，剛好與小圓 相切，試求圓環草坪的面積。
AB
又△ OAM 為直角三角形，根據勾股定理 可知 R
2－ r
2＝ 5
2故圓環草坪面積
＝ πR
2－ πr
2＝ π （ R
2－ r
2）
＝ π ． 5
2＝ 25π （平方公尺）。
設大圓的半徑長為 R ，小圓的半徑長為 r ，
∵ 為大圓的一弦，且與小圓相切於 M 點，
∴ ＝ r ， ＝ R ， ＝ 10÷2
＝ 5 AB
OM OA OM
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如右圖， 切圓 O 於 P 點，
＝ 4 ， ＝ ，試求綠色部分 的面積。
AP AP AO
2 4
45
4 4
) 2 4
(
2 2
2 2
AOP AOP
AP AP
OA OP
AP OP
O P
OP
，
，
，
是等腰直角三角形
根據勾股定理可知 為圓 的切點 因為
連接
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2
8 4 4 4 360 45
2 1 360 45
2 1
2
2
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧
‧ OP AP OP OQP
AOP 的面積 扇形 的面積 故綠色部分的面積
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如右圖，△ ABC 的三邊分別與圓 O 切於 P 、 Q 、 R 三點，若 ＝ 3 ， ＝ 4 ， ＝ 2 ，試求△ ABC 的三邊長。
AP BQ CR
2
4
3
CR CP
BQ BR
AP
AQ ， ，
線段等長」的性質可知 設由「圓外一點到圓的 兩切
5 6 5 7
2 3
6 2
4
7 4
3
、
、 三邊的長分別為
故 ABC AC AP CP CR BR
BC
BQ AQ
AB
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如右圖， A 、 B 、 C 、 D 為圓上四點，且 、
交於圓外一點 P ， 、 交 於圓內 E 點
，已知 AD ＝ 100° ，∠ P ＝ 30° ，試求∠ C ED 。
AB
CD AC BD
⁀
∠P ＝ （ AD － BC ） 30° ＝ （ 100° － BC ） 60° ＝ 100° － BC
BC ＝ 40°
∠AED ＝ (AD ＋ BC) ＝ (100° ＋ 4 0°) ＝ 70°
∠CED ＝ 180° －∠ AED ＝ 180° － 70° ＝ 110°
1 2 1 2
1 2
2 1
⁀ ⁀
⁀
⁀
⁀ ⁀
⁀
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如右圖， 、 切圓 O 於 A 、 B 兩 點，若∠ P ＝ 70° ，試求∠ C 。 PA PB
∠P ＝ （ ACB － AB ） 70° ＝ （ 360° － AB － A B ）
140° ＝ 360° － 2AB AB ＝ 110°
∠C ＝ AB ＝ 55°
⁀ ⁀
1 2
1 2 ⁀ ⁀
⁀
⁀
2 ⁀
1
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∠CAB ＝ BC ＝ 45°
∠ABD ＝∠ C ＋∠ CAB
＝ 35° ＋ 45° ＝ 80°
∴ AD ＝ 2∠ABD ＝ 2 ． 80° ＝ 16 0° ，
故 ABD ＝ 360° － 160° ＝ 200° 。 1 2 ⁀
⁀
⁀
如右圖，兩圓交於 A 、 B 兩點。若 C 、 B
、 D 三點共線，且 BC ＝ 90° ，∠ C ＝ 35°
，試求 ABD 的度數。 ⁀
⁀
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如右圖， 、 切圓於 A 、 B 兩點，若∠ CBQ ＝ 25° ，∠ Q ＝ 40° ，試 求 AB 的度數與∠ BAC 。
PA QB
⁀
(1) ∠ACB ＝∠ CBQ ＋∠ Q ＝ 25° ＋ 40°
＝ 65°
AB ＝ 2∠ACB ＝ 2 ． 65° ＝ 130°
(2) ∠BAC ＝ BC ＝∠ CBQ ＝ 25° 1 2
⁀
⁀
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如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，
若∠ A ＝ 55° ，∠ P ＝ 25° ，試求∠ Q
∵ABCD 為圓內接四邊形，
∴∠A ＋∠ BCD ＝ 180°
∠BCD ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 55° ＝ 125°
∠PCQ ＝∠ BCD ＝ 125°
∠PCQ ＝∠ A ＋∠ P ＋∠ Q 125° ＝ 55° ＋ 25° ＋∠ Q
∠Q ＝ 45°
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如右圖， A 、 B 、 C 、 D 為圓上四點，且 、 交於 E 點，回答下列問題：
(1) 試證△ ACE ～△ DBE 。
(2) 若 ＝ 8 ， ＝ 3 ， ＝ 6 ， 試求 。
AB CD
AE BE CE DE
(1)△ACE 與△ DBE 中，
∠A ＝∠ D ＝ BC ， ∠AEC ＝∠ DEB( 對頂角 ) ∴△ACE∼△DBE （ AA 相 似）
(2)∵△ACE∼△DBE
∴ ： ＝
：
8 ： ＝ 6 ： 3 6 ＝ 24
＝ 4
AE DE CE BE DE
DE DE
2 ⁀
1
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如右圖，工匠在窗外邊想做一個圓弧型的花 臺，此花臺在窗口的中央往外伸出 72 公分
，窗口的寬度是 168 公分，試求此圓弧的圓
半徑。
在 上找一個 O ，連接 ，使得 ＝
∴O 為圓心， ＝ ＝ 84 。 設 ＝ x ， ＝ x － 72 ，
在△ BCO 中，∠ BCO ＝ 90° ，
∴
2＝
2＋
2x
2＝ 84
2＋（ x － 72 ）
2x
2＝ 7056 ＋ x
2－ 144x ＋ 5184 144x ＝ 12240
x ＝ 85 故此圓弧的圓半徑為 85 公分。
CD OB OD OB
AC BC
OB OC
OB BC OC
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如右圖， 、 交於 P 點，且分 別交圓於
A 、 B 與 C 、 D 四點，回答下列問題：
(1) 試證△ PAD ～△ PCB 。
(2) 若 ＝ 5 ， ＝ 3 ， ＝ 4 ，試求
AB CD
AB PA PC CD
(1)△PAD 與△ PCB 中，
∠B ＝∠ D ＝ AC ，∠ P ＝∠ P ∴△PAD∼△PCB （ AA 相似）
(2) ∵△PAD∼△PCB
∴ ： ＝ ： 3 ： 4 ＝（ ＋ 4 ）：（ 3
＋ 5 ）
4 （ ＋ 4 ）＝ 24
＋ 4 ＝ 6 ＝ 2
2 1 ⁀
PA PC PD PB CD
CD
CD CD
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