 與向量

(1)

數學

96 年學科能力測驗

班級：_________ ／座號：_________ ／姓名：_________

總分

第一部分﹕選擇題壹、單選題

說明﹕第1 至 5 題﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得 5 分﹐答錯不倒扣﹒

1. 1. 設 f(x)ax⁶ bx⁴ 3x 2，其中^a,^b為非零實數，則 f⁽⁵⁾ f⁽⁵⁾之值為 (1) 30 (2) 0 (3) 2 2 (4) 30 (5) 無法確定(與^a,^b有關)

2. 試問共有多少個正整數n使得坐標平面上通過點 ^A^{( n}^ ^,⁰⁾與點^B⁽⁰^,²⁾的直線亦通過點^P⁽⁷^,^k⁾，其中k為某一正整數？ (1) 2 個 (2) 4 個 (3) 6個 (4) 8個 (5) 無窮多個

3. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f(t)t²10t11，其中1 t10，則這段時間內該地區的最大溫差為 (1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36

4. 坐標平面上方程式 1 4 9

2 2  y 

x 的圖形與 ₁

3 4

) 1 (

2 2 2

2



  y

x 的圖形共有幾個交點？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 5. 關於坐標平面上函數^y ^^sin^x的圖形和

 10

y x 的圖形之交點個數，下列哪一個選項是正確的？

(1) 交點的個數是無窮多

(2) 交點的個數是奇數且大於20 (3) 交點的個數是奇數且小於20

(4) 交點的個數是偶數且大於或等於20 (5) 交點的個數是偶數且小於20

二、多選題

說明﹕第1 至 6 題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得 5 分﹐答錯不倒 扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲2.5 分﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

1. 若  zz|{^為複數且^|^z^ ^|1^ ^}1，則下列哪些點會落在圖形^^^{^w^|^w^^iz^,^z^^^}上?

(1) 2i (2) 2i (3) 1i (4) 1i (5) 1i

2. 坐標平面上有相異兩點 P 、^Q，其中 P 點坐標為^{( t}^s^, ⁾。已知線段^PQ的中垂線 L 的方程式為

0 4

3x y ，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 向量 P



Q ^與向量⁽³^,^⁴⁾^平行

(2) 線段^PQ的長度等於 5

| 8 6

| s t (3) ^Q點坐標為^{( s}^t^, ⁾

(4) 過^Q點與直線 L 平行之直線必過點⁽^^s^,^^t⁾

- 1 -

(2)

(5) 以O表示原點，則向量 O



P ^ ^O

^

^Q ^與向量 ^P

^

^Q ^{的內積必為}⁰

3. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

















1 1 0 0

2 1 1 0

7 3 2 1

？

(1)

















5 3 2 0

2 1 1 0

7 3 2 1

(2)



















0 7 1 3

0 1 1 1

0 1 3 1

(3)



















5 2 1 1

2 1 1 1

5 2 1 1

(4)



















1 2 2 2

0 1 1 1

6 3 1 2

(5)

















1 0 1 0

2 1 1 0

7 2 3 1

4. 坐標空間中，在 xy 平面上置有三個半徑為1的球兩兩相切，設其球心分別為^A^,^B^,^C。今將第四個半徑為1的球置於這三個球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。設第四個球的球 心為 P ，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 點^A^,^B^,^C所在的平面和 xy 平面平行 (2) 三角形ABC是一個正三角形

(3) 三角形 PAB 有一邊長為 2

(4) 點 P 到直線 AB 的距離為 ³ (5) 點 P 到 xy 平面的距離為¹^ ³

5. 設a為大於1的實數，考慮函數 ^f⁽^x⁾^^a^x與^g(^x)loga^x，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若 ^f⁽³⁾^⁶，則^g⁽³⁶⁾^⁶ (2) _f^f₍⁽₂₁₉²³⁸₎⁾ ^ _f^f⁽₍₁₉³⁸₎⁾

(3) ^g⁽²³⁸⁾^^g⁽²¹⁹⁾^ ^g⁽³⁸⁾^^g⁽¹⁹⁾

(4) 若^P,^Q為^y^^g^(x⁾的圖形上兩相異點，則直線^PQ之斜率必為正數 (5) 若直線^y ^⁵^x與^y^ ^f^(x⁾的圖形有兩個交點，則直線y x

5

1 與^y^ ^g^(x⁾ 的圖形也有兩個交點

6. 設 ^f^(x⁾為一實係數三次多項式且其最高次項係數為1，已知 ^f⁽¹⁾^¹^, ^f⁽²⁾^²^, 5

) 5 ( 

f ，則 ^f⁽^x⁾^⁰在下列哪些區間必定有實根？

(1) ^(^,⁰⁾ (2) ⁽⁰^,¹⁾ (3) ⁽¹^,²⁾ (4) ⁽²^,⁵⁾ (5) ⁽⁵^,^⁾

第二部分﹕選填題

說明﹕第1-9 題﹐每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

1. 設實數x滿足0 x1，且^log_x⁴^log2x¹，則x 　　　　　。(化成最簡分數) 2. 在坐標平面上的ABC中， P 為^BC邊之中點，^Q在AC 邊上且^AQ^²^QC。已知

)3 ,4

( A

P



^， ^P



^Q ^⁽ ^,1 ⁾⁵^，則 B



C



________________。

3. 在某項才藝競賽中，為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大，主辦單位規定：先將15位評

(3)

審給同一位參賽者的成績求得算術平均數，再將與平均數相差超過15分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參賽者所獲15位評審的平均成績為76分，

其中有三位評審給的成績92、45、55應剔除，則這個參賽者的比賽成績為_______________

分。

4. 某巨蛋球場 E 區共有25排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一排 (即第13排)，發現此排共有64個座位，則此球場 E 區共有________________________個座位。

5. 設^P^,^A^,^B為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中 P 點坐標為⁽¹^,⁰⁾， A 點坐標為

13) , 5 13 (12

，且APB為直角，則 B 點坐標為_______________，______________。(化成最簡 分數)

6. 某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有________種不同款式的「阿民」公仔。

7. 摸彩箱裝有若干編號為¹^,²^,^,¹⁰的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機摸取一球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為k時，

其所獲報酬同為k；乙案為當摸得彩球的號數為k 時，其所獲報酬為¹¹k⁽k ¹^,²^,^,¹⁰⁾。已知依甲案每摸取一球的期望值為

14

67 ，則依乙案每摸取一球的期望值為_________。(化成最簡分數)

8. 坐標平面上有一以點^V⁽⁰^,³⁾為頂點、F(0,6)為焦點的拋物線。設P(a,b)為此拋物線上一點，

) 0 , (a

Q 為 P 在x軸上的投影，滿足^^FPQ^⁶⁰^，則b ___________。

9. 在ABC中， M 為^BC邊之中點，若AB3，AC 5，且BAC 120，則tanBAM __

_____________。(化成最簡根式)

- 3 -

(4)

) 2 , 0 ( B

) 0 , ( n A 

) , 7 ( k P

答案

1. (4) 2. (2) 3. (4) 4. (1) 5. (3) 二、多選題

1. (1)(3)(5) 2. (1)(2)(4)(5) 3. (1)(5) 4. (1)(2)(4) 5. (1)(2)(4)(5) 6. (2)(4) 第二部分﹕選填題

1. 1

4 2. ^{( 1,12)}^ 3. 79 4. 1600 5. ⁾ 13 , 5 13 (12 

6. 25 7. 87

14 8. 12 9. 5 3

解析

1. ^f⁽⁵⁾^{ f}⁽^⁵⁾

) 2 ) 5 ( 3 ) 5 ( )

5 ( ( ) 2 5 3 5 5

(  ⁶   ⁴       ⁶    ⁴    

 a b a b

) 2 15 5 5

( ) 2 15 5 5

(  ⁶   ⁴     ⁶   ⁴  

 a b a b 15(15)  30

選(4)

2. 如圖，^A^{( n}^ ^,⁰⁾，^B⁽⁰^,²⁾，^P⁽⁷^,^k⁾三點共線，則m_BA m_PB

 7

2 2  k

n  14 2

k n

故正整數n只可能為¹^,²^,⁷^,¹⁴，能使得^k ^¹⁶^,⁹^,⁴^,³亦為正整數有 4 種可能

選(2)

3. ^f⁽^t⁾^^^t²^¹⁰^t^¹¹^^⁽^t^⁵⁾² ^³⁶，其中1 t10 當t 5時， ^f^(t⁾有最大值為36

當t 10時， ^f^(t⁾有最小值為11

故這段時間內該地區的最大溫差為361125 選(4)

4.

2 1

3 ²

2 2

2  y 

x 表中心在⁽⁰^,⁰⁾，長軸長6，短軸長 4 之橢圓

- 4 -

4 1 9

2 2  y  x

)0 ,3 )0, (

()1 0, 3 () 0, (5

(2,0) 1

3 4

) 1 (

2 2 2

2  

 y

x

(5)

) 0 , 1

( x

y

) 1 , 0 (

3 1 4

) 1 (

2 2 2

2  

 y

x 表中心在^(¹^,⁰⁾，貫軸長8，共軛軸長6之雙曲線如圖，可知兩圖形交於一點⁽³^,⁰⁾

選(1) 5.

如圖 10

y  x 過⁽⁰^,⁰⁾、⁽¹⁰^^,¹⁾及⁽^¹⁰^^,^¹⁾ 與^y ^^sin^x的圖形交點個數為19，是奇數且小於20 選(3)

二、多選題

1.  zz|{^為複數且^|^z^ ^|1^ ^}1^{的圖形表示圓心為}⁽¹^,⁰⁾^{，半徑為1的圓}

} ,

|

{  



 w w iz z 的圖形表示將^{的圖形旋轉}90後所得到的圖形即圓心為⁽⁰^,¹⁾，半徑為1的圓

故2i、1i、1i等點(與0i距離為1之點) 會落在圖形^^^{^w^|^w^^iz^,^z^^^}上

選(1)(3)(5) 2.

(1) 中垂線 L 的方程式為³^x^{ y}⁴ ^⁰，故法向量為⁽³^,^⁴⁾，故⁽³^,^⁴⁾與向量 P



Q ^平行

(2) 線段^PQ的長度等於 P 點到中垂線 L 的距離之兩倍，即 ² 5

| 4 3

| s t 

5

| 8 6

| s t

 (3) 點^{( s}^t^, ⁾與點^{( t}^s^, ⁾對稱於直線y  x

(4) 過 P 點與直線 L 平行之直線方程式為³^x^⁴^y^³^s^⁴^t 過^Q點與直線 L 平行之直線方程式為³^x^⁴^y^^³^s^⁴^t

- 5 -

) , ( ts

P x

y( st, )

0 4 3x y  Q

) ,

(s t O

) 1 , 10 (  )

1, 10

(  x

y

(6)

P

A

B G C

又³^x^⁴^y ^^³^s^⁴^t過點⁽^^s^,^^t⁾

(5) 向量 O



P ^ ^O

^

^Q 與直線 L 的方向向量平行，且與向量 P



Q ^{垂直，故與向量} Q

P



^{的內積必為}⁰

選(1)(2)(3)(5)

3. 將矩陣想成解x,y,z的方程組

















1 1 0 0

2 1 1 0

7 3 2 1

經過列運算後可得

















1 1 0 0

1 0 1 0

2 0 0 1

，表有唯一解⁽^x^,^y^,^z⁾^⁽²^,¹^,¹⁾

(1)

















5 3 2 0

2 1 1 0

7 3 2 1

















1 1 0 0

1 0 1 0

2 0 0 1

，表有唯一解⁽^x^,^y^,^z⁾^ ⁽²^,¹^,¹⁾

(2)



















0 7 1 3

0 1 1 1

0 1 3 1

表常數項皆為零的方程組，有⁽^x^,^y^,^z⁾^⁽⁰^,⁰^,⁰⁾之解

(3)



















5 2 1 1

2 1 1 1

5 2 1 1

表第一與第三個方程式相同的方程組，

又第二個方程式與第一個方程式的x,y,z係數不成比例，故有無限多組解 (4)



















1 2 2 2

0 1 1 1

6 3 1 2



















1 0 0 0

0 1 1 1

6 3 1 2

，表無解

(5)

















1 0 1 0

2 1 1 0

7 2 3 1

















1 1 0 0

1 0 1 0

2 0 0 1

，表有唯一解⁽^x^,^y^,^z⁾^⁽²^,¹^,¹⁾ 選(1)(5)

4. 前三個球的球心分別為^A^,^B^,^C ，

因球的半徑皆為1，故^P^,^A^,^B^,^C形成一個邊長為 2 的正四面體 (1) 因點^A^,^B^,^C位於平面z 1上，

故點^A^,^B^,^C所在的平面和 xy 平面(即z 0)平行 (2) 由上知，三角形ABC是一個正三角形

(3) 三角形 PAB 為邊長 2 的正三角形 (4) 設點 M 為AB中點，

故點 P 到直線 AB 的距離為PM  _PA²_AM²  2² 1² ^ ³

(5) 設點G為三角形ABC的重心，

故點 P 到 xy 平面的距離為 PB²BG² ² 3)² 3 (2 2 

 6

3

 2

(7)

選(1)(2)(4)

5. (1) 若^f⁽³⁾^⁶，即_a³ _₆3log_a 662log_a6log_a6² log_a36，則g⁽³⁶⁾⁶

(2) (219) ) 238 ( f f

219 238

a

 a  a^238²¹⁹a¹⁹  a^38¹⁹ ₁₉³⁸ a

 a

) 19 (

) 38 ( f

 f

(3) ^g⁽²³⁸⁾^^g⁽²¹⁹⁾ ^loga ²³⁸^loga²¹⁹

219 log_a 238



19 log_a 38

 log_a38log_a19  g(38)g(19)

(4) 因a為大於1的實數，故^g(^x)loga^x的圖形為遞增

故若^P,^Q為y g(x)的圖形上兩相異點，則直線^PQ之斜率必為正數

(5) 若直線^y^⁵^x與^y ^ ^f^(x⁾的圖形有兩個交點，

因直線^y^⁵^x與直線y x 5

1 對直線y  對稱x

且^y^ ^f^(x⁾的圖形與^y^^g^(x⁾的圖形也對直線y  對稱x 故直線^y ^x

5

1 與^y^^g^(x⁾的圖形也有兩個交點選(1)(2)(4)(5)

6. ^f^(x⁾為一實係數三次多項式，已知 f(1)1,f(2)2, f(5)5 故 f⁽x⁾ x ⁰必有¹^,²^,⁵等三根

可設 ^f⁽^x⁾^^x ^^a⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾⁽^x^⁵⁾ 又 ^f^(x⁾之最高次項係數為1，故a1 得 ^f⁽^x⁾^⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾⁽^x^⁵⁾^^x

x  0 1 2 3 5 

) (x

f －－ + + － + + 由 ^f⁽⁰⁾^f⁽¹⁾^⁰與 ^f⁽²⁾^f⁽³⁾^⁰

故⁽⁰^,¹⁾與⁽²^,³⁾之間都必定有實根即⁽⁰^,¹⁾與⁽²^,⁵⁾之間都必定有實根選(2)(4)

第二部分﹕選填題 1. 令t^logx²

由^log_x⁴^log2 x¹

- 7 -

x y log_a

P ^Q

x

y

(8)

) 0 , 1 (

P x

y

13) , 5 13 (12 A

B

^log ²²^_log¹ ₂ ^¹

x

x  ²^log ²^_log¹ ₂^¹

x

x  1 1

2   t t

 1 1 2  

t t  2t² t10 ⁽²^t ^¹⁾⁽^t^¹⁾ ^⁰ 

2

1



t 或1

2 2 1

log_x  或1

4

 1 x

或 2

但0 x1，故 4

 1 x 2.



C

B

 ²

^P



^C ^ ²⁽ ^P

^

^A ^ ^A

^

^C ⁾ ^ ²⁽ ^P

^

^A ^ ²³

^

^A^Q ⁾

)) 2(

( 3

2 P



A ^ P



Q ^ P



A



2 ) 3 2

( 1

2 ^ P



A ^ P



Q

 ^ ^ P



A ^³ P



Q ^^⁽⁴^,³⁾^³⁽¹^,⁵⁾ ^ ^(¹^,¹²⁾

3. 原先15位評審的總分為76151140分，又三位評審給的成績92、45、55應剔除所餘12 位評審的總分為7615924555948分

故12 位評審的平均為 ⁷⁹ 948 12 分

4. 第1排與第25排的座位總數為642128個第2 排與第 24 排的座位總數為642128個依此類推

第12 排與第14 排的座位總數為642128個又第13排有64個座位

故共有12812641600個座位

5. 圓為以原點為圓心的單位圓，又 APB 為直角得AB為直徑，且AB中點為原點

即 B 點坐標為 ⁾ 13 , 5 13 (12 

6. 若球衣為白色時，最多有133種方法

A

B ^C

Q

P

(9)

A B C

 120

3

5 M

若球衣為綠色時，最多有43111種方法(扣除紅色球帽配灰色球鞋) 若球衣為藍色時，最多有43111種方法(扣除紅色球帽配灰色球鞋) 故共有3111125種方法

7. 設k 號球有xk 個，k ¹^,²^,^,¹⁰

由甲案期望值為 14 67 ，得

14 67

10 1 10

1 





k k k

k

x k x

故乙案期望值為







10 1 10

1

) 11 (

k k k

k

x k x







 ₁₀

1 10

1

11

k k

k k k

k

x

k x x





 

 ₁₀

1 10

1

11

k k k

k

k k k

k

x k x x

x

14 1167

 14

 87

8.

以點^V⁽⁰^,³⁾為頂點、^F⁽⁰^,⁶⁾為焦點之準線為x軸令R(a,6)，又PQPF b且

60 2

cos b

b

PR  ，利用PQPRRQ

 6

2

b

b  b12 9. 利用坐標化方法

設^A⁽⁰^,⁰⁾，^B⁽³^,⁰⁾， ) 2

3 ,5 2 ( 5 ) 120 sin 5 , 120 cos 5

(    

C

 _{M 之坐標為}

4 ) 3 ,5 4 (1 2 )

2 3 0 5 2 ,

2) ( 5 3

(    

 5 3

4 0 1 4 0 3 5





 

mAM ， 0

0 3

0

0 



  mAB

- 9 -

) 6 , 0 ( F

) 0 , (a Q

) , ( ba P

) 3 , 0 ( V

L



60 R(a,6)

(10)

故 5 3 0 3 5 1

0 3 5

tan 1 





 



 



AB AM

m m

m BAM m

 與向量

96 年學科能力測驗



























x



 2

























^

^

^

 ²

^

^

^

^