1112 2-3 圓與直線 姓名 座號 一、單選題 (5 題)

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1112 2-3 圓與直線 姓名 座號

一、單選題 (5 題)

（ ）1.圓 x²  y²  2x  2y  0﹐L 表過圓上一點 P (  2 , 2)的切線﹐則 L 過下列哪一點﹖ (1)(1 , 2) (2)(1 ,  3) (3)(2 ,  1) (4)(  1 , 3)﹒

【龍騰自命題】

解答 4

解析 過 P 之切線為 ( 2 ) 2

2 2 2 2 ( ) 0

2 2

x y

x y   

        x  y  4  0﹐

(  1 , 3)代入成立﹐故選(4)﹒

（ ）2.下列哪一直線為圓 x²  y²  4x  6y  12  0 的切線方程式﹖ (1)5x  12y  7  0 (2)5x  12y  13  0 (3)4x  3y  3  0 (4)4x  3y

 24  0﹒

【龍騰自命題】

解答 4

解析 原式  (x  2)²  (y  3)²  25﹐圓心(2 ,  3)﹐半徑 r  5﹐

(4) 2 2

| 4 2 3( 3) 24 | 25 5 5 4 3

d    

  

 ﹐滿足圓心到直線之距離為 5﹐表示相切﹐故選(4)﹒

（ ）3.在坐標平面上 A(1 , 6)處有一光源﹐將圓 C：x²  (y  3)²  5 投射到 x 軸上﹐如圖所示﹐求其在 x 軸上的影子 PQ 長為 (1)5 (2)10 (3)15 (4)20 (5)25﹒

A(1,6)

P Q x

y

O

【課本類題】

解答 3

解析 設切線方程式為 y  6  m(x  1)  y  mx  m  6﹐

代入圓 C 得 x²  (mx  m  3)²  5  0

 x²  (m²x²  m²  9  2m²x  6mx  6m)  5  0

 (1  m²)x²  (2m²  6m)x  m²  6m  4  0﹐

令 D  (2m²  6m)²  4(1  m²)(m²  6m  4)  0

 2m²  3m  2 0  (2m  1)(m  2)  0  m 1 2或2 則過 A(1 , 6)之兩切線為 y  6 1

2(x  1)或 y  6  2(x  1)﹐

令 y  0 得 P(11 , 0)﹐Q(4 , 0)﹐則PQ之長為 4  (11)  15﹐故選(3)﹒

（ ）4.求通過圓 x²  y²  2x  4y  20  0 上一點 P(4 , 2)的切線方程式為 (1)3x  4y  20  0 (2)4x  3y  22  0 (3)2x  3y  14  0 (4)x

 3y  2  0 (5)3x  2y  16  0﹒

【課本類題】

－ 2 － 解答 1

解析 圓：(x  1)²  (y  2)²  25﹐圓心 A(1 , 2)﹐

半徑AP的斜率為m_AP2 ( 2) 4

4 1 3

- - =

- ﹐∴m^切  3

- 4﹐

得切線：y  2  3 ( 4) 4 x

- -  3x  4y  20  0﹐故選(1)﹒

A(1, 2) P(4,2)

（ ）5.求通過圓 x²  y²  6x  4y  3  0 上一點 P(0 , 1)的切線方程式為 (1)2x  y  1  0 (2)3x  y  1  0 (3)6x  y  1  0 (4)3x  y  1

 0 (5)4x  3y  3  0﹒

【課本類題】

解答 2

解析 圓：(x  3)²  (y  2)²  10﹐圓心 A(3 , 2)﹐

半徑AP的斜率為

mAP2 1 1 3 0 3

- =

- ﹐∴m^切  3﹐

得切線：y  1  3(x  0)  3x  y  1  0﹐故選(2)﹒

A(3,2) P(0,1)

二、填充題 (5 格)

1.在坐標平面上﹐已知兩個定點 A(3 , 5)﹐B(2 , 6)﹐設 P(x , y)為動點且滿足 PA ： PB 2：3﹐求(1)P 點所成圖形為____________﹒(2)方程式為 ____________﹒

【課本類題】

解答 (1)一圓;(2)5x²  5y²  70x  42y  146  0

解析 ∵PA：PB 2：3  3PA 2PB﹐即3 (x- 3)²+ (y- 5)² 2 (x+ 2)²+ (y- 6)² ﹐

平方得 9(x²  6x  9  y²  10y  25)  4(x²  4x  4  y²  12y  36)  5x²  5y²  70x  42y  146  0﹐

其圖形為一圓﹐方程式為 5x²  5y²  70x  42y  146  0﹒

2.求通過(0 , 4)且與圓 x²  y²  5 相切的切線方程式為____________﹒3.求通過 P (4 , 2)且與圓 C﹕x²  y²  4x  4y  2  0 相切之直線方程式為 ____________﹒

【課本類題】

解答 x  3y  2  0 或 3x  y  14  0【課本類題】

解答 y  55 5 x 4

?

－ 3 － 解析 圓 C﹕(x  2)²  (y  2)²  10﹐圓心 A (2 ,  2)﹐半徑r 10

設切線為 y  2  m(x  4) 即 mx  y  (2  4m)  0

 2

2 2 2 4

| | 10

1

m m

m

   

  (  2m  4)²  10(m²  1)  3m²  8m  3  0

 (3m  1)(m  3)  0  1

m3或  3

切線方程式為 x  3y  2  0 或 3x  y  14  0﹒ 解析 設切線方程式為 y  4  mx  y  mx  4 代入圓﹐

得 x²  (mx  4)²  5  0  (1  m²)x²  8mx  11  0﹐

令 D  (8m)²  4  (1  m²)  11  0  20m²  44  0  m  11 55

5 5

? ? ﹐

故所求切線為 y  55

5 x 4

? ﹒

4.設 A (  1 , 0)﹐B (1 , 0)﹐平面上滿足PA ：PB 3：1 之 P 點的軌跡為一圓 C﹐則 (1)C 的圓心為____________﹒(2)半徑為____________﹒

【龍騰自命題】

解答 (1)(2 , 0);(2) 3

解析 設 P 點坐標為(x , y)﹐

∵ PA 3PB﹐∴ (x1)²y²  3 (x1)²y²

 x²  y²  4x  1  0  (x  2)²  y²  3﹐故圓的圓心為(2 , 0)﹐半徑為 3﹒

5.若圓 x²  y²  ax  by  14  0 與直線 x  2y  3c 相切於(5 , 1)﹐則數對(a , b , c)之值為____________﹒

【龍騰自命題】

解答 (  6 ,  10 , 1)

解析 (5 , 1)代入 x  2y  3c  5  2  3c  c  1﹐

利用切線公式過(5 , 1)的切線為 1 1

5 (5 ) (1 ) 14 0

2 2

x  y a x  b y  

 (10  a)x  (2  b)y  (5a  b  28)  0 與 x  2y  3  0 同義﹐

∴ 10 2 5 28

1 2 3

a b a b

     

   20 2 2 2 22

6 3 10 2 56 10 50

a b a b

b a b a b

       

         



解得 a   6﹐b   10﹐故數對(a , b , c)  (  6 ,  10 , 1)﹒