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第五章 幾何作圖 ... 1

5.1 節 平分作圖 ... 2

5.1-1 線段中點作圖 ... 2

5.1-2 角平分線作圖 ... 9

習題 5.1... 12

5.2 節 垂直線作圖 ... 15

5.2-1 通過線上一點作一垂直線的作圖 ... 15

5.2-2 線外一點垂直線作圖 ... 17

5.2-3 線段的垂直平分線(中垂線)作圖 ... 20

習題 5.2... 22

5.3 節 平行線作圖 ... 24

5.3-1 過直線外一點作此直線的平行線 ... 24

習題 5.3... 26

5.4 節 三角形作圖 ... 27

5.4-1 已知三角形三邊之三角形作圖 ... 27

5.4-2 已知兩邊夾一角之三角形作圖 ... 30

5.4-3 已知一邊及兩夾角之三角形作圖 ... 31

習題 5.4... 32

5.5 節 對稱圖形作圖 ... 34

5.5-1 線對稱圖形之對稱點作圖 ... 34

5.5-2 點對稱圖形之對稱點作圖 ... 40

習題 5.5... 42

本章重點... 45

歷年基測題目 ... 46

(2)

第五章 幾何作圖

幾何作圖,傳統上我們只能用(1)直尺、(2)圓規兩種工具,本章我們將介紹 如何利用尺規兩種繪圖工具來作各種幾何圖形。

圖 5.1 直尺

圖 5.2 圓規

(3)

5.1 節 平分作圖

5.1-1 線段中點作圖

圖 5.1-1 中,有一線段 ,我們要做 的中點 C,使 = 。

C D

E

A B

圖 5.1-1 作法:

(1) 以 A 為圓心,以 r 為半徑(大於1

2 的任意長),作一弧。

(2) 以 B 為圓心,以 r 為半徑,作一弧。

(3) 兩弧相交於 D 和 E。

(4) 連接 D、E。

(5) 和 交於 C,C 即為 之中點。

證明 C 為 的中點,並不困難,如圖 5.1-2 所示,我們知道△ABD 為等腰三角 形,如果我們能證明 為∠ADB 的角平分線,利用等腰三角形頂角平分線垂直平分

底邊的性質,我們就可以得知 ⊥ ,且 為 的平分線。

C D

E A B

圖 5.1-2

(4)

例題 5.1-1:

利用尺規作圖將 四等份。

圖 5.1-3

想法:作線段的中點可將線段兩等份,再從兩等份的線段作中點,就可作出四等份的 線段。

E

D C

A B

圖 5.1-3(a) 作法:

(1)利用 5.1-1 線段之中點的作法,作出 的中點 C,如圖 5.1-3(a)。

(2)作出 的中點 D。

(3)作出 的中點 E。

(4)如圖 5.1-3(a)中,C、D、E 三點將線段 分為 、 、 、 四等份。

A B

(5)

例題 5.1-2:

如圖 5.1-4,利用尺規作圖在 上作一點 P,使得

5

=3

PB

AP

圖 5.1-4 想法:(1)

5

=3

PB

AP

,即 為 3 份, 為 5 份,兩線段和 為 8 份,所以只要將 線 段分成 8 等份,每份為 的 8 分之 1,P 點就是距離 A 點 3 份的位置。

(2) 利用 5.1-1 的線段中點作圖可以將線段分成兩等份,

(3) ∵

8 1 2 1

3

 =

 

,所以作三次線段中點就可以求得線段的 8 分之 1。

(c) (b) (a)

P

N M

N M

M B

A

A B

A B

作法:

(1) 作 線段的中點 M,則

AM AB

2

= 1 ,

BM AB

2

=1 ,如圖 5.1-4(a)。

(2) 作 AM 線段的中點 N,則

AN AB

4

=1 ,

NM AB

4

=1 ,如圖 5.1-4(b)。

(3) 作

NM 線段的中點 P,則 NP AB

8

=1 ,

PM AB

8

=1 ,如圖 5.1-4(c)。

(4) P 點即為所求。

∵ 8 3

3 8

1 4

1

= + =

+ =

=

AB AB AB

NP AN AP

_

A _B

圖 5.1-4(a)

圖 5.1-4(b)

圖 5.1-4(c)

(6)

例題 5.1-3:

如圖 5.1-5,試利用尺規作圖,在 AB 上作一點 P,使得

7

= 1

PB

AP

圖 5.1-5 想法:(1) 1

7

AP

PB

= ,即 為 1 份, 為 7 份,兩線段和 為 8 份,所以只要將 線 段分成 8 等份,每份為 的 8 分之 1,P 點就是距離 A 點 1 份的位置。

(2) 利用 5.1-1 的線段中點作圖可以將線段分成兩等份,

(3) ∵

8 1 2 1 

3

=

 

,所以作三次線段中點就可以求得線段的 8 分之 1。

作法:

(1) 作 線段的中點 M,則

AM AB

2

= 1 ,

BM AB

2

=1 ,如圖 5.1-5(a)。

(2) 作 AM 線段的中點 N,則

AN AB

4

=1 ,

NM AB

4

=1 ,如圖 5.1-5(b)。

(3) 作 AN 線段的中點 P,則 1

AP

=8

AB

, 1

PN

=8

AB

,如圖 5.1-5(c)。

(4) P 點即為所求。

1 1

8 8 1

1 1 1 7 7

AB AB

AP AP

PB PN NM MB AB AB AB AB

= = = =

+ + + +

A B

圖 5.1-5(a)

圖 5.1-5(b)

圖 5.1-5(c)

(7)

例題 5.1-4:

利用線段中點作圖,將一已知線段 分成 及 兩線段,則下列何者

不可能為

CB

AC

的值?

(A) 3

1 (B) 6

2 (C) 3

4 (D) 9 7

想法:(1) 線段中點作圖,可將一線段分成兩等份線段,每一線段為原線段的 2 1, 共有 2 個;

(2) 若每一 2

1的線段再作一次線段中點作圖,則每一線段為原線段的 4

1,共有 4 個(即

2

2個);

(3) 若每一 4

1的線段再作一次線段中點作圖,則每一線段為原線段的 8

1,共有 8 個(即

2

3個),所以用線段中點作圖分為等份線段之總個數為

2

n個。

解答:(C)

敘述 理由

(1) (A) 可以。

(2) (B) 可以 (3) (C) 不可能 (4) (D) 可以

1+3=4=

2

2;分成 4 個等份線段。

2+6=8=

2

3;分成 8 個等份線段。

4+3=7

2

n;無法用線段中點作圖將線段分成 7 個等份線段。

7+9=16=

2

4;分成 16 個等份線段。

(8)

例題 5.1-5:

若要在 16 單位長的線段上,找出 10 單位長的線段,至少須利用尺規作圖作幾次 線段中點作圖?

想法:(1) 假設要在長度為 16 單位的線段 上,找出 10 單位長的線段,即是在 上 找一點 P,使得 10 5

6 3

AP

PB

= = ,即 為 5 份(每份為 16 單位長÷8=2 單位長),

為 3 份(每份為 2 單位長),兩線段和 為 8 份(每份為 2 單位長),所以 只要將 線段分成 8 等份(每份為 2 單位長),每份為 的 8 分之 1,P 點 就是距離 A 點 5 份的位置。

(2) 利用 5.1-1 的線段中點作圖可以將線段分成兩等份,

(3) ∵

8 1 2 1 

3

=

 

,所以作三次線段中點就可以求得線段的 8 分之 1。

作法:

(1) 作 線段的中點 M,則

AM AB

2

= 1 ,

BM AB

2

=1 ,如圖 5.1-6(a)。

(2) 作 線段的中點 N,則 1

MN

=4

AB

, 1

NB

= 4

AB

,如圖 5.1-6(b)。

(3) 作 線段的中點 P,則 1

MP

=8

AB

, 1

PN

=8

AB

,如圖 5.1-6(c)。

(4) P 點即為所求。

1 1 5

2 8 8 5

1 1 3 3

8 4 8

AB AB AB AP AM MP

PB PN NB AB AB AB

+ +

= = = =

+ +

∴將 分成 8 等份(每份為 16 單位長÷8=2 單位長),其中 占了 5 份(每份 為 2 單位長),即 =5×2 單位長=10 單位長

所以本題至少需要利用尺規作圖做三次(作法(1)~(3))線段中點作圖,即可在 16 單 圖 5.1-6(a)

圖 5.1-6(c) 圖 5.1-6(b)

(9)

例題 5.1-6:

如果將一線段平分成 2n等份時,須作 15 次的線段中點作圖,則 n= 。 想法:(1) 線段中點作圖,可將一線段分成兩等份線段,每一線段為原線段的

2 1, 共有 2 等份;

(2) 若每一 2

1的線段再作一次線段中點作圖(相當於作了 3 次線段中點作圖),

則每一線段為原線段的 4

1,共有 4 等份(即

2

2等份);

(3) 若每一 4

1的線段再作一次線段中點作圖(相當於作了 7 次線段中點作圖),

則每一線段為原線段的 8

1,共有 8 等份(即

2

3等份),所以用線段中點作圖 分為等份線段之總個數為

2

n等份。

解:

敘述 理由

(1) 線段被平分為 16 等份 (2) 所以 n=4

已知作 15 次線段中點作圖 由(1) & 16=24

(10)

C B

A

F E

D

A

B

C

5.1-2 角平分線作圖

圖 5.1-7 中,有一個角∠ABC,我們的任務是要等分∠ABC。

圖 5.1-7 作法一:如圖 5.1-7(a)

(1) 以 B 為圓心,以適當的長度為半徑,作一弧,此弧交 與 於 D 點及 E 點。

(2) 分別以 D、E 為圓心,大於

DE

2

1 為半徑畫弧,兩弧相交於 F 點。

(3) 連 ,則 平分∠ABC。

圖 5.1-7(a)

我們需要證明以上等分∠ABC 的作法是正確的,即要證明圖 5.1-7(a)中

∠DBF=∠EBF。我們可以證明△DBF △EBF,利用全等三角形之對應角相等的 性質來證明∠DBF=∠EBF。

(11)

證明:

敘述 理由

(1) 在△DBF 與△EBF 中

=

=

=

(2) △DBF △EBF (3) ∠DBF=∠EBF (4) 所以 平分∠ABC

如圖 5.1-7(a)所示

同圓半徑相等(作法一之(1)) 同線段相等

等長半徑相等(作法一之(2))

由(1) & 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) & 全等三角形之對應角相等 由(3)

Q. E. D.

作法二:如圖 5.1-7(b)

(1) 以 B 為圓心,以適當的長度為半徑,作一弧,此弧交 與 於 D 點及 E 點。

(2) 連接 。 (3) 作 的中點 F。

(4) 連 ,則 平分∠ABC。

F

E

A

B

C D

圖 5.1-7(b)

要證明以上的作法是對的,我們不妨注意△BDE 是一等腰三角形,F 為 的中 點,因此我們可以證明△DBF △EBF,而且∠DBF=∠EBF。

(12)

例題 5.1-7:

如圖 5.1-8 所示,ABCD 為一四邊形,利用尺規作圖,分別作出∠B 與∠C 的 角平分線。

圖 5.1-8 作法:如圖 5.1-8(a)

(1) 以 B 為圓心,以適當的長度為半徑,作一弧,此弧交 與 於 F 點及 G 點。

(2) 分別以 F、G 為圓心,大於1

2

FG 為半徑畫弧,兩弧相交於 N 點。

(3) 作 ,則 平分∠ABC。

(4) 以 C 為圓心,以適當的長度為半徑,作一弧,此弧交 與 於 P 點及 Q 點。

(5) 分別以 P、Q 為圓心,大於1

2

PQ 為半徑畫弧,兩弧相交於 R 點。

(6) 作 ,則 平分∠BCD。

圖 5.1-8(a)

(13)

習題 5.1

習題 5.1-1

證明 5.1-1 線段中點的作圖是正確的作法,即圖 5.1-2 的 C 點為 之中點。

C D

E A B

圖 5.1-2

習題 5.1-2

三角形的中線為邊的中點與對角頂點的連線,三邊中線的交點稱為三角形的重 心,如圖 5.1-9 中的點 S 為△ABC 的重心,求作三角形的重心。

S A

B C

圖 5.1-9

(14)

習題 5.1-3

三角形三內角平分線的交點為三角形的內心,如圖 5.1-10 中的點 I 為△ABC 的 內心,求作三角形的內心。

I

C B

A

圖 5.1-10 習題 5.1-4

求作一等腰三角形。

習題 5.1-5

如圖 5.1-11,利用尺規作圖,在 上畫出一點 E,使

5

=3

ED

CE

圖 5.1-11 習題 5.1-6

如圖 5.1-12,以尺規作圖分別畫出∠AOC 和∠BOC 的角平分線。

圖 5.1-12

(15)

習題 5.1-7

如圖 5.1-13,以尺規作圖將∠D 平分成四等份。

圖 5.1-13 習題 5.1-8

利用角平分線作圖將一個角平分成 8 等份,至少須作 次角平分線。

習題 5.1-9

利用角平分線作圖,做出一個角的 3

16,至少須作圖 次。

(16)

5.2 節 垂直線作圖

5.2-1 通過線上一點作一垂直線的作圖

在圖 5.2-1 中,C 為 上的一點,我們的任務是過 C 點作一直線垂直 。

圖 5.2-1 作法: 如圖 5.2-1 (a)

(1) 假設 比 短。

(2) 以 C 為圓心, 為半徑作一弧,與 交於 D,使 = 。 (3) 以 A 為圓心,以 r 為半徑(大於 之長度)作一弧。

(4) 以 D 為圓心,以 r 為半徑作一弧。

(5) 兩弧交於 E 點。

(6) 連接 ,則 ⊥ 。

圖 5.2-1(a)

(17)

以上的作法為何正確?可以從圖 5.2-1(a)看出,圖 5.2-1(a)中的△AED 為一等腰三 角形,而 C 為 的中點,所以我們可以很容易證明 為∠AED 的角平分線,也可 以證明 ⊥ 。

在以上的例子中,點 C 在 之上,如果我們需要通過線段的一個端點做 的垂 直線,只要延長一下 ,就可以了。如圖 5.2-2 所示。

延長

A' B

A

圖 5.2-2

(18)

5.2-2 線外一點垂直線作圖

在圖 5.2-3 中,C 為 外之一點,我們要通過 C,作一 的垂直線。

A B

C

圖 5.2-3

這一作圖的方法,原理是作一等腰三角形,如圖 5.2-3(a)所示,圖中之△A`B`C 為一等腰三角形( = ),求 之中點 D,連接 C 和 D,則 ⊥ 。

D B`

A`

C

A B

圖 5.2-3(a) 作法一:如圖 5.2-3(a)

(1) 以 C 為圓心,適當的長度為半徑,畫一弧,交 於 A'點與 B'點。

(2) 作 的中點 D。

(3) 連接 C 與 D,則 ⊥ 。

(19)

作法二:

(1) 以 C 為圓心,大於 C 點與 的距離的長度為半徑,畫一弧,交 於 A`、B`兩點。

(2) 連接 C 點與 A`點;C 點與 B`點。

(3) 作∠A`CB`的角平分線 (作法如 5.1-2),如圖 5.2-3(b)。

(4) 交 於 D 點,則 ⊥ 。

D

F Y X

B`

A A`

B C

圖 5.2-3(b) 接下來我們要證明上述作法所作得的 ⊥ 。 證明:

敘述 理由

(1) = ,△CA`B`為等腰三角形 (2) 垂直平分

(3) 故 ⊥

同圓半徑相等(作法二之(1))

為∠A`CB`的角平分線(作法二之(3)) 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(3) & 交 於 D 點(作法二之(4))

Q. E. D.

(20)

L D

C

P B A

例題 5.2-1:

如圖 5.2-4,已知直線 L 及 L 上一點 P,以 P 為頂點,L 為一邊,求作 45°角。

圖 5.2-4 作法:如圖 5.2-4(a)

(1) 過 P 點作垂直 L 的垂直線 (利用 5.2-1 的作法),則∠APC=90。

(2) 作∠APC 的角平分線(利用 5.1-2 的作法),則∠APD=45。

圖 5.2-4(a)

L

P

(21)

C D

E A B

5.2-3 線段的垂直平分線(中垂線)作圖

在圖 5.2-5 中,求作一線段垂直平分 。

圖 5.2-5 作法:如圖 5.2-5(a)

(1) 以 A 為圓心,以 r 為半徑(大於

AB

2

1 的任意長),作一弧。

(2) 以 B 為圓心,以 r 為半徑,作一弧。

(3) 兩弧相交於 D 和 E。

(4) 連接 D、E, 交 於 C 點,則 ⊥ 且 = 。

圖 5.2-5(a)

接下來我們要證明上述作法所作得的 ⊥ 且 = 。

證明:

敘述 理由

(1) 連接 D、A;D、B;E、A;E、B 如圖 5.2-5(a)

(2) 在△ADE 與△BDE 中

直線作圖

如圖 5.2-5(a)所示 半徑相等(作法之(1)(2)) 半徑相等(作法之(1)(2))

(22)

(3) △ADE △BDE (4) ∠ADE=∠BDE (5) △ADB 為等腰三角形 (6) 為∠ADB 的角平分線 (7) ⊥ 且 =

由(2) & 根據 S.S.S 三角形全等定理 全等三角形之對應角相等

= 半徑相等(作法之(1)(2)) 由(4) ∠ADE=∠BDE 已證

由(5) & (6) 等腰三角形頂角平分線 垂直平分底邊定理(定理 3.1-3)

(23)

習題 5.2

習題 5.2-1

已知一邊長,求作正方形。

習題 5.2-2

已知長方形的長邊及短邊,求作長方形。

習題 5.2-3

如圖 5.2-6,在△ABC 中,利用尺規作圖,作出 上的高 。

圖 5.2-6 習題 5.2-4

如圖 5.2-7,△ABC 中,∠C 為鈍角,求作 邊上的高。

圖 5.2-7

(24)

習題 5.2-5

如圖 5.2-8,以尺規在梯形 ABCD 上作圖,則圖上的痕跡是下列哪一種作圖的必 要步驟?

(A) 梯形的高

(B) ∠ABC 的角平分線 (C) 的中點

(D) 的垂直平分線

圖 5.2-8 習題 5.2-6

三角形三邊的中垂線之交點稱為三角形的外心,求作圖 5.2-9 中△ABC 的外心 點 V。

V A

B C

圖 5.2-9

(25)

5.3 節 平行線作圖

5.3-1 過直線外一點作此直線的平行線

圖 5.3-1 中,C 為 外之一點,求通過 C 而平行於 的直線。

A D B

F C

E

圖 5.3-1 作法:

(1) 通過 C,作一垂直於 的直線,與 交於 D 點。

(2) 通過 C,作一垂直於 的線段 ,則 必定平行於 。

( 定理 3.2-1 兩條直線如都與一直線垂直,則此二直線互相平行 )

(26)

如果我們會作通過線外一點的平行線,我們就可以作一個等角。

例題 5.3-1 等角作圖(一)

圖 5.3-2 中有一角∠ABC,我們要再作一角等於∠ABC。

B C

A

圖 5.3-2

我們的作法很簡單,我們只要在 與 以外,隨意找一點 E,然後通過 E 點,

作兩條平行於 及 的直線,這兩條直線所交成的∠DEF=∠ABC。

( 如圖 5.3-2(a)所示, ∥ , ∥ 。 )

B C

A

E

D

F

圖 5.3-2(a)

至於這個作法正確性的證明,也很簡單,只要延長 ,延長後的線和 的延長

線相交於 G 點,然後利用平行線的同位角相等的性質,就可以證明了,如圖 5.3-2(b) 所示。

G E A

B C

D

F

圖 5.3-2(b)

(27)

習題 5.3

習題 5.3-1

試利用平行線同位角相等的性質,設計過線外一點之平行線作法。

如圖 5.3-3 所示:

F

E

A

C

D

B

圖 5.3-3

(28)

5.4 節 三角形作圖

5.4-1 已知三角形三邊之三角形作圖

圖 5.4-1 中,有 a,b,c 三線段,此三線段為一三角形的三個邊,我們要做出此 三角形。

圖 5.4-1 作法:如圖 5.4-1(a)

(1) 在平面上畫一直線 L,並在 L 上任意標示一點 A。

(2) 以 A 點為圓心,長度為 c 為半徑畫弧交 L 於 B 點。

(3) 以 A 為圓心,b 為半徑作一弧。

(4) 以 B 為圓心,a 為半徑作一弧,兩弧相交於 C 點。

(5) 連接 , ,△ABC 為所求的三角形。

圖 5.4-1(a)

a b

c

b a

c

(29)

利用以上的作圖方法,我們也可以作一個等角的作圖。

例題 5.4-1 等角作圖(二)

已知一角,求作與此已知角相等的角,也可以利用已知三邊之三角形作圖法,

作此角。

圖 5.4-2

如圖 5.4-2 所示,我們已知∠ABC,現在要做一等於∠ABC 的角,我們的作法是 以 B 為圓心,畫一弧,分別交 和 於 D、E 兩點,連接 ,就成一△BDE,接下 來的作法就是作一和△BDE 全等的三角形△B`D`E`,其中 = , = ,

= ,如此一來,我們就能得到∠D`B`E'=∠DBE=∠ABC。

作法:如圖 5.4-2

(1) 在平面上畫一直線 L,並在 L 上任意標示一點 B'。

(2) 分別以 B 點與 B'點為圓心,適當長度為半徑畫弧交 於 D 點、交 於 E 點、交 L 於 E'點。

(3) 以 E'點為圓心, 為半徑畫弧,與以 B'點為圓心,適當長度為半徑所畫的弧相交 於 D'點。

(4) 連接 , ,則△B`D`E` △BDE。

(5) ∠D`B`E'=∠DBE=∠ABC。

(30)

其實,我們並不一定要堅持 = 。只要做出任何一個三角形就可以了。如圖 5.4-2(a) 中的 △BDE 並 非 是 一 個 等 腰 三 角 形, 如 果 作 一 和 △BDE 全等的 三角形

△B`D`E`,則∠D`B`E'=∠DBE=∠ABC。

E ` D `

E D

B

C A

B `

圖 5.4-2(a)

(31)

5.4-2 已知兩邊夾一角之三角形作圖

b a

1

圖 5.4-3

如圖 5.4-3 中,我們已知三角形的一邊長 a,另一邊長 b,此兩邊的夾角為∠1,

我們要做此△ABC。

作法:如圖 5.4-3(a)

(1) 在一線段 上,以 B 為圓心,b 為半徑,作一圓弧,與 交於 C 點,使 =b。

(2) 作∠CBE=∠1。

(3) 以 B 為圓心,a 為半徑,作一圓弧,與 交於 A 點。

(4) 連接 ,△ABC 即為所求之三角形。

1 a

b

C

A

B D

E

圖 5.4-3(a)

(32)

5.4-3 已知一邊及兩夾角之三角形作圖

如圖 5.4-4,已知三角形之一邊長為 a,夾此邊的兩個角∠1 及∠2,求作此△ABC。

a

2 1

圖 5.4-4 作法:如圖 5.4-4(a)

(1) 取一線段 ,使其長度等於 a 之長度。

(2) 作一角∠DAB=∠1。

(3) 作一角∠EBA=∠2。

(4) 兩角之兩邊 與 交於 C 點,△ABC 即為所求之三角形。

a 1 2

C

A B

E

D

圖 5.4-4(a)

(33)

習題 5.4

習題 5.4-1

已知等腰三角形的底角及底邊,求作此等腰三角形。

習題 5.4-2

圖 5.4-5 為直線 L 及線外一點 P,利用內錯角相等的原理,以尺規作圖過 P 點畫 一直線,使該直線與 L 平行。

圖 5.4-5 習題 5.4-3

已知直角三角形直角之兩邊長,求作此三角形。

習題 5.4-4

已知等腰三角形兩腰長及其底邊之高,求作此三角形。

習題 5.4-5

已知直角三角形之斜邊及另一邊,求作此三角形。

習題 5.4-6

已知等腰三角形的底角及腰長,求作此等腰三角形。

L

P

(34)

習題 5.4-7

如圖 5.4-6,在 上找一點 D,使得△ABD 為腰長等於 的等腰三角形。

圖 5.4-6 習題 5.4-8

如圖 5.4-7,已知線段長 a,利用尺規作圖,任意作一等腰三角形,使得其腰長為 a,並作出底邊上的高。

圖 5.4-7 習題 5.4-9

如圖 5.4-8,已知∠1、∠2 與長度為 a 的線段,求作一個三角形,使得這個三角 形的兩個內角分別為∠1 和∠2,且∠1 的對邊長度為 a。

圖 5.4-8 習題 5.4-10

在△ABC 中,求作過 的中點 M 且平行 交 於點 N 的線段 。

習題 5.4-11

已知三角形的一底角、底邊長及底邊上的高,求作三角形。

a

1 2

a

(35)

5.5 節 對稱圖形作圖

對稱圖形有線對稱圖形與點對稱圖形兩種,本節介紹這兩種對稱圖形的作圖。

5.5-1 線對稱圖形之對稱點作圖 線對稱圖形之對稱點作圖要領:

1. 過圖形之一點 P 作垂直對稱軸 L 的垂直線,垂直線與對稱軸交於 R 點。

2. 以 R 為圓心, 為半徑作圓,圓與 交於 Q 點,如圖 5.5-1。

3. 點 Q 為點 P 對稱 L 線的對稱點。

L

Q R P

圖 5.5-1

(36)

例題 5.5-1 線對稱圖形之作圖

試作圖 5.5-2 中 ABCDE 圖形對稱直線 L 的對稱圖形。

L

D

C E

B A

圖 5.5-2 作圖:

(1) 過 A、B、C、D、E 分別作與 L 垂直的垂直線,分別與 L 相交於 A1、B1、C1、D1、 E1各點,如圖 5.5-2(a)。

(2) 以 A1 為圓心, 線段為半徑作圓,圓與 交點 A`,同圓的半徑都相等,

= ,如圖 5.5-2(b),則 A`為 A1對稱直線 L 的對稱點。

(3) 同(2)作法,分別以 B1、C1、D1、E1為圓心,分別以 、 、 、 為半徑 作圓,可得對稱點 B`、C`、D`、E`,如圖 5.5-2(b)所示。

(4) 連結 , , , , ,圖形 A`B`C`D`E`即為圖形 ABCDE 對稱直 線 L 的線對稱圖形,如圖 5.5-2(c)。

L

D1 C1

E1

B1

A1

D

C E

B A

圖 5.5-2(a)

(37)

L

D' C'

E' B'

A'

D1 C1

E1

B1

A1

D

C E

B A

圖 5.5-2(b)

L

D' C'

E'

B' A'

D1 C1

E1

B1

A1 B A

C E

D

圖 5.5-2(c)

(38)

例題 5.5-2:

圖 5.5-3 是線對稱圖形的一部分,直線 L 是對稱軸,完成此線對稱圖形。

圖 5.5-3 作法:如圖 5.5-3(a)

(1) 標示圖形上幾個端點 A、B、C、D、E、F、G。

(2) 因為對稱軸 L 為鉛直線,每一水平線都與對稱軸 L 垂直,所以過 A 點的水平 線,在對稱軸 L 右方 2 格的位置,標出點 A 對稱於對稱軸 L 的對稱點 A`。

(3) 過 B 點的水平線,在對稱軸 L 右方 4 格的位置,標出點 B 對稱於對稱軸 L 的對稱點 B`。

(4) 同(2)、(3)作法,標出 C、D、E 各點對稱於對稱軸 L 之對稱點 C`、D`、E`。

(5) 連 、 、 、 、 、 所形成之圖形即為 ABCDEFG 對稱於 對稱軸 L 的對稱圖形。

L

E' D' C'

B' A A'

B

C

D

E

G

F

圖 5.5-3(a)

L

(39)

例題 5.5-3:

如圖 5.5-4,扇形 ABC 是線對稱圖形的一部分, 是對稱軸,試利用尺規作圖

完成此線對稱圖形。

B C

A

圖 5.5-4 作法:

(1) 過 C 點作垂直對稱軸 的直線交 於 D 點。

(2) 以 D 點為圓心, 為半徑作圓,交 於 C`點,C`點為 C 點的對稱點。

(3) 連接 ,以 A 點為圓心, 為半徑作BC'︵

,扇形 ABC`即為扇形 ABC 對稱 於對稱軸 的對稱圖形,如圖 5.5-4(a)。

(4) 扇形 ACC`即為題目所求之線對稱圖形,如圖 5.5-4(a)。

C`

D B

C

A

圖 5.5-4(a)

(40)

例題 5.5-4:

圖 5.5-5 是一長方形,試利用尺規作圖,畫出它的所有對稱軸。

D

B C

A

圖 5.5-5 作法:

(1) 作 的垂直平分線 L1,如圖 5.5-5(a)。

(2) 檢查 L1是否為對稱軸,A 點的對稱點為 B 點,C 點的對稱點為 D, 的對稱線 段為 ,長方形上的每一點在對稱軸 L1的另一方都有對應點存在,故得 L1是長 方形 ABCD 的對稱軸。

(3) 作 兩點的垂直平分線 L2,如圖 5.5-5(b)。

(4) 檢查 L2是否為對稱軸,A 點的對稱點為 D 點,B 點的對稱點為 C, 的對稱線 段為 ,長方形上的每一點在對稱軸 L2的另一方都有對應點存在,故得 L2是長 方形 ABCD 的對稱軸。

L1

M

D

B C A

圖 5.5-5(a) L2

N

D

B C A

圖 5.5-5(b)

(41)

5.5-2 點對稱圖形之對稱點作圖 點對稱圖形之對稱點作圖要領:

1. 過圖形之一點 P 與對稱中心 O 作一直線。

2. 以對稱中心 O 為圓心, 為半徑作圓,圓與 交於 Q 點,如圖 5.5-6。

3. 點 Q 即為點 P 對稱於對稱中心 O 的對稱點。

Q O

P

圖 5.5-6

(42)

例題 5.5-5 點對稱圖形之作圖

試作圖 5.5-7 中 ABCDEF 圖形對稱於對稱中心 O 點之對稱圖形。

O

A

B C D

E

F

圖 5.5-7 作法:

(1) 過 A 點及對稱中心 O 點作直線,以 O 點為圓心, 為半徑作圓,交 於 A1點。

A1為 A 點對稱於對稱中心 O 點之對稱點。

(2) 同(1)的作法,分別作出 B、C、D、E、F 各點對稱於對稱中心 O 點之對稱點,分 別為 B1、C1、D1、E1、F1

(3) 連結 、 、 、 、 、 ,圖形 A1B1C1D1E1F1即為圖形 ABCDEF 對稱於對稱中心 O 點之點對稱圖形,如圖 5.5-7(a)所示。

F1

E1 D1

C1 B1

A1

F E

D

C

B

A

O

圖 5.5-7(a)

(43)

習題 5.5

習題 5.5-1:

如圖 5.5-8,利用尺規作圖,以 L 為對稱軸,畫出 的對稱線段。

圖 5.5-8

習題 5.5-2:

利用尺規作圖,完成下列各線對稱圖形。(L 為對稱軸)

(1) (2)

圖 5.5-9(a) 圖 5.5-9(b)

L L

L

A

B

(44)

習題 5.5-3:

利用尺規作圖,畫出下列各線對稱圖形的對稱軸。

(1)

(2)

圖 5.5-10(a) 圖 5.5-10(b) 習題 5.5-4:

下列各圖形都是線對稱圖形的一半,直線 L 是對稱軸,完成這些圖形。

(1) (2)

圖 5.5-11(a) 圖 5.5-11(b) (3) (4)

(45)

圖 5.5-11(c) 圖 5.5-11(d) 習題 5.5-5:

下列各圖形都是線對稱圖形的一部分,直線 L、M 為兩條對稱軸,完成這些 圖形。

(1) (2)

圖 5.5-12(a) 圖 5.5-12(b)

(46)

本章重點

傳統上的幾何圖形作圖只能用直尺及圓規兩種工具,本章介紹一些如何利用 尺規作幾何圖的方法。

1. 平分線段的作圖法。

2. 平分角(角平分線)的作法。

3. 垂直線的作法:

(a) 過線上一點的垂直線的作法。

(b) 過線外一點的垂直線的作法。

4. 垂直平分線(中垂線)的作法。

5. 平行線的作法。

6. 等線段、等角度之作圖。

7. 應用以上的基本方法作三角形等圖形。

8. 對稱圖形的作法。

(47)

歷年基測題目

1. 下圖 5.3 是小方畫的正方形風箏圖案,且他以圖中的對角線為對稱軸,在對 角線的下方畫一個三角形,使得新的風箏圖案成為一對稱圖形。若下列有一 圖形為此對稱圖形,則此圖為何?(96-1)

圖 5.3

(A) (B)

(C) (D)

解答:(C)

想法: 對稱軸定義 解答說明:

敘述 理由

(1) (C) 對稱軸定義

(48)

※請閱讀下列的敘述後,回答第 2 題

圖 5.4 為一長方形,其內部分成 4 個大小相同的小正方形,且對角線 L1通過 2 個小正方形(如灰色部分)。

圖 5.5 為一長方形,其內部分成 12 個大小相同的小正方形,且對角線 L2通過 6 個小正方形(如灰色部分)。

L1

圖 5.4

圖 5.5

2. L1、L2是否分別為圖 5.4、圖 5.5 的對稱軸? (95-1)

(A) L1、L2均是 (B) L1是,L2不是 (C) L1不是,L2是 (D) L1、L2均不是 解答:(B) L1是,L2不是

想法: 對稱軸定義 解答說明:

敘述 理由

(1) L1是圖 5.4 的對稱軸

(2) L2不是圖 5.5 的對稱軸

圖 5.4 中的每一點在 L1的兩側都存在有一對稱點。

圖 5.5 中,A 點在 L2的的另一側與就不存在一點與 A 點等距離的對稱點。

(49)

3. 如圖 5.6,四邊形 ABCD 為正方形。若分別以 、 、 為直徑畫三個半圓,

如圖 5.7 所示。判斷圖 5.7 中哪一線段是該圖形的對稱軸?(94-1) (A) (B) (C) (D)

A B

D C

A B

D C

圖 5.6 圖 5.7 解答:(D)

想法: 依題意做對稱圖,驗證對稱圖 解答說明:

敘述 (A)

BC為對稱軸 A B

D C

(B)

BD為對稱軸 A B

D C

(50)

(C)

AB為對稱軸 A B

D C

(D)

AC為對稱軸 A B

D C

(51)

4. 如圖 5.8 所示,已知△ABC 中, < < 。

求作:一圓的圓心 O,使得 O 在 上,且圓 O 與 、 皆相切。

下列四種作法中,哪一種是正確的?(92-1) (A) 作 中點

(B) 作 A 的平分線交 於 O 點

(C) 作 的中垂線,交 於 O 點

(D) 自 A 點作一直線垂直 ,交 於 O 點

圖 5.8

解答: (B) 正確:角平分線上的任一點與角的兩邊等距離 想法: 依題意作圖,觀查是否正確,若正確,再證明正確。

解答說明:

敘述 (A)

(C)

(B)

角平分線上的任一點與角的兩邊 等距離

(D)

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